1、- 1 -第三章 数系的扩充与复数的引入测评(时间 120 分钟,满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.计算:i(1 +i)2=( )A.-2 B.2 C.2i D.-2i解析: i(1+i)2=i2i=-2.答案: A2.在复平面内,复数 (i 是虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限解析: ,其共轭复数为 ,对应的点位于第一象限,故选 D.答案: D3.若 z=4+3i(i 是虚数单位),则 =( )A.1 B.-1C. i D. i解析: ,故选 D.答案: D4.若 i 是虚数单位,则
2、等于( )A.i B.-i C.1 D.-1解析: 因为 =i,所以 =i4=1.答案: C5.复数 z= +(a2+2a-3)i(aR)为纯虚数,则 a 的值为( )A.a=0 B.a=0 且 a -1C.a=0 或 a=-2 D.a1 或 a -3解析: 依题意得 解得 a=0 或 a=-2.答案: C6.设复数 z= ,其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为( )A.- B.- i C.- D.- i解析: z= =a- i,因为 z 的实部为 2,所以 a=2,所以 z 的虚部为 -=- .- 2 -答案: C7.“m=1”是“复数 z=(1+mi)(1+i)(mR,
3、i 为虚数单位)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析: z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若 m=1,则 z=2i 为纯虚数;若 z 为纯虚数,则m=1.答案: C8.已知 z1=1+i(其中 i 为虚数单位),设 为复数 z1的共轭复数, ,则复数 z2在复平面所对应点的坐标为( )A.(0,1) B.(1,0)C.(0,2) D.(2,0)解析: 因为 z1=1+i,所以 =1-i,由 得, =1,得 z2=1,z2在复平面内对应的点为(1,0),故选 B.答案: B9.若 z=cos + is
4、in (i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 值可能是( )A. B. C. D.解析: z2=(cos + isin )2=(cos2- sin2 )+2isin cos = cos 2+ isin 2=- 1,所以所以 2= 2k +( kZ),故 =k + (kZ),令 k=0 知选 D.答案: D10.复数 z 在复平面内对应的点为 A,将点 A 绕坐标原点,按逆时针方向旋转 ,再向左平移一个单位,向下平移一个单位,得到 B 点,此时点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称,则复数 z 为( )A.-1 B.1 C.i D.-i解析: 设 z=a+bi,B 点对应的复数为 z1,则 z
5、1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称,所以 于是 z=1.答案: B11.设 zC,若 z2为纯虚数,则 z 在复平面上的对应点落在( )A.实轴上B.虚轴上C.直线 y=x(x0)上D.以上都不对解析: 设 z=a+bi(a,bR),因为 z2=a2-b2+2abi 为纯虚数,所以 所以 a=b,即 z 在复平面上的对应点在直线 y=x(x0)上 .答案: C12.复数 z=(x-2)+yi(x,yR)在复平面内对应向量的模为 2,则 |z+2|的最大值为( )- 3 -A.2 B.4 C.6 D.8解析: 因为 |z|=2,所以
6、 =2,即( x-2)2+y2=4,故点( x,y)在以(2,0)为圆心,2 为半径的圆上,而 |z+2|=|x+yi|= ,它表示点( x,y)到原点的距离,结合图形易知 |z+2|的最大值为 4,故选 B.答案: B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.若 (i 为虚数单位),则复数 z 等于 . 解析: 因为 ,所以 z= =-2i.答案: -2i14.若(1 +2ai)i=1-bi,其中 a,bR,i 是虚数单位,则 |a+bi|= .解析: 由题意得 -2a+i=1-bi,所以 解得 a=- ,b=-1,所以 |a+bi|=.答案:15.在复平面内,复数
7、 1+i 与 -1+3i 分别对应向量 ,其中 O 为坐标原点,则 | |= .解析: =(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以 | |=2 .答案: 216. 导学号 40294030 若复数 z 满足 z+z+ =3,则复数 z 在复平面内对应点的轨迹所围成图形的面积等于 . 解析: 设 z=x+yi(x,yR),则有( x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即 x2+y2+2x-3=0,因此( x+1)2+y2=4,故复数 z 在复平面内对应点的轨迹是一个圆,其面积等于 2 2=4 .答案: 4三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10
8、 分)已知复数 z=(2+i)m2- -2(1-i),当实数 m 取什么值时,复数 z 是:(1)虚数;(2)纯虚数 .解: z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,(1)当 m2-3m+20,即 m2 且 m1 时, z 为虚数 .(2)当即 m=- 时, z 为纯虚数 .- 4 -18.(本小题满分 12 分)若 z 满足 z-1= (1+z)i,求 z+z2的值 .解: 因为 z-1= (1+z)i,所以 z= =- i,因此 z+z2=- i+ =- i+ =-1.19.(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足 z=(-1+3i)
9、(1-i)-4.(1)求复数 z 的共轭复数;(2)若 w=z+ai,且复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模,求实数 a 的取值范围 .解: (1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数 z 的共轭复数为 -2-4i.(2)w=-2+(4+a)i,复数 w 对应的向量为( -2,4+a),其模为.又复数 z 所对应向量为( -2,4),其模为 2 .由复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模,得 20+8a+a220, a2+8a0,所以实数 a 的取值范围是 -8 a0 .20.(本小题满分 12 分)复数 z= ,若 z2+ 0,求纯虚数 a.解: 由
10、 z2+ 0 可知 z2+ 是实数且为负数 .z= =1-i.因为 a 为纯虚数,所以设 a=mi(mR,且 m0),则 z2+ =(1-i)2+ =-2i+ =- i0,故 所以 m=4,即 a=4i.21.(本小题满分 12 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1+2i,-2+6i,OA BC.求顶点 C 所对应的复数 z.解: 设 z=x+yi(x,yR),因为 OA BC,|OC|=|BA|,所以 kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|,即解得因为 |OA| |BC|,所以 x2=-3,y2=4(舍去),故 z=-5.22. 导学号 4029403
11、1(本小题满分 12 分)已知虚数 z 满足 |2z+5|=|z+10|.(1)求 |z|.- 5 -(2)是否存在实数 m,使 为实数,若存在,求出 m 值;若不存在,说明理由 .(3)若(1 -2i)z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,求复数 z.解: (1)设 z=x+yi(x,yR,且 y0),则(2 x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y2,化简得 x2+y2=25,|z|= 5.(2) i 为实数, =0.又 y 0, x2+y2=25, =0,解得 m=5.(3)(1-2i)z=(1-2i)(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i,依题意得 x+2y=y-2x,y=- 3x. 又 x 2+y2=25, 由 得z= i 或 z=- i.
