1、- 1 -2.2 抛物线的简单性质A组1.抛物线 y= x2(a0)的焦点坐标为( )A.a0时为(0, a),a0时为 ,a0时, x2=4ay的焦点为(0, a);a16,所以 8y0+(y0-2)216,即有 +4y0-120,解得 y02或 y02,故选 C.答案:C5.已知抛物线关于 x轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M到该抛物线焦点的距离为 3,则 |OM|=( )A.2 B.2 C.4 D.2解析:由于抛物线关于 x轴对称,顶点在坐标原点且经过点 M(2,y0),可设方程为 y2=2px,由点M到抛物线焦点的距离为 3,则由抛物线定义得 2+ =
2、3,解得 p=2,则 y2=4x,又 M(2,y0)在抛物线y2=4x上,则 =8,|OM|= =2 .答案:B6.设抛物线 y2=8x的焦点为 F,准线为 l,P为抛物线上一点, PA l,A为垂足 .如果直线 AF的斜率为 - ,那么 |PF|=( )A.4 B.8 C.8 D.16解析:设 A(-2,y),F(2,0),所以 kAF= =- ,所以 y=4 ,所以 yP=4 .因为点 P在抛物线上,所以 =8xP,所以 xP= =6.由抛物线定义可得|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.答案:B- 3 -7.沿直线 y=-2发出的光线经抛物线 y2=ax反射后,与 x轴相交于
3、点 A(2,0),则抛物线的准线方程为 . 解析:由抛物线的几何性质,从焦点发出的光线经抛物线反射后与 x轴平行及直线 y=-2平行于 x轴知 A(2,0)为焦点,故准线方程为 x=-2.答案: x=-28.一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=ax上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角形的面积为 36 ,则 a= . 解析:设正三角形边长为 x.由题意得,36 x2sin 60,x= 12.当 a0时,将(6 ,6)代入 y2=ax,得 a=2 .当 a0),因为点 C(5,-5)在抛物线上,- 4 -所以该抛物线的方程为 x2=-5y.(2)设车辆高为 h,则 |DB|=h+0.5,故 D
4、(3.5,h-6.5),代入方程 x2=-5y,解得 h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0米 .B组1.(2015全国卷 高考)已知椭圆 E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合, A,B是 C的准线与 E的两个交点,则 |AB|=( )A.3 B.6 C.9 D.12解析: 抛物线 y2=8x的焦点坐标为(2,0),E 的右焦点的坐标为(2,0) .设椭圆 E的方程为 =1(ab0),c= 2. ,a= 4.b 2=a2-c2=12,于是椭圆方程为 =1. 抛物线的准线方程为 x=-2,将其代入椭圆方程可得 A(-2,3),B(-2,-3),|
5、AB|= 6.答案:B2.抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0距离的最小值是( )A. B. C. D.3解析:设( x0,y0)为抛物线 y=-x2上任意一点,y 0=- ,d= ,d min= .答案:A- 5 -3.如图,已知点 Q(2 ,0)及抛物线 y= 上的动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是( )A.2 B.3C.4 D.2解析:如图所示,过 P作 PM垂直准线于点 M,则由抛物线的定义可知 y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当 P,F,Q三点共线时, |PF|+|PQ|最小,最小值为 |QF|= =3.故 y+|PQ|的
6、最小值为 3-1=2.答案:A4.已知顶点与原点 O重合,准线为直线 x=- 的抛物线上有两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2),若y1y2=-1,则 AOB的大小是 . 解析:由已知得抛物线方程为 y2=x,因此 =x1x2+y1y2= +y1y2=(-1)2+(-1)=0. . AOB=90.答案:905. 导学号 01844018 对于抛物线 y2=4x上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ| |a|,则 a的取值范围是 . 解析:设点 Q的坐标为 .由 |PQ| |a|,得 |PQ|2 a2,即 a2,整理,得 +16-8a)0 .- 6 - 0, +16-8a0 .即 a2
7、 + 恒成立 .而 2+ 的最小值为 2.a 2 .答案:( - ,26. 导学号 01844019 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为 20米,拱顶距水面 6米,桥墩高出水面 4米 .现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过 18米,目前吃水线上部中央船体高 5米,宽 16米,且该货船在现有状况下最多可装 1 000吨货物,但每多装 150吨货物,船体吃水线就要上升 0.04米 .若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?解如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为 x轴,竖直直线为 y轴,建立平面直角坐标系 .因为拱顶距水面 6米
8、,桥墩高出水面 4米,所以 A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是 x2=-2py(p0),则 102=-2p(-2),所以 p=25,所以抛物线方程为 x2=-50y,即 y=- x2.若货船沿正中央航行,船宽 16米,而当 x=8时,y=- 82=-1.28,即船体在 x=8之间通过, B(8,-1.28),此时 B点距水面 6+(-1.28)=4.72(米) .而船体高为 5米,所以无法通行 .又因为 5-4.72=0.28(米),0 .280.04=7,1507=1 050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加 1 050吨,而船最多还能装 1 000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔 .- 7 -
