1、- 1 -习题课-平面向量数量积的综合应用课后篇巩固探究1.已知 a=(3,-2),b=(1,0),向量 a+b与 a-2b垂直,则实数 的值为( )A.- B. C.- D.解析 向量 a+b与 a-2b垂直,则( a+b)(a-2b)=0,又因为 a=(3,-2),b=(1,0),故(3 + 1,-2 )(1,-2)=0,即 3+ 1+4= 0,解得 =- .答案 C2.若 ABC满足 A= ,AB=2,则下列三个式子: , , 中为定值的式子的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 因为 =| | |cos =0,所以 为定值;因为 =| | |cos B=| |2=4,所以 为
2、定值 .同理 =| |2,而 | |不是定值,故 不满足 .故选 C.答案 C3.已知平行四边形 ABCD中, AC为一条对角线,若 =(2,4), =(1,3),则 =( )A.-8 B.-6 C.6 D.8解析 ( )=( )( -2 )=(1,3)-(2,4)(1,3)-2(2,4)=(-1)(-3)+(-1)(-5)=8.答案 D4.已知向量 a,b满足 |a|=1,|b|=2 ,a与 b的夹角的余弦值为 sin ,则 b(2a-b)等于( )A.2 B.-1 C.-6 D.-18答案 D5.已知 |a|=2|b|0,且关于 x的方程 x2+|a|x+ab=0有实根,则 a与 b夹角的
3、取值范围是( )A. B.C. D.解析 设 a,b的夹角为 ,由题意得 0,即 |a|24ab,- 2 - cos = , .又 0, .答案 B6.已知 ABC中, | |=10, =-16,D为 BC边的中点,则 | |等于( )A.6 B.5 C.4 D.3解析 D 为 BC边的中点, ).| |= |.又 | |=10,且 ,| |=10,即( )2=100,即 | |2+| |2-2 =100. =-16,| |2+| |2=68,故( )2=68-32=36.| |=6,即 | |=3.故选 D.答案 D7.已知平面向量 a=(2,4),b=(1,-2),若 c=a-(ab)b,
4、则 |c|= .解析 由题意可得 ab=21+4(-2)=-6, c=a-(ab)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),| c|= =8 .答案 88.已知向量 a=(2,1),b=(-1,2),若 a,b在向量 c上的投影相等,且(c -a)(c-b)=- ,则向量 c的坐标为 . 解析 设 c=(x,y),c与 a的夹角为 ,c与 b的夹角为 . 由已知有 |a|cos =| b|cos ,即,即(a -b)c=0,即 3x-y=0 ,由已知(c -a)(c-b)=- ,即 x2+y2-x-3y+ =0 , 联立得 x= ,x= ,即 c= .答案9.- 3 -如图, A
5、是半径为 5的圆 O上的一个定点,单位向量 在 A点处与圆 O相切,点 P是圆 O上的一个动点,且点 P与点 A不重合,则 的取值范围是 . 解析 如图所示,以 AB所在直线为 x轴, AO所在的直线为 y轴,建立平面直角坐标系 .设点P(x,y),B(1,0),A(0,0),则 =(1,0), =(x,y),所以 =(x,y)(1,0)=x.因为点 P在圆x2+(y-5)2=25上,所以 -5 x5,即 -5 5 .所以应填 -5,5.答案 -5,510. 导学号 93774081 已知向量 =(3,-4), =(6,-3), =(5-m,-(3+m).(1)若点 A,B,C不能构成三角形,
6、求实数 m应满足的条件;(2)若 ABC为直角三角形,求实数 m的值 .解 (1) =(3,-4), =(6,-3), =(5-m,-(3+m),若点 A,B,C不能构成三角形,则这三点共线 . =(3,1), =(2-m,1-m), ,即 3(1-m)=2-m,m= .(2)若 ABC为直角三角形,且 A 为直角,则 , 3(2-m)+(1-m)=0,解得 m=.B 为直角 , =(-1-m,-m),则 , 3(-1-m)+(-m)=0,解得 m=- .C 为直角,则 , (2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0,解得 m= .综上所述, m= 或 m=- 或 m= .11. 导学号
7、93774082 已知 AD,BE,CF是 ABC的三条高,求证: ABC的三条高交于一点 .证明 如图所示,设 BE,CF交于点 H,- 4 -=b, =c, =h,则 =h-b, =h-c, =c-b. ,由 - ,得 h(c-b)=0,即 =0, ,AH 的延长线过点 D,从而 AD,BE,CF相交于一点 H.12. 导学号 93774083 已知 =(2,1), =(1,7), =(5,1),设 C是直线 OP上的一点(其中 O为坐标原点) .(1)求使 取到最小值时的 ;(2)对(1)中求出的点 C,求 cos ACB.解 (1)因为点 C是直线 OP上的一点,所以向量 共线 .设 =t ,则 =t(2,1)=(2t,t),=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t),=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,当 t=2时, 取得最小值,此时 =(4,2).(2)当 t=2时, =(-3,5), =(1,-1).所以 | |= ,| |= =-3-5=-8.cos ACB= =- .- 5 -
