1、- 1 -第 2 课时 空间向量的数量积课后训练案巩固提升A 组1.下列命题中正确的是( )A.(ab)2=a2b2B.|ab|a|b|C.(ab)c=a(bc)D.若 a(b-c),则 ab=ac=0解析:对于 A 项,左边 =|a|2|b|2cos2,右边 =|a|2|b|2, 左边右边,故 A 错误 .对于 C 项,数量积不满足结合律, C 错误 .在 D 中, a(b-c)=0, ab-ac=0, ab=ac,但 ab 与 ac 不一定等于零,故 D 错误 .对于 B 项, ab=|a|b|cos,-1cos 1, |ab|a|b|,故 B 正确 .答案:B2.如图,已知空间四边形每条
2、边和对角线长都等于 a,点 E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,则下列向量的数量积等于 a2的是( )A.2B.2C.2D.2解析:2 =-a2,故 A 错;2 =-a2,故 B 错;2 =- a2,故 D 错;2 =a2,故只有 C正确 .答案:C3.如图,已知 PA平面 ABC, ABC=120,PA=AB=BC=1,则 PC 等于( )A. B.1- 2 -C.2 D.4解析: , +2 =1+1+1+21cos 60=4,| |=2.答案:C4.已知 a,b 是两个非零向量,现给出以下命题: ab0 ; ab=0= ; ab ;| ab|=|a|b|=.其中正确的命题有( )
3、A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析:利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作出判断 . a,b 为非零向量, | a|0, |b|0 .又 ab=|a|b|cos,且 0 ,于是 ab0cos0 ;ab=0cos=0= ;ab .因此,命题 均为真命题 .| ab|=|a|b|cos|=1=0 或 ,| ab|=|a|b|= 不正确,即命题 为假命题 .故选 C.答案:C5.若 |a|=|b|,且非零向量 a,b 不平行,则 a+b 与 a-b 所在直线所形成的角的大小是 . 解析:如图,作 =a, =b,以 为邻边作 OACB,则 =a+b, =a-b.又 | a|=|b|
4、, 四边形 OACB 为菱形, ,故 a+b 与 a-b 的夹角为 .答案:6. 导学号 90074024 已知 |a+b|=2,|a-b|=3,且 cos= ,则 |a|= ,|b|= . - 3 -解析:由 |a+b|=2,知 a2+2ab+b2=4.由 |a-b|=3,知 a2-2ab+b2=9.故 2a2+2b2=13,则|a| 2+|b|2= . 由 cos= ,得 |a|2-|b|2= . 由 ,得 |a|=2,|b|= .答案:2 7.已知 a,b,c 中每两个的夹角都是 ,且 |a|=4,|b|=6,|c|=2,试计算 |a+b+c|.解 |a|=4,|b|=6,|c|=2,且
5、= = , |a+b+c|2=(a+b+c)(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2ac+2bc=|a|2+|b|2+|c|2+2|a|b|cos+2|a|c|cos+2|b|c|cos=42+62+22+46+42+62=100,| a+b+c|=10.8.如图,在四面体 A-BCD 中, AB=2,BC=3,BD=2 ,CD=3, ABD=30, ABC=60,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值 .解 , =| | |cos-| | |cos=22 cos 150-23cos 120=-6+3=-3, cos= =- ,AB 与 CD 的夹角的余弦值为 .9.- 4 -如图
6、,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,若侧面对角线 AB1 BC1,求证: A1C AB1.证明由题意,设 =a, =b, =c,|a|=|b|=m,|c|=n,则 ab=m2cos 60= ,ac=bc=0.AB 1 BC1,且 =-a+c, =b+c, =(-a+c)(b+c)=-ab+c2=n2- m2=0,即 m2=2n2, =(-a+c)( )=(-a+c)(-c-a+b)=a2-c2-ab=m2-n2- m2=0,A 1C AB1.B 组1.设 a,b,c 是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题: (ab)c-(ca)b=0;| a|-|b|=90,=60.- 5 -| |=
7、.答案:B3.设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 =0,则 BCD 为( )A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定解析: , cos= 0,为锐角,同理 cos 0, BCD 为锐角,cos 0, BDC 为锐角,即 BCD 为锐角三角形 .答案:B4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, O 为 AC 与 BD 的交点, G 为 CC1的中点,用向量法证明: A1O平面 GBD.证明设 =a, =b, =c,则 ab=0,bc=0,ac=0.而 )=c+ (a+b), =b-a, )+ (a+b)- c,所以 (b-a)=c(b-a)+ (a+b)(b
8、-a)=cb-ca+ (|b|2-|a|2)= (|b|2-|a|2)=0.所以 .所以 A1O BD.同理可证 ,所以 A1O OG.又因为 OG BD=O,且 A1O平面 GBD,所以 A1O平面GBD.5.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, A1AB= A1AD= BAD=60,AA1=AB=AD= .(1)求 | |;- 6 -(2)求证: AC1平面 A1BD;(3)求 的夹角 .(1)解令 =a, =b, =c,则 =a+b+c,| |=|a+b+c|=(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca= +2 +2 =3 .(2)证明 =a-c, =(a+b+c)(a-c)=a
9、2-ac+ba-bc+ca-c2=0. ,又 =b-c,同理 ,AC 1垂直于平面 A1BD 内的两条相交直线 A1D,A1B,AC 1平面 A1BD.(3)解 cos= =- . 的夹角为 -arccos .6. 导学号 90074025 如图,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 的边长均为 1,且平面ABCD平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动 .若 CM=BN=a(0a ).(1)求 MN 的长度;(2)求当 a 为何值时, MN 的长最小 .解(1)由题意,得 AC= ,BF= ,CM=BN=a, .- 7 -= )+ )= )- (- )= .| |= (0a ).(2)由(1),知当 a= 时, | |有最小值为 ,即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时, MN的长最小,且最小值为 .
