1、- 1 -3.2 空间向量基本定理课后训练案巩固提升A 组1.下列命题是真命题的有( ) 空间中的任何一个向量都可用 a,b,c 表示; 空间中的任何一个向量都可用基底 a,b,c 表示; 空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示; 平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示 .A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个解析:根据基底的含义可知 是真命题 .答案:C2.设命题 p:a,b,c 是三个非零向量;命题 q:a,b,c 为空间的一个基底,则命题 p 是命题 q 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析:若 a,b,c 为非
2、零向量,则 a,b,c 不一定为空间的一个基底,但若 a,b,c 为空间的一个基底,则 a,b,c 肯定为非零向量,所以 p 是 q 的必要不充分条件 .答案:B3.已知 a,b,c 是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是( )A.2a,a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2aC.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c解析:设 a+2b= (2a)+ (a-b),得 = ,=- 2,所以 2a,a-b,a+2b 共面 .同理可得 B,D 选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底 .答案:C4.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, D 是四边形 BB1
3、C1C 的中心,且 =a, =b, =c,则 =( )A. a+ b+ cB. a- b+ cC. a+ b- cD.- a+ b+ c解析: )=c+ (- )=c- a+ (-c)+ b=- a+ b+ c.- 2 -答案:D5.已知平行六面体 OABC-OABC中, =a, =b, =c.若 D 是四边形 OABC 的中心,则( )A. =-a+b+cB. =-b+ a+ cC. a-b- cD. a+ c- b解析: =-b+ )=-b+ a+ c.答案:B6.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, M 为 AC 与 BD 的交点,若 =a, =b, =c,且 f=-a+ b+c
4、,k= a+ b+c,h= a- b+c,则在 f,k,h 中与 相等的向量是 . 解析:求与 相等的向量,就是用基向量 a,b,c 线性表示)=- =- a+ b+c=f.答案:f7.如图,已知四面体 O-ABC,M 是 OA 的中点, G 是 ABC 的重心,用基底 表示向量 的表达式为 . 解析: )= =-.答案: - 3 -8.如图,已知 ABCD-ABCD是平行六面体,设 M 是底面 ABCD 的对角线的交点, N 是侧面BCCB对角线 BC上的点,且分 的比是 3 1,设 = + + ,则 , , 的值分别为 , , . 解析: = )+ )= (- )+ )= ,= ,= ,=
5、 .答案:9. 导学号 90074030 如图,已知 PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形, G 为PDC 的重心, =i, =j, =k,试用基底 i,j,k 表示向量 .解 = )= i+ j- k.=- i+ j+ k.B 组1.在以下 3 个命题中,真命题的个数是( )- 4 - 三个非零向量 a,b,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面 . 若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a,b 共线 . 若 a,b 是两个不共线向量,而 c= a+ b( , R 且 0),则a,b,c构成空间的一个基底 .A.0 B.1 C.2 D.3解析
6、: 是真命题, 是假命题 .答案:C2.如图,在四面体 O-ABC 中, =a, =b, =c,点 M 在 OA 上,且 OA=2OM,N 为 BC 中点,则 等于( )A. a- b+ cB.- a+ b+ cC. a+ b- cD.- a+ b- c解析: )- =- a+ b+ c.答案:B3.已知 A-BCD 是四面体, O 为 BCD 内一点,则 )是 O 为 BCD 的重心的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件解析:若 O 为 BCD 的重心,则 ),反之也成立 .答案:C4.- 5 -如图,若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面
7、外的一点,且 G 为 PCD 的重心,若 =x +y +z ,试求 x+y+z 的值 .解取 CD 的中点 H,连接 PH(图略) .G 为 PCD 的重心, .= )= )+ )= .x= ,y= ,z= ,x+y+z= .5.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ACB=90,EA平面ABCD,EF AB,FG BC,EG AC,AB=2EF.若 M 是线段 AD 的中点,求证: GM平面 ABFE.证明 EF AB,FG BC,EG AC, ACB=90, EGF=90, ABC EFG.AB= 2EF,AC= 2EG.M 为 AD 的中点, MA= DA. . .又 AF平面 ABFE,GM平面 ABFE,GM 平面 ABFE.6.- 6 -导学号 90074031 如图,在平行六面体 ABCD-EFGH 中,已知 M,N,R 分别是AB,AD,AE 上的点,且 AM=MB,AN= ND,AR=2RE,求平面 MNR 分对角线 AG 所得的线段 AP 与 AG的比 .解设 =m ,由 =2 +3 ,得 =2m +3m .P ,M,R,N 四点共面, 2m+ m+3m=1,解得 m= ,即 .
