1、- 1 -4 用向量讨论垂直与平行课后训练案巩固提升A组1.已知 a,b,c分别为直线 a,b,c的方向向量,且 a= b( 0),bc =0,则 a与 c的位置关系是( )A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面解析:由 a= b( 0),知 a b.由 bc=0,知 b c,所以 a c.故选 A.答案:A2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC的一个单位法向量是( )A. B.C. D.解析: =(-1,1,0), =(-1,0,1), =(0,-1,1).设平面 ABC的一个单位法向量为 u=(x,y,z),则 u =0,u =0,可得 x,y,z间
2、的关系,且 x2+y2+z2=1,再求出 x,y,z的值 .答案:D3.若平面 的法向量为 u=(1,-3,-1),平面 的法向量为 v=(8,2,2),则( )A. B. 与 相交C. D.不确定解析: 平面 的法向量为 u=(1,-3,-1),平面 的法向量为 v=(8,2,2), uv=(1,-3,-1)(8,2,2)=8-6-2=0. uv, .答案:C4.给出下列命题: 若 n1,n2分别是平面 , 的法向量,则 n1n 2 ; 若 n1,n2分别是平面 , 的法向量,则 n1n2=0; 若 n是平面 的法向量,且向量 a与平面 共面,则 an=0; 若两个平面的法向量不垂直,则这两
3、个平面一定不垂直 .其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析: 不正确 .答案:B- 2 -5. 导学号 90074037 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中, M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则A 1M D1P;A 1M B1Q;A 1M平面 DCC1D1;A 1M平面 D1PQB1.以上结论正确的是 .(填序号) 解析: ,A 1M D1P.又 D 1P平面 D1PQB1,A 1M平面 D1PQB1.又 D1P平面 DCC1D1,A 1M平面 DCC1D1.D 1B1与 PQ平行不相等,B 1Q与 D1P不平行 .A
4、1M与 B1Q不平行 .答案: 6.已知 =(1,5,-2), =(3,1,z), =(x-1,y,-3).若 ,且 BP平面 ABC,则实数 x,y,z的值分别为 . 解析: =(1,5,-2), =(3,1,z), , (1,5,-2)(3,1,z)=0,即 3+5-2z=0,z= 4. 又 =(x-1,y,-3), 平面 ABC, =0,即( x-1,y,-3)(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0. =0,即( x-1,y,-3)(3,1,4)=0,3x-3+y-12=0.由 得 x= ,y=- ,z=4.答案: ,- ,47.如图, PA平面 ABCD,四边形 ABCD为正方形,
5、 E是 CD的中点, F是 AD上一点,当 BF PE时,AFFD 的值为 . - 3 -解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为 1,PA=a.则 B(1,0,0),E ,P(0,0,a).设点 F的坐标为(0, y,0),则 =(-1,y,0), .BF PE, =0,解得 y= ,则点 F的坐标为 ,F 为 AD的中点,AFFD= 1.答案:18.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, ABC=90,BC=2,CC1=4,点 E在线段 BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为 CC1,C1B1,C1A1的中点 .求证:平面 EGF平面 ABD.证明如图所示,由条件知 BA,
6、BC,BB1两两互相垂直,以 B为坐标原点, BA,BC,BB1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系 .由条件知 B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),设 BA=a,则 A(a,0,0),G.所以 =(a,0,0), =(0,2,2), =(0,2,-2), =(0,1,1).(方法一)因为 =0, =0+4-4=0,所以 B1D BA,B1D BD.因为 BA BD=B,所以 B1D平面 ABD.又 =0+2-2=0, =0+2-2=0.所以 B1D EG,B1D EF.又 EG EF=E,所以 B1D平面 EFG,可知
7、平面 EGF平面 ABD.- 4 -(方法二)设平面 EGF的法向量为 n1=(x1,y1,z1),则令 y1=1,则 n1=(0,1,-1).设平面 ABD的法向量为 n2=(x2,y2,z2),则 即令 y2=1,则 n2=(0,1,-1).所以 n1=n2,所以平面 EGF平面 ABD.9.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都为 2,D为 CC1的中点 .求证: AB1平面 A1BD.证明如图所示,取 BC的中点 O,连接 AO.因为 ABC为正三角形,所以 AO BC.因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,平面 ABC平面 BCC1B1,所以 AO平面 BCC1B1.取
8、B1C1的中点 O1,以 O为原点,以 为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, ),A(0,0, ),B1(1,2,0).设平面 A1BD的法向量为 n=(x,y,z), =(-1,2, ), =(-2,1,0).因为 n ,n ,故令 x=1,则 y=2,z=- ,故 n=(1,2,- )为平面 A1BD的一个法向量,而 =(1,2,- ),- 5 -所以 =n,所以 n,故 AB1平面 A1BD.B组1.设平面 的一个法向量为(1,2, -2),平面 的一个法向量为( -2,-4,k),若 ,则 k=( )A.2 B.-4 C.
9、4 D.-2解析: , 存在实数 ,使(1,2, -2)= (-2,-4,k),k= 4.答案:C2.如图, AB是 O的直径, VA垂直 O所在的平面,点 C是圆周上不同于 A,B的任意一点, M,N分别为 VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )A.MN ABB.MN与 BC所成的角为 45C.OC平面 VACD.平面 VAC平面 VBC解析:因为 M,N分别为 VA,VC的中点,所以 MN AC.因为 AB AC=A,所以 A选项不正确 .因为 AC BC,所以 MN与 BC所成的角为 90,B选项不正确 .又因为 OC不垂直于 AC,所以选项 C不正确 .因为 VA垂直 O所在的平面
10、,依题意可得平面 VAC平面 VBC.答案:D3.如图,定点 A和 B都在平面内,定点 P ,PB ,C是 内异于 A和 B的动点,且 PC AC,那么 C在平面 内的轨迹是( )A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一个椭圆,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点解析:连接 BC(图略),根据题意 BC为 PC在平面 内的射影 .PC AC,根据三垂线定理的逆定理知 AC BC, 点 C在以 AB为直径的圆上 .又 C是不同于点 A和 B的动点,因此应去掉端点 A和 B.答案:B4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AD=1,E为 CD的中点 .若在
11、棱 AA1上取一点 P,使得DP平面 B1AE,此时 AP的长为 . - 6 -解析:以 A为原点, 的方向分别为 x轴、 y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示) .设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E ,B1(a,0,1),故 =(0,1,1),=(a,0,1), .再设 P(0,0,z0),使得 DP平面 B1AE.此时=(0,-1,z0).又设平面 B1AE的法向量为 n=(x,y,z),则取 x=1,得 n= .要使 DP平面 B1AE,只要 n ,有 -az0=0,解得 z0= .又 DP平面 B1AE, 存在点 P,满足 DP平面
12、 B1AE,此时 AP= .答案:5.如图,正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直, CE AC,EF AC,AB= ,CE=EF=1.求证:(1) AF平面 BDE;(2)CF平面 BDE.证明(1)设 AC与 BD交于点 G.因为 EF AG,且 EF=1,AG= AC=1,- 7 -所以四边形 AGEF为平行四边形,所以 AF EG.因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE,所以 AF平面 BDE.(2)因为正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直,且 CE AC,所以 CE平面 ABCD.如图,以 C为原点,建立空间直角坐标系 C-xyz,则 C(0,0,0)
13、,A( ,0),B(0, ,0),D( ,0,0),E(0,0,1),F .所以 =(0,- ,1), =(- ,0,1).所以 =0-1+1=0, =-1+0+1=0.所以 CF BE,CF DE.又 BE DE=E,所以 CF平面 BDE.6. 导学号 90074038 如图,在三棱锥 P-ABC中, PA平面 ABC,AB AC.(1)求证: AC PB;(2)设 O,D分别为 AC,AP的中点,点 G为 OAB内一点,且满足 ),求证: DG平面PBC.证明(1)因为 PA平面 ABC,AC平面 ABC,所以 PA AC.又因为 AB AC,且 PA AB=A,所以 AC平面 PAB.
14、又因为 PB平面 PAB,所以 AC PB.(2)证法一:因为 PA平面 ABC,- 8 -所以 PA AB,PA AC.又因为 AB AC,所以建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.设 AC=2a,AB=b,PA=2c,则 A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),又因为),所以 G .于是 =(2a,-b,0), =(0,b,-2c).设平面 PBC的一个法向量 n=(x0,y0,z0),则有 不妨设 z0=1,则有 y0= ,x0= ,所以 n= .因为 n +1(-c)=0,所以 n .又因为 DG平面 PBC,所以 DG平面 PBC.证法二:取 AB中点 E,连接 OE,则 ).由已知 )可得,则点 G在 OE上 .连接 AG并延长交 CB于点 F,连接 PF.因为 O,E分别为 AC,AB的中点,所以 OE BC,即 G为 AF的中点 .又因为 D为线段 PA的中点,所以 DG PF.又 DG平面 PBC,PF平面 PBC,所以 DG平面 PBC.- 9 -
