1、- 1 -5.3 直线与平面的夹角课后训练案巩固提升1.下列有关角的说法正确的是( )A.异面直线所成的角的范围是B.两平面的夹角可以是钝角C.斜线和平面所成角的范围是D.直线与平面的夹角的取值范围是解析:异面直线所成的角的范围是 ,A 错;两平面的夹角的范围是 ,B 错;斜线与平面所成角就是斜线与平面的夹角,规定斜线和平面所成角的范围是 ,C 错;而直线与平面的夹角的取值范围是 ,D 对 .答案:D2.已知在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.解析:以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图 .设
2、 AA1=2AB=2,则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则=(0,1,0), =(1,1,0), =(0,1,2).设平面 BDC1的法向量为 n=(x,y,z),则 n ,n ,所以有 令 y=-2,得平面 BDC1的一个法向量为 n=(2,-2,1).设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ,则 sin =| cos|= .答案:A3.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 夹角的大小是( )A. B. C. D.- 2 -解析:如图,取 BC 的中点 E,
3、连接 DE,AE,AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得 AE平面 BB1C1C,故 ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 的夹角 .设各棱长为 1,则 AE= ,DE= ,所以 tan ADE= ,所以 ADE= ,故选 C.答案:C4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PD底面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 PD=AB=1,G 为 ABC 的重心,则 PG 与底面 ABCD 所成的角 满足( )A.=B.cos =C.tan =D.sin =解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以 G.又平面 ABC
4、D 的一个法向量为 n=(0,0,1),则cos= =- ,所以 PG 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 .- 3 -答案:B5.若平面 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与 夹角的余弦值为 . 解析: cos= ,l 与 夹角的余弦值为 .答案:6.如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE平面 ABCD,AF DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 的夹角为 ,则平面 FBE 与平面 DBE 夹角的余弦值是 . 解析:因为 DA,DC,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系 D-xyz,如图所示 .因为 BE 与平面 A
5、BCD 的夹角为 ,即 DBE= ,所以 .由 AD=3 可知 DE=3 ,AF= ,则 A(3,0,0),F(3,0, ),E(0,0,3 ),B(3,3,0),C(0,3,0).所以 =(0,-3, ), =(3,0,-2 ).设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),- 4 -则令 z= ,则 n=(4,2, ).由题意知 AC平面 BDE,所以 为平面 BDE 的法向量, =(3,-3,0).所以 cos= .故由题意知平面 FBE 与平面 DBE 夹角的余弦值为 .答案:7.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC底面 ABCD.已知 ABC
6、=45,AB=2,BC=2 ,SA=SB= .(1)求证: SA BC;(2)求直线 SD 与平面 SAB 夹角的正弦值 .(提示:用向量法求解)(1)证明如图,作 SO BC,垂足为 O,连接 AO.由侧面 SBC底面 ABCD,得 SO平面 ABCD.因为 SA=SB,所以 AO=BO.又 ABC=45,故 AOB 为等腰直角三角形,且 AO OB.如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向, OB 为 y 轴正向, OS 为 z 轴正向,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A( ,0,0),B(0, ,0),C(0,- ,0),S(0,0,1),所以 =( ,0,-1), =(0,
7、2 ,0).- 5 -所以 =0.所以 SA BC.(2)解如上图,取 AB 的中点 E .连接 SE,取 SE 的中点 G ,连接 OG,则 .所以 =0, =0,即 OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE,AB 垂直,所以 OG平面 SAB.将 的夹角记为 ,SD 与平面 SAB 的夹角记为 ,则 与 互余 .因为 D( ,-2 ,0),所以 =(- ,2 ,1),所以 cos = ,所以 sin = .所以直线 SD 与平面 SAB 夹角的正弦值为 .8.导学号 90074044 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2, BAD=60
8、.(1)求证: BD平面 PAC;(2)若 PA=AB,求 PB 与平面 PAC 所成角的余弦值;(3)若 PA=4,求平面 PBC 与平面 PDC 所成角的余弦值 .解(1)因为底面 ABCD 是菱形,所以 BD AC.又 PA平面 ABCD,所以 BD PA.又 PA AC=A,所以 BD平面 PAC.(2)设 BD AC=O,连接 PO,由(1)可知 BPO 即为 PB 与平面 PAC 所成的角 .因为 PA=AB=2,所以 PB=2 .又 BAD=60,- 6 -所以 OB= BD=1,所以 cos BPO= ,所以 PB 与平面 PAC 所成角的余弦值为.(3)以 BD 与 AC 的交点 O 为坐标原点, OB 为 x 轴, OC 为 y 轴,过点 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 .由已知可得, AO=OC= ,OD=OB=1,所以 P(0,- ,4),B(1,0,0),C(0, ,0),D(-1,0,0), =(0,2 ,-4), =(-1, ,0), =(-1,- ,0).设平面 PBC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 PDC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),由 可得 令 x1= ,可得 n1= .同理,由可得 n2= ,所以 cos= =- ,所以平面 PBC 与平面 PDC 所成角的余弦值为 .
