1、- 1 -第二章 空间向量与立体几何测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在以下命题中,不正确的有( )| a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; 若 ab,则存在唯一的实数 ,使 a= b; 若向量 a,b,c 构成空间的一个基底,则 a+b,b+c,c+a 构成空间的另一个基底;| (ab)c|=|a|b|c|.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析:只有 正确,故选 C.答案:C2.如图,已知四面体 ABCD,E,F,G,H 分别为
2、AB,BC,CD,AC 的中点,则 )=( )A. B.C. D.解析: )= )= ,又 , )= .答案:C3.已知 A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令 a= ,b= ,则 a+b=( )A.(5,-9,2) B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2) D.(5,-9,-2)解析: A (2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0), a= =(-1,0,-2),b= =(-4,9,0), a+b=(-5,9,-2).答案:B- 2 -4.已知 O-ABC 是四面体, G1是 ABC 的重心, G 是 OG1上一
3、点,且 OG=3GG1,若 =x +y +z ,则(x,y,z)为( )A. B.C. D.解析:如图,连接 AG1并延长交 BC 于点 E,则 E 为 BC 的中点, )= -2 ), -2). =3 =3( ), )=,故选 A.答案:A5.设 xy0z,空间向量 m= ,n= ,且 x2+9z2=4y(x-y),则 mn 的最小值是( )A.2 B.4 C.2 D.5解析: 空间向量 m= ,n= , mn=x2+ +9z2=4y(x-y)+- 3 -2 =4.当且仅当 4y(x-y)= 时取等号 .则 mn 的最小值是 4.答案:B6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E
4、,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E= A1D,AF= AC,则 ( )A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直B.EF 与 A1D,AC 都垂直C.EF 与 BD1相交D.EF 与 BD1异面解析:以 D 为坐标原点,分别以 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 D-xyz,设正方体的棱长为 3,则 A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3), =(-3,0,-3), =(-3,3,0), =(1,1,-1), =0,=0, ,A 1D EF,AC EF.又
5、 =(-3,-3,3), =-3 ,即 BD1与 EF 平行 .故选 B.答案:B7.已知空间三点 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线 OA 上有一点 H 满足 BH OA,则点 H的坐标为 ( )A.(-2,2,0) B.(2,-2,0)C. D.解析:由 =(-1,1,0),且点 H 在直线 OA 上,可设 H(- , ,0),则 =(- ,- 1,-1).又BH OA,- 4 - =0,即( - ,- 1,-1)(-1,1,0)=0,即 +- 1=0,解得 = ,H,故选 C.答案:C8.如图,正四棱锥 S-ABCD 中, O 为顶点在底面内的投影, P 为侧
6、棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC与平面 PAC 的夹角是( )A.30B.45C.60D.90解析:如图,以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz.设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P ,则 =(2a,0,0), =(a,a,0),设平面 PAC 的一个法向量为 n,可取 n=(0,1,1),则 cos= ,所以 =60,所以直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90-60=30.答案:A9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,E 是 A1B1的中点,则点 E 到平面 ABC1D1的距离是(
7、 )- 5 -A. B.C. D.解析: 建立如图所示的坐标系, 正方体的棱长为 1,A (1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E .设平面 ABC1D1的法向量为 n=(x,y,z). n =0,且 n =0,即( x,y,z)(0,1,0)=0,且( x,y,z)(-1,0,1)=0.y= 0,且 -x+z=0,令 x=1,则 z=1, n=(1,0,1). n0= .又 , 点 E 到平面 ABC1D1的距离为 | n0|= .答案:B10.如图,在四面体 P-ABC 中, PC平面 ABC,AB=BC=CA=PC,
8、则平面 ABP 与平面 APC 的夹角的余弦值为( )A. B.C. D.解析:- 6 -取 AC 的中点 D,连接 BD,过 D 作 DE PC,以 DB,DC,DE 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .由图知平面 APC 的法向量为 .设 AB=1,则 D(0,0,0),B ,A ,C ,P , =(0,-1,-1), .设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则令 y=3, n=(- ,3,-3). cos= =- ,即平面 ABP 与平面 APC 的夹角的余弦值为 .答案:C11.设 a,b 为非零向量, |b|=2|a|,两组向量 x1,x2
9、,x3,x4和 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成,若 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.0解析:设 a 与 b 的夹角为 . x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能: 2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2; 4ab=4|a|2|a|cos = 8|a|2cos ; aa+2ab+bb=|a|2+2|a|b|cos +| b|2=5|a|2+4|a|2cos .由此易知 最小,则 8|a|2cos = 4|a|2,解得 cos = ,= .答
10、案:B- 7 -12. 导学号 90074051 已知平面 与平面 的夹角为 60,AB ,AB l,A 为垂足, CD ,C l, ACD=135,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.解析:如图,在平面 内过 C 作 CE AB,则 ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,不妨取 CE=1,过 E 作 EO 于 O.在平面 内过 O 作 OH CD 于 H,连 EH,则 EH CD.因为 AB CE,AB l,所以 CE l.又因为 EO平面 ,所以 CO l,所以 ECO=60.而 ACD=135,CO l,所以 OCH=45.在 Rt E
11、CO 中, CO=CEcos ECO=1cos 60= .在 Rt COH 中, CH=COcos OCH=sin 45= .在 Rt ECH 中,cos ECH= .所以异面直线 AB 与 CD所成角的余弦值为 .故选 B.答案:B二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 .把答案填在题中的横线上)13.已知 l ,且 l 的方向向量为(2, m,1),平面 的法向量为 ,则 m= . 解析: l ,l 的方向向量与平面 的法向量垂直,即(2,m,1) =0, 2+ m+2=0,m=- 8.答案: -814.已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1,设 =a, =b,
12、 =c,则 = .- 8 -解析:如图,取 CC中点 E,连接 AC,AE. 正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1,=a, =b, =c, a+b+ c= . =| |= .答案:15.如图, PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面, AB=2,E 为 PB 的中点,cos = .以 D 为原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立直角坐标系,则点 E 的坐标为 . 解析:设 DP=2a,则 P(0,0,2a),B(2,2,0),E(1,1,a),A(2,0,0). =(0,0,2a), =(-1,1,a), cos = ,解得 a=1.E (1,1,1).
13、答案:(1,1,1)16.- 9 -如图,等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,平面 ABC 与平面 ABDE 的夹角的余弦值为,M,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值为 . 解析:如图所示,过点 C 作 CO平面 ABDE,垂足为 O,取 AB 的中点 F,连接 CF,OF,OA,OB,则 CFO 为二面角 C-AB-D 的平面角, cos CFO= .设 AB=1,则 CF= ,OF= ,OC= ,O 为正方形 ABDE 的中心 .如图建立空间直角坐标系,则 E ,A ,M ,N , cos= .答案:三、解答题(本大题共 6 个小题,共 7
14、0 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分 10 分)已知空间三点 A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求 ABC 的面积;(2)求 ABC 中 AB 边上的高 .解(1)由已知,得 =(1,-3,2), =(2,0,-8),| |= ,| |= =2 ,=12+(-3)0+2(-8)=-14, cos= , sin= .- 10 -S ABC= | |sin= 2 =3.(2)设 AB 边上的高为 CD,则 | |= =3 ,即 ABC 中 AB 边上的高为 3.18.(满分 12 分)如图,在长方体 ABCD-ABCD中, AB=2,AD=
15、1,AA=1.证明直线 BC平行于平面DAC,并求直线 BC到平面 DAC 的距离 .解如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0).设平面 DAC 的法向量 n=(u,v,w),则 n ,n .因为 =(1,0,1), =(0,2,1),n =0,n =0,所以解得 u=2v,w=-2v.取 v=1,得平面 DAC 的一个法向量 n=(2,1,-2).因为 =(-1,0,-1),所以 n =0,所以 n .又 BC不在平面 DAC 内,所以直线 BC与平面 DAC 平行 .由 =(1,0,0),得点 B
16、 到平面 DAC 的距离 d= ,- 11 -所以直线 BC到平面 DAC 的距离为 .19.(满分 12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中, PB底面 ABC, BCA=90,PB=BC=CA=2,E 为 PC 的中点,点 F 在 PA上,且 2PF=FA.(1)求证: BE平面 PAC;(2)求直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值 .解(1) PB 底面 ABC,且 AC底面 ABC,AC PB.由 BCA=90,可得 AC CB.又 PB CB=B,AC 平面 PBC.BE 平面 PBC,AC BE.PB=BC ,E 为 PC 的中点, BE PC.PC AC=C,BE 平面 P
17、AC.(2)以点 B 为坐标原点, BC 所在直线为 x 轴, BP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),.设平面 BEF 的法向量为 m=(x,y,z),由 m =0,m =0,得 x+ y+ z=0,x+z=0.取 x=1,则 y=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面 BEF 的一个法向量 .又 =(-2,-2,0),- 12 - cos= =- , 直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值为 .20.(满分 12 分)如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为
18、1 的菱形, ABC= ,OA底面 ABCD,OA=2,M 为OA 的中点, N 为 BC 的中点 .(1)求证:直线 MN平面 OCD;(2)求异面直线 AB 与 MD 夹角的大小;(3)求点 B 到平面 OCD 的距离 .解作 AP CD 于点 P.如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 .A(0,0,0),B(1,0,0),P ,D ,O(0,0,2),M(0,0,1),N.(1)证明: .设平面 OCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n =0,n =0,即取 z= ,解得 n=(0,4, ).- 13 - n= (0,4, )=0
19、,又 MN平面 OCD,MN 平面 OCD.(2)设 AB 与 MD 的夹角为 , =(1,0,0), , cos = .= ,即 AB 与 MD 的夹角的大小为 .(3)点 B 到平面 OCD 的距离为 d= , 点 B 到平面 OCD 的距离为 .21.(满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面 ABC 是直角三角形, AB=AC=1,AA1=2,点 P 是棱 BB1上一点,满足 = (0 1) .(1)若 = ,求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值;(2)若平面 PA1C 与平面 A1BC 的夹角的正弦值为 ,求 的值 .解以 A 为坐标原点,分别以 AB
20、,AC,AA1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系Axyz.因为 AB=AC=1,AA1=2,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2 ).(1)由 = 得, =(1,0,-2), =(0,1,-2).设平面 A1BC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),由不妨取 z1=1,则 x1=y1=2,从而平面 A1BC 的一个法向量为 n1=(2,2,1).- 14 -设直线 PC 与平面 A1BC 所成的角为 ,则 sin =| cos|= ,所以直线 PC 与平面 A1BC 所成的角的正弦值为 .(
21、2)设平面 PA1C 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), =(1,0,2- 2),由不妨取 z2=1,则 x2=2-2 ,y2=2,所以平面 PA1C 的法向量为 n2=(2-2 ,2,1).则 cos= .又因为二面角 P-A1C-B 的正弦值为 ,所以 ,化简得 2+8- 9=0,解得 = 1 或 =- 9(舍去),故 的值为 1.22. 导学号 90074052(满分 12 分)如图,在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点 .(1)求证: BD平面 FGH;(2)若 CF平面 ABC,AB BC,CF=DE, BAC=45,求平面 FGH
22、与平面 ACFD 夹角的大小 .(1)证法一连接 DG,CD,设 CD GF=O,连接 OH.在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G 为 AC 的中点,可得 DF GC,DF=GC,所以四边形 DFCG 为平行四边形 .则 O 为 CD 的中点,又 H 为 BC 的中点,所以 OH BD,又 OH平面 FGH,BD平面 FGH,所以 BD平面 FGH.证法二在三棱台 DEF-ABC 中,由 BC=2EF,H 为 BC 的中点,可得 BH EF,BH=EF,所以四边形 BHFE 为平行四边形 .可得 BE HF.- 15 -在 ABC 中, G 为 AC 的中点, H 为 BC 的中点
23、,所以 GH AB.又 GH HF=H,所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD平面 ABED,所以 BD平面 FGH.(2)解法一设 AB=2,则 CF=1.在三棱台 DEF-ABC 中, G 为 AC 的中点,由 DF= AC=GC,可得四边形 DGCF 为平行四边形,因此 DG FC.又 FC平面 ABC,所以 DG平面 ABC.在 ABC 中,由 AB BC, BAC=45,G 是 AC 中点,所以 AB=BC,GB GC,因此 GB,GC,GD 两两垂直 .以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz.所以 G(0,0,0),B( ,0,0),C(0, ,0),D(
24、0,0,1).可得 H ,F(0, ,1),故 =(0, ,1).设 n=(x,y,z)是平面 FGH 的一个法向量,则由 可得可得平面 FGH 的一个法向量 n=(1,-1, ).因为 是平面 ACFD 的一个法向量, =( ,0,0),所以 cos= .所以平面 FGH 与平面 ACFD 夹角的大小为 60.解法二作 HM AC 于点 M,- 16 -作 MN GF 于点 N,连接 NH.由 FC平面 ABC,得 HM FC,又 FC AC=C,所以 HM平面 ACFD.因此 GF NH,所以 MNH 即为所求的角 .在 BGC 中, MH BG,MH= BG= ,由 GNM GCF,可得 ,从而 MN= .由 HM平面 ACFD,MN平面 ACFD,得 HM MN,因此 tan MNH= ,所以 MNH=60.所以平面 FGH 与平面 ACFD 夹角的大小为 60.
