1、1四川省泸县四中高 2019 届三诊模拟考试数学（理工类）试题本试卷共 4 页，共 23 题（含选考题） ，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。1、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数 , , , 2iabiRabA B C D31132已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的正半轴重合，若它的终边经过点Ox，则0Pa， tan24A B C D7171773.设函数 的图象关于直线 对称，则 的值为 ()fxxaxaA3 B2 C. 1 D-14.二项式 展开式中的常数项为 5()xA10 B-10
2、 C. 5 D-55.已知等差数列 的前 项为 ， 且 ， ，则 nanS2nab137b2468b10SA90 B100 C110 D1206.已知 ，则点 在直线 的右下方是是双曲线 的离心0,b(1,)Pyxa2xyab率 的取值范围为 的 e(3,A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7. 设 ， ， ，则（ ）3loga1()2b8073tan4cA B C. Dcbccba8.2017 年 11 月 30 日至 12 月 2 日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行
3、联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7 名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不2能上第六节课，则 7 名教师上课的不同排法种数为A. 5040 B. 4800 C. 3720 D. 49209.已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ，则该三ABCCabcosbAc角形为 A等腰三角形 B等腰直角三角形 C等边三角形 D直角三角形10.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上的一点，点 关2(0)ypxFlMC于 的对称点为 ，若 且 ，则 的值为 lN9MF12pA18 B12 C6 D6 或 1811.已知函数 ，在 的大致图象如图所示，则sin0,
4、xfxaRa3,可取 aA B C. D 22412.已知 ，若 有四个不同的实根 且2log1,35xfxfxm1234,x，则 的取值范围为 1234xx3412mxA B C. D 0, 0,0,0,4二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若实数 满足 ，则 的最大值为 .,xy21xy14.若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 .2169224xymCABD11BEFHG315如图，在正方体 中， 分别为棱 的1DCBAHGFE, 111,DCBA中点，则 与平面 所成角的余弦值为 GHEF16已知函数 ，若方程 有两个解，则实数 的取值24,1 xafln2
5、fxa范围是_三、解答题：共 70 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题21 题为必考题，每个考生都必须作答第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17. (本大题满分 12 分)在 中， 分别是角 的对边，且 ，ABC,abc,ABC223acba（I）求 的值；32（II）若 ，求 的面积 .618.(本大题满分 12 分)为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标 )、推理(能力指标 )、建模(能力指标 )xyz的相关性，并将它们各自量化为 1、2、3 三个等级，再用综合指标 的值评定wx学生的数学核心素养，若 ，则数学核心素养为一级；若 ，
6、则数学核心素养7w56为二级；若 ，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人34员随机访问了某校 10 名学生，得到如下：（I）在这 10 名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（II）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为 ，从数学核心素养a等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为 ，记随机变量 ，求随机变量bXb的分布列及其数学期望.X19.(本大题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 中，底面四边形 是边长为 的正方形，PABCDABCD24， ，点 为 中点， 与 交于点 .32PBD4PCEPACBDO（）求证： 平面 ；OEABCD（
7、）求二面角 的余弦值.P20.(本大题满分 12 分)已知抛物线 的焦点 为曲线 的一个焦点， 为坐2:(0)ypF2:143xyO标原点，点 为抛物线 上任意一点，过点 作 轴的平行线交抛物线的准线于 ，直MCMP线 交抛物线于点 .OPN（）求抛物线 的方程；（）若 、 、 三个点满足 ，求直线 的方程.F2FN21(本大题满分 12 分)已知函数 .2ln1afxx（）讨论函数 的单调性；f（）若函数 存在两个极值点 且满足 ，求 的取值范围.fx12,x124fxfa请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分
8、）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数， ).以坐标原点为xOyCcos2inxaty0a极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 .lcos24（）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最大值；P23aPl（）若曲线 上所有的点均在直线 的右下方，求 的取值范围.Cla523 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 3fxxR（）求 的最大值 ；m（）设 ， ， ，且 ，求证： abc24abc1324abc6四川省泸县四中高 2019 届三诊模拟考试数学（理工类）试题答案一、选择题1.B 2.A 3.A 4.B 5.A 6.A 7.A 8.D
9、 9.D 10.C 11.C 12.D二、填空题13. 14. 15. 161252103,5三、解答题17.解：（）由223cosacbacB得出： 6B， 由 32ab及正弦定理可得出： siniA，所以 21sini3A， 再由 知 ，所以 为锐角， 1co9， 所以 2sinisinsincosin6CABB （）由 6b及 32ab可得出 4a，所以1si42326Sa. 18.（1）由题可知:建模能力一级的学生是 ；建模能力二级的学生是 ；9A245710,A建模能力三级的学生是 .记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 ，则1368,A.25410()=cP(2)由题可知，数学
10、核心素养一级: ，数学核心素养不是一级的: 123568,AA； 的可能取值为 1，2，3，4，5.47910,AX； ；32164()=CP()=P12647C(3)=PX； ； .1321264711264()8X164(5)2C随机变量 的分布列为：X7X1 2 3 4 5P47182123EX94519.解析：（I）在 中，有PBC22PBCPC同理可得： D而 ， 平面B,AD平面A在 中，易知 、 分别为 、 中点，则PCOECP而 平面 平面 /EBB（II）由（I）知： 平面 ，故可建立空间直角坐标系 ，如图所示，DOxyz则， ， ， 1,0A（,B（(0,1)D(04)P（
11、， ，(2,4)P,A1,A设 、 分别为平面 和平面 的一个法向量，则11nxyz22()nxyzBPAD8， ，10nAPB;20nD;1240xzy240xzy不妨设 ，则 ，12z1(,)2(,)n22221 1cos, 9()n;由图易知二面角 为钝二面角BPAD二面角的 的余弦值为 1920. 解：（）解由曲线 ，可得 ，所以曲线2:43xy2134xy是焦点在 轴上的双曲线，其中 ，故 ， 2:134xyx2,ab221cab的焦点坐标分别为 ，因为抛物线的焦点坐标为 ，由12(,0)(,)F、 (,0)2pF题意知 ，得 ，所抛物线的方程为2p24yx（）设直线 的方程为 ，联
12、立直线与抛物线的方程得 ，消去 得MN1tyx214tyx，设 ，由根与系数的关系得240yt12(,)(,)Ny，1212,因为 ，故 ，得 ，由 及 ，MFN12(,)(1,)xyy1212y124y解得 或 ，代入 ，解得 或12y12y124yt4tt故 的方程为 或 ，化简得 或MN4yxx20xy9420xy另解：如图，由 ，可设 ，则2MFN|2,|FtNt，因为 ，所以|2,|2MStEFtFSMNE;FMSE解得， ，所以 ，在 中，3t|3,|1tRt，即 （ 为直线的斜|1costan2SFFStan2Fxk率） ，所以直线 的方程为 ，即 ，由于对称性知另一条直线的MN
13、2(1)yx220xy方程为 .20x21.解：(1)定义域为 ，1xa且，2212fxax当 或 时， 恒成立，a00fx当 时，由 得 或 ，2f2a2xa于是结合函数定义域的分析可得：当 时，函数 在定义域 上是增函数；afx1,当 时，函数 定义域为 ，此时有 ，12f,12a于是 在 上是增函数，在 上是减函数，在fx1,2a,10上是增函数，2,a当 时，函数 定义域为 ，1fx1,于是 在 上为减函数，在 上为增函数，fx,当 时，函数 定义域为 ，此时有 ，01afx1,a12a于是 在 上是增函数，在 上是减函数，在fx,2a2,a上是减函数，在 上是增函数，,2a2,a当
14、时，函数 定义域为 ，0fx1,于是 在 上是增函数，在 上是增函数.fx1,a,a(2)由(1)知 存在两个极值点时， 的取值范围是 ，f 0,1,2由(1)可知， ，120xa1212121212 2lnln1lnaxafxfxxxxa；22 24ln1ln1aaa不等式 化为 ，12fxf2l 0令 ，所以 ，0,at1,t令 ， ，2lngtt,0,t当 时， ， ， ，所以 ，不合题意；1,0t2lngttln0t2t0gt当 时， ， ，,tltt 2211 tgttt所以 在 上是减函数，所以 ，适量题意，即 .gt0,1ln0t 1,2a综上，若 ，此时正数 的取值范围是 .1
15、24fxfa1,21122.解：（1）由 ，得 ，化成直角坐标方cos24cosin2程，得 ，即直线 的方程为 ，依题意，设 ，2xyl40xy3cos,2inPt则 到直线 的距离Pl，4cos23cosin62cos6tttd t当 ，即 时， ，故点 到直线 的距离的最大值为6tk2,tkZmax4dPl.42（2）因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方， 恒成立，Cl ,cos2in40tRatt即 (其中 )恒成立， ，又 ，解得 ，4cos4at2tan2423a故 的取值范围为 .0,2323.（1）由 知 ，即 ., 3,xfx3,fxm（2）： ， 40abca111233234bc当且仅当 ，即 ，4abca 234abc12a， 时取等号，即13b4c132b12
