1、1专题跟踪检测（十七） 概率、随机变量及其分布列一、全练保分考法保大分1(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 30723.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )A. B.112 114C. D.115 118解析：选 C 不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 C 45 种情况，而和为 30 的有 723,1119,1317 这 3 种情况，210所求概率为 .故选 C
2、.345 1152(2018武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和 b，则方程 ax2 bx10 有实数解的概率是( )A. B.736 12C. D.1936 518解析：选 C 投掷骰子两次，所得的点数 a 和 b 满足的关系为Error! a 和 b 的组合有36 种，若方程 ax2 bx10 有实数解，则 b24 a0， b24 a.当 b1 时，没有 a 符合条件；当 b2 时， a 可取 1；当 b3 时， a 可取 1,2；当b4 时， a 可取 1,2,3,4；当 b5 时， a 可取 1,2,3,4,5,6；当 b6 时， a 可取1,2,3,4,
3、5,6.满足条件的组合有 19 种，则方程 ax2 bx10 有实数解的概率 P .19363(2018合肥质检)已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分布N(100,4)现从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产品，其中质量在98,104内的产品估计有( )附：若 X 服从正态分布 N( ， 2)，则 P( X )0.682 7， P( 2 X 2 )0.954 5.A3 413 件 B4 772 件C6 826 件 D8 186 件解析：选 D 由题意知 100， 2，则 P(98 X104) P( X )12 P( 2 X 2 )0.818 6，所以质量在98,10
4、4内的产品估计有 10 20000.818 68 186 件4.(2019 届高三洛阳联考)如图，圆 O： x2 y2 2内的正弦曲线ysin x 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分)，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是( )A. B.4 2 4 3C. D.2 2 2 3解析：选 B 由题意知圆 O 的面积为 3，正弦曲线 ysin x， x，与 x 轴围成的区域记为 M，根据图形的对称性得区域 M 的面积 S2 sin xdx2cos 0xError!4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域M 内的概率 P ，
5、故选 B.4 35(2018潍坊模拟)某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进行 3 个轮次的投篮；每个轮次每人投篮 2 次，若至少投中 1 次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮1 次投中的概率为 ，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲 3 个轮次通过的次数 X 的23期望是( )A3 B.83C2 D.53解析：选 B 每个轮次甲不能通过的概率为 ，通过的概率为 1 ，因为甲13 13 19 19 893 个轮次通过的次数 X 服从二项分布 B ，所以 X 的数学期望为 3 .(3，89) 89 836.(2018潍坊模拟)如图，六边形 ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一
6、点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )A. B.14 13C. D.23 34解析：选 C 设正六边形的中心为点 O， BD 与 AC 交于点G， BC1，则 BG CG， BGC120，在 BCG 中，由余弦定理得1 BG2 BG22 BG2cos 120，得 BG ，所以 S333BCG BGBGsin 120 ，因为 S 六边形 ABCDEF S12 12 33 33 32 312BOC6 11sin 606 ，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是 112 332 .6S BCGS六 边 形 ABCDEF 237(2018福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸
7、伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是_解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为 a， b， c，则并排贴的情况有abc， acb， bac， bca， cab， cba，共 6 种，其中 b， c 相邻的情况有abc， acb， bca，c ba，共 4 种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率 P .46 23答案：238(2018唐山模拟)向圆( x2) 2( y )24 内随机投掷一点，则该点落在 x 轴下3方的概率为_解析：如图，连接 CA， CB，依题意，圆心 C 到 x 轴的距离为 ，所以弦 AB 的长为 2.3又圆的半径为 2，所以弓形 ADB
8、 的面积为 2 2 12 23 12 3 23，所以向圆( x2) 2( y )24 内随机投掷一点，则该点落在 x3 3轴下方的概率 P .16 34答案： 16 349从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是_解析：设事件 A 为“抽到的两张都是假钞” ，事件 B 为“抽到的两张至少有一张假钞” ，则所求的概率为 P(A|B)，因为 P(AB) P(A) ，C25C20 119P(B) ，C25 C15C15C20 1738所以 P(A|B) .P ABP B1191738 217答案：217410.(2018唐山模
9、拟)某篮球队在某赛季已结束的 8 场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图(1)根据这 8 场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值 和标准差 ；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布 N( ， 2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在 82 场比赛中得分在 26 分以上的平均场数参考数据：5.66， 5.68， 5.70.32 32.25 32.5正态总体 N( ， 2)在区间( 2 ， 2 )内取值的概率约为 0.954.解：(1) (78101517192123)15， 2 (8) 2(7) 2(5)18 1820 22 24 26 28 232.25.所以 5.68.所以估计甲每场比赛中得
10、分的均值 为 15，标准差 为 5.68.(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在 26 分以上的概率P(X26) 1 P( 2 X 2 ) (10.954)0.023，12 12设在 82 场比赛中，甲得分在 26 分以上的次数为 Y，则 Y B(82,0.023) Y 的均值 E(Y)820.0231.886.由此估计甲在 82 场比赛中得分在 26 分以上的平均场数为 1.886.11某化妆品公司从国外进口美容型和疗效型两种化妆品，分别经过本公司的两条生产线分装后进行销售，两种化妆品的标准质量都是 100 克/瓶，误差不超过5 克/瓶即视为合格产品，否则视为不合格产品现随机抽取两种产品各 6
11、0 瓶进行检测，检测结果统计如下：质量/克 90,95) 95,100) 100,105) 105,110美容型化妆品/瓶 5 22 23 10疗效型化妆品/瓶 5 21 19 15(1)根据上述检测结果，若从这两种化妆品中各任取一瓶，以频率作为概率，分别计算这两瓶化妆品为合格产品的概率；(2)对于一瓶美容型化妆品，若是合格产品，则可获得的利润为 a(单位：百元)，若不是合格产品，则亏损 a2(单位：百元)；对于一瓶疗效型化妆品，若是合格产品，则可获得5的利润为 a(单位：百元)，若不是合格产品，则亏损 2a2(单位：百元)那么当 a 为何值358时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最
12、大？解：(1)由表可知，任取一瓶美容型化妆品，其为合格产品的概率为 ；22 2360 34任取一瓶疗效型化妆品，其为合格产品的概率为 .21 1960 23(2)记 X 为任意一瓶美容型化妆品和一瓶疗效型化妆品所获得的利润之和，则 X 的所有可能取值为 a， a2 a2， a a2，3 a2，438 358则 P ，(X438a) 34 23 12P(X a2 a2) ，34 13 14P ，(X358a a2) 14 23 16P(X3 a2) ，14 13 112所以随机变量 X 的分布列为X a438 a2 a2a a2358 3 a2P 12 14 16 112所以 E(X) a (
13、a2 a2) (3 a2)438 12 14 (358a a2) 16 a2 a (a2) 2 ，112 1112 113 1112 113所以当 a2 时， E(X)取得最大值，即当 a 为 2 时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大12(2019 届高三贵阳模拟)从 A 地到 B 地共有两条路径 L1和 L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过 L1和 L2所用时间的频率分布直方图分别如图(1)和(2)现甲选择 L1或 L2在 40 分钟内从 A 地到 B 地，乙选择 L1或 L2在 50 分钟内从 A 地到 B 地(1)求图(1)中 a 的值；并回答，为了尽最大可能在各自
14、允许的时间内赶到 B 地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到 B 地的人数，针对(1)中的选择方案，求 X 的分布列和数学期望6解：(1)由图(1)可得(0.010.023 a)101，解得 a0.03，用 Ai表示甲选择 Li(i1,2)在 40 分钟内从 A 地到 B 地，用 Bi表示乙选择 Li(i1,2)在 50 分钟内从 A 地到 B 地，则 P(A1)(0.010.020.03)100.6， P(A2)(0.010.04)100.5，因为 P(A1) P(A2)，所以甲应选择 L1.又 P(B1)(0.010.020.030.02)100
15、.8，P(B2)(0.010.040.04)100.9，因为 P(B2) P(B1)，所以乙应选择 L2.(2)用 M， N 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙两人在各自允许的时间内赶到 B 地，由(1)知 P(M)0.6， P(N)0.9， X 的可能取值为 0,1,2.由题意知，M，N 相互独立， P(X0)0.40.10.04，P(X1)0.40.90.60.10.42，P(X2)0.60.90.54， X 的分布列为X 0 1 2P 0.04 0.42 0.54 E(X)00.0410.4220.541.5.13(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品
16、在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p(00；当 p(0.1,1)时， f( p)400，故应该对余下的产品作检验二、加练大题考法少失分1.(2018郑州质检)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于 12 月 4 日到 12 月 31 日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各 200 名员工 12 月 5 日到 12 月 14 日共 10 天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所
17、示，(1)若甲单位数据的平均数是 122，求 x 的值；(2)现从图中的数据中任取 4 天的数据(甲、乙两个单位中各取 2 天)，记抽取的 4 天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于 130 的天数分别为 1， 2，令 1 2，求 的分布列和数学期望解：(1)由题意知， 105107113115119126(120 x)132134141110122，解得 x8.(2)由题得 1的所有可能取值为 0,1,2， 2的所有可能取值为 0,1,2，因为 1 2，所以随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于 130 的天数为 3，乙单位低碳出行的人数不低于 1
18、30的天数为 4，8所以 P( 0) ，C27C26C210C210 745P( 1) ，C17C13C26 C27C14C16C210C210 91225P( 2) ，C23C26 C27C24 C17C13C16C14C210C210 13P( 3) ，C23C16C14 C17C13C24C210C210 22225P( 4) .C23C24C210C210 2225所以 的分布列为 0 1 2 3 4P 745 91225 13 22225 2225所以 E( )0 1 2 3 4 .745 91225 13 22225 2225 752(2018福州模拟)某学校八年级共有学生 400
19、 人，现对该校八年级学生随机抽取50 名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：等级 水平一 水平二 水平三 水平四男生/名 4 8 12 6女生/名 6 8 4 2(1)根据表中统计的数据填写下面 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？实践操作能力较弱 实践操作能力较强 总计男生/名女生/名总计(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取 4 名进行学习能力测试，记抽到水平一的男生的人数为 ，求 的分布列和数学期望下面的临界值表供参考：P(K
20、2 k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.0019k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式： K2 ，n ad bc 2 a b c d a c b d其中 n a b c d.解：(1)补充 22 列联表如下：实践操作能力较弱 实践操作能力较强 总计男生/名 12 18 30女生/名 14 6 20总计 26 24 50 K2 4.3273.841.50 612 1418 230202624有 95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关(2) 的可能取值为 0,1,2,3,4.P( 0) ， P( 1) ，C46C410 114 C14
21、C36C410 821P( 2) ， P( 3) ，C24C26C410 37 C34C16C410 435P( 4) .C4C410 1210 的分布列为 0 1 2 3 4P 114 821 37 435 1210 E( )0 1 2 3 4 .114 821 37 435 1210 853(2018开封模拟)某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为1,2，8，其中 X5 为标准 A， X3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲
22、厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下表所示：X1 5 6 7 8P 0.4 a b 0.110且 X1的数学期望 E(X1)6，求 a， b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，判断哪个工厂的产品更具可购买性？并说明理由注：产品的“性价比”产品的等级系数的数学期
23、望/产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性解：(1) E(X1)6，50.46 a7 b80.16，即 6a7 b3.2.又 0.4 a b0.11，即 a b0.5.联立解得 a0.3， b0.2.(2)由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2 3 4 5 6 7 8P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数 X2的数学期望等于 4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6，价格为 6 元/件，其
24、性价比为 1，66乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8，价格为 4 元/件，其性价比为 1.2，4.84又 1.21，乙厂的产品更具可购买性4(2019 届高三洛阳联考)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 M 的经营状况，对该公司 6 个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图11(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 y 与月份代码 x 之间的关系求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 M 公司 2019 年 2 月份(即 x8 时)的市场占有率；(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车现有采购成
25、本分别为 1 000 元/辆和1 200 元/辆的 A， B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用 4 年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：使用年限车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计A 20 35 35 10 100B 10 30 40 20 100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入 500 元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率如果你是 M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望
26、值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为 x ，y b a 其中 ， .b ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 a y b x解：(1)由数据计算可得 3.5，x1 2 3 4 5 66 16.y11 13 16 15 20 216iyi111213316415520621371，6i 1x121 22 23 24 25 26 291，6i 1x2i 2， 1623.59.b 371 63.51691 63.52 a 月度市场占有率 y 与月份代码 x 之间的线性回归方程为 2 x9.y 当 x8 时， 28925.y 故 M 公司 2019 年 2 月份的市
27、场占有率预计为 25%.(2)由频率估计概率，每辆 A 款车可使用 1 年，2 年，3 年和 4 年的概率分别为0.2,0.35,0.35 和 0.1，每辆 A 款车产生利润的期望值为E(X)(5001 000)0.2(1 0001 000)0.35(1 5001 000)0.35(2 0001 000)0.1175(元)由频率估计概率，每辆 B 款车可使用 1 年，2 年，3 年和 4 年的概率分别为 0.1,0.3,0.4和 0.2，每辆 B 款车产生利润的期望值为E(Y)(5001 200)0.1(1 0001 200)0.3 (1 5001 200)0.4(2 0001 200)0.2150(元) E(X) E(Y)，应该采购 A 款单车
