1、1专题跟踪检测（十三） 圆锥曲线的方程与性质一、全练保分考法保大分1直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，14则该椭圆的离心率为( )A. B13 12C. D23 34解析：选 B 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0， b)和一个焦点 F(c,0)，则直线l 的方程为 1，即 bx cy bc0.由题意知 2b，解得 ，即 e .故xc yb | bc|b2 c2 14 ca 12 12选 B2(2019 届高三湖南长郡中学模拟)已知 F 为双曲线 C： 1( a0， b0)的一x2a2 y2b2个焦点，其关于双曲线 C 的一条渐近线的对称点
2、在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率为( )A. B2 3C2 D 5解析：选 C 依题意，设双曲线的渐近线 y x 的倾斜角为 ，则有 3 ， ba， tan ，双曲线 C 的离心率 e 2. 3 ba 3 3 1 (ba)23(2019 届高三南宁、柳州名校联考)已知双曲线 1( b0)的一个焦点与抛x23 y2b物线 y28 x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A y x B y x13 33C y3 x D y x3解析：选 B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线 1 的一个焦点坐标x23 y2b是(2,0)，则 c2，且双曲线的焦点在 x 轴上，所以 3 b2
3、 2，即 b1，于是双曲线的渐近线方程为 y x.334(2018昆明调研)过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与C 交于 A， B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若|MN| AB|，则 l 的倾斜角为( )2A15 B30C45 D60解析：选 B 分别过 A， B， N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 A， B， Q，由抛物线的定义知| AF| AA|，| BF| BB|，| NQ| (|AA| BB|) |AB|，因为12 12|MN| AB|，所以| NQ| |MN|，所以 MNQ60，即直线 MN
4、 的倾斜角为 120，又直线12MN 与直线 l 垂直且直线 l 的倾斜角为锐角，所以直线 l 的倾斜角为 30.5(2018南昌模拟)已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) 4A. B12 22C1 D 2解析：选 B 如图，设 F1， F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点， P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1| PF2|2 a1，| PF1| PF2|2 a2，| PF1| a1 a2，| PF2| a1 a2.设| F1F2|2 c
5、，又 F1PF2 ，则在 PF1F2中，由余弦定理得，4 c2( a1 a2)2( a1 a2) 422( a1 a2)(a1 a2)cos ，化简得(2 )a (2 )a 4 c2，设椭圆的离心率为 4 2 21 2 2e1，双曲线的离心率为 e2， 4，2 2e21 2 2e2又 2 ，2 2e21 2 2e2 2 2e21 2 2e2 22e1e2 4，即 e1e2 ，22e1e2 22椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 .226(2018长春质检)已知 O 为坐标原点，设 F1， F2分别是双曲线 x2 y21 的左、右焦点， P 为双曲线上任意一点，过点 F1作 F1PF2的平分线的
6、垂线，垂足为 H，则| OH|( )A1 B2C4 D12解析：选 A 不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长 F1H 交PF2于点 M，由于 PH 既是 F1PF2的平分线又垂直于 F1M，故 PF1M3为等腰三角形，| PF1| PM|且 H 为 F1M 的中点，所以 OH 为 MF1F2的中位线，所以|OH| |MF2| (|PF2| PM|) (|PF2| PF1|)1.12 12 127已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ， E 的右焦点与抛物线 C： y28 x 的焦12点重合， A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则| AB|_.解析：抛物线 C： y28 x 的焦
7、点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.从而椭圆 E 的半焦距 c2.可设椭圆 E 的方程为 1( ab0)，因为离心率 e ，所以 a4，所以x2a2 y2b2 ca 12b2 a2 c212.由题意知| AB| 2 6.2b2a 124答案：68(2018南宁模拟)已知椭圆 1( ab0)的一条弦所在的直线方程是x2a2 y2b2x y50，弦的中点坐标是 M(4，1)，则椭圆的离心率是_解析：设直线 x y50 与椭圆 1 相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，x2a2 y2b2因为 AB 的中点 M(4,1)，所以 x1 x28， y1 y22.易知直线 AB 的斜率 k
8、 1.y2 y1x2 x1由Error! 两式相减得， 0， x1 x2 x1 x2a2 y1 y2 y1 y2b2所以 ，所以 ，y1 y2x1 x2 b2a2 x1 x2y1 y2 b2a2 14于是椭圆的离心率 e .ca 1 b2a2 32答案：329(2019 届高三惠州调研)已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两个焦点，y2a2 x2b2过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M在以线段 F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，不妨设 F1(0， c)， F2(0， c)，则过点 F1与渐近线 y x 平行
9、的直线为 y x c，联立Error!ab ab4解得Error! 即 M .因为点 M 在以线段 F1F2为直径的圆 x2 y2 c2内，故(bc2a， c2)2 2b0)的左、右焦点分别x2a2 y2b2为 F1， F2，上顶点为 B，若 BF1F2的周长为 6，且点 F1到直线 BF2的距离为 B(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A1， A2是椭圆 C 长轴的两个端点， P 是椭圆 C 上不同于 A1， A2的任意一点，直线A1P 交直线 x m 于点 M，若以 MP 为直径的圆过点 A2，求实数 m 的值解：(1)由题意得 F1( c,0)， F2(c,0)， B(0， b)，则 2
10、a2 c6.直线 BF2的方程为 bx cy bc0，所以 b，即 2c a.| bc bc|c2 b2又 a2 b2 c2，所以由可得 a2， b ，3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)不妨设 A1(2,0)， A2(2,0)， P(x0， y0)，则直线 A1P 的方程为 y (x2)，y0x0 2所以 M .(m，y0x0 2 m 2 )又点 P 在椭圆 C 上，所以 y 3 .20 (1x204)若以 MP 为直径的圆过点 A2，则 A2M A2P，即 0，A A2P 所以 (x02， y0)(m 2，y0x0 2 m 2 )( m2)( x02) (m2)y20x0 2
11、( m2)( x02) (m2)3(1 x204)x0 25( x02) 0.(14m 72)又点 P 不同于点 A1， A2，所以 x02，所以 m 0，解得 m14.14 7211(2018唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中，长为 1 的线段的两端点 C， D 分别在2x 轴、 y 轴上滑动， .记点 P 的轨迹为曲线 E.CP 2PD (1)求曲线 E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线 E 相交于 A， B 两点， ，当点 M 在曲线OM OA OB E 上时，求四边形 AOBM 的面积解：(1)设 C(m,0)， D(0， n)， P(x， y)由 ，得( x m， y) (
12、 x， n y)，CP 2 PD 2所以Error! 得Error!由| | 1，得 m2 n2( 1) 2，CD 2 2所以( 1) 2x2 y2( 1) 2，2 2 1 22 2整理，得曲线 E 的方程为 x2 1.y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 ，知点 M 坐标为( x1 x2， y1 y2)OM OA OB 由题意知，直线 AB 的斜率存在设直线 AB 的方程为 y kx1，代入曲线 E 的方程，得( k22) x22 kx10，则 x1 x2 ， x1x2 .2kk2 2 1k2 2y1 y2 k(x1 x2)2 .4k2 2由点 M 在曲线 E 上，知
13、( x1 x2)2 1， y1 y2 22即 1，4k2 k2 2 2 8 k2 2 2解得 k22.所以| AB| |x1 x2|1 k26 ，3 x1 x2 2 4x1x2322又原点到直线 AB 的距离 d ，11 k2 33所以平行四边形 OAMB 的面积 S| AB|d .6212(2019 届高三洛阳第一次统考)已知短轴长为 2 的椭圆 E： 1( ab0)，x2a2 y2b2直线 n 的横、纵截距分别为 a，1，且原点 O 到直线 n 的距离为 .32(1)求椭圆 E 的方程；(2)直线 l 经过椭圆 E 的右焦点 F 且与椭圆 E 交于 A， B 两点，若椭圆 E 上存在一点
14、C满足 2 0，求直线 l 的方程OA 3OB OC 解：(1)椭圆 E 的短轴长为 2， b1.依题意设直线 n 的方程为 y1，xa由 ，解得 a ，11a2 1 32 3故椭圆 E 的方程为 y21.x23(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，当直线 l 的斜率为 0 时，显然不符合题意当直线 l 的斜率不为 0 或直线 l 的斜率不存在时， F( ，0)，设直线 l 的方程为2x ty ，2由Error! 消去 x，得( t23) y22 ty10，2 y1 y2 ， y1y2 ，22tt2 3 1t2 3 2 0，OA 3 OB OC x3 x1
15、x2， y3 y1 y2，12 32 12 32又点 C 在椭圆 E 上， y 2 2 1x233 23 13(12x1 32x2) (12y1 32y2) 14(x213 y21) 34(x23 y2) 32(13x1x2 y1y2)，又 y 1， y 1，x213 21 x23 27 x1x2 y1y20，13将 x1 ty1 ， x2 ty2 及代入得 t21，2 2即 t1 或 t1.故直线 l 的方程为 x y 0 或 x y 0.2 2二、强化压轴考法拉开分1(2018全国卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点， Ox2a2 y2b2是坐标原点过 F2
16、作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若| PF1| |OP|，则 C 的离心率6为( )A. B25C. D3 2解析：选 C 法一：不妨设一条渐近线的方程为 y x，ba则 F2到 y x 的距离 d b.ba |bc|a2 b2在 Rt F2PO 中，| F2O| c，所以| PO| a，所以| PF1| a，6又| F1O| c，所以在 F1PO 与 Rt F2PO 中，根据余弦定理得cos POF1 cos POF2 ，a2 c2 6a 22ac ac即 3a2 c2( a)20，得 3a2 c2，所以 e .6ca 3法二：如图，过点 F1向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P
17、，连接 P F2，由题意可知，四边形 PF1P F2为平行四边形，且 PP F2是直角三角形因为| F2P| b，| F2O| c，所以| OP| a.又| PF1| a| F2P|，| PP|2 a，所以| F2P| a b，所以6 2c a，所以 e .a2 b2 3ca 32(2018合肥质检)已知椭圆 M： y21，圆 C： x2 y26 a2在第一象限有公共x2a2点 P，设圆 C 在点 P 处的切线斜率为 k1，椭圆 M 在点 P 处的切线斜率为 k2，则 的取值范k1k2围为( )8A(1,6) B(1,5)C(3,6) D(3,5)解析：选 D 由于椭圆 M： y21，圆 C：
18、 x2 y26 a2在第一象限有公共点 P，所x2a2以Error! 解得 30， b0)，则 c2.由 a2 b2 c2，得 b24 a2，当 x1x2a2 y2b2时， y2 a2 5.要使双曲线与线段 CD(包括端点 C， D)有两个交点，则 a2 53，4a2 4a2解得 a242 或 0 a24 2 ，由 a242 得 a 12，舍去，3 3 3 3 a242 ，即 0 a 1.双曲线的离心率 e 1.即该双曲线的离3 3ca 23 1 3心率的取值范围是 1， )3答案： 1，)36(2018洛阳统考)已知 F1， F2分别为双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右x2a2 y2
19、b2焦点， P(x0， y0)是双曲线 C 右支上的一点，连接 PF1并过 F1作垂直于 PF1的直线交双曲线左支于 R， Q，其中 R( x0， y0)， QF1P 为等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为_解析：设 O 为坐标原点，连接 OP， OR， F2P， F2R，因为 P， R 关于原点对称，所以| OP| OR|，又| OF1| OF2|， PF1 RQ，故四边形 F1RF2P 为矩形10设| PF1| m，由双曲线的定义，得| PF2| m2 a.法一：因为 QF1P 为等腰直角三角形，所以| QF1| PF1| m，| PQ| m，2连接 QF2，则| QF2| m2 a.在
20、QPF2中， QPF24590135，由余弦定理得( m2 a)2( m2 a)2( m)22( m2 a) mcos 135，化简得2 2m3 a.在 Rt F1PF2中，| PF1|3 a，| PF2| a，| F1F2|2 c，所以(3 a)2 a2(2 c)2，即 5a22 c2， ，ca 102即双曲线的离心率为 .102法二：因为 QF1P 为等腰直角三角形，所以| QF1| PF1| m，连接 QF2，则在 Rt QRF2中，| RQ|2 m2 a，|RF2| m，| QF2| m2 a，由勾股定理得(2 m2 a)2 m2( m2 a)2，化简得 m3 a.在 Rt F1PF2中，| PF1|3 a，| PF2| a，| F1F2|2 c，所以(3 a)2 a2(2 c)2，即 5a22 c2， ，ca 102即双曲线的离心率为 .102答案：10211
