1、11.1.2 瞬时变化率导数学习目标 重点难点1能说出平均变化率和瞬时变化率的区别与联系2会分析瞬时变化率就是导数的含义3能记住导数的定义，会利用导数定义求函数的导函数.重点：瞬时变化率的理解难点：利用导数定义求函数的导函数.1瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为_(2)一般地，如果当 t_0 时，运动物体位移 s(t)的平均变化率无限趋近于一个_，那么这个_称为物体在 t t0时的s(t0 t) s(t0) t_，也就是位移对于时间的_预习交流 1做一做：如果质点 A 按规律 s3 t2运动，则在 t3 s 时的瞬时速度为_2瞬时加速度一般地，如果当 t_时，运动物体速
2、度 v(t)的平均变化率无限趋近于一个_，那么这个_称为物体在 t t0时的v(t0 t) v(t0) t_，也就是速度对于时间的_3导数(1)设函数 y f(x)在区间( a， b)上有定义， x0( a， b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值 无限趋近于一个_ A，则称 f(x)在 x x0处_，并称该 y x f(x0 x) f(x0) x_A 为函数 f(x)在 x x0处的_，记为_(2)导数 f( x0)的几何意义就是曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处切线的_(3)若 f(x)对于区间( a， b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变
3、化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的_，记作_预习交流 2做一做：设函数 f(x)可导，则当 x0 时， 等于_f(1 x) f(1)3 x预习交流 3做一做：函数 y x 在 x1 处的导数是_1x预习交流 4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点2答案：预习导引1(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流 1：提示： s(3 t)3(3 t)2396 t( t)22718 t3( t)2.s(3)33 227. s s(3 t) s(3)18 t3(
4、t)2， 183 t，当 t0 时， 18. s t s t2无限趋近于 0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3(1)常数 可导 常数 导数 f( x0) (2)斜率 (3)导函数 f( x)预习交流 2：提示： ，当 x0 时，f(1 x) f(1)3 x 13 f(1 x) f(1) x f(1)，原式 f(1)f(1 x) f(1) x 13预习交流 3：提示：函数 y f(x) x ，1x y f(1 x) f(1)1 x 11 .11 x ( x)21 x ，当 x0 时， 0，即 y x 在 x1 处的导数为 0. y x x1 x y x 1x预习交流 4：提示：利用导数的几何
5、意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数 y f(x)在点 x0处的导数 f( x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y y0 f( x0)(x x0)；(3)将所得切线方程化为一般式一、求瞬时速度一辆汽车按规律 s at21 做直线运动，当汽车在 t2 s 时的瞬时速度为 12 m/s，求 a.思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在 t2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出 a 的值1一个物体的运动方程为 s1 t t2.其中 s 的单位是 m， t 的单位是 s，那么物体在 3 s 末的瞬时速度是_2子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是 a510 5 m
6、/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为 t01.610 3 s求子弹射出枪口时的瞬时速度根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律 s s(t)；(2)由时间改变量 t 确定路程改变量 s s(t0 t) s(t0)；(3)求平均速度 v ； s t3(4)运用逼近思想求瞬时速度，当 t0 时， v(常数) s t二、利用导数的定义求函数的导数已知 f(x) x23.(1)求 f(x)在 x2 处的导数；(2)求 f(x)在 x a 处的导数思路分析：根据导数的定义进行求解深刻理解概念是正确解题的关键1若函数 f(x) ax2 在 x3 处的导数等于 4，则 a_.2(1)求函数
7、f(x) 在 x1 处的导数；1x 1(2)求函数 f(x)2 的导数x结合函数，先求出 y f(x0 x) f(x0)，再求 y x，当 x0 时，求 的值，即 f( x0)f(x0 x) f(x0) x y x三、导数的几何意义已知 y2 x3上一点 A(1,2)，求点 A 处的切线斜率思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手1抛物线 y x2在点 Q(2,1)处的切线方程为_142已知曲线 y3 x2 x，求曲线上一点 A(1,2)处的切线的斜率及切线方程1导数的几何意义是指：曲线 y f(x)在( x0， y0)点处的切线的斜率就是函数
8、 y f(x)在 x x0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值2运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率3若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解1若一物体的运动方程为 s2 t2，则该物体在 t6 时的瞬时速度为12_2已知曲线 y x22 上一点 P ，则过点 P 的切线的倾斜角为_12 (1， 32)3函数 f(x)13 x 在 x2 处的导数为_4一质点按规律 s2 t3运动，则 t2 时的
9、瞬时速度为_5如图，函数 y f(x)的图象在点 P 处的切线是 l，则 f(2) f(2)_.4提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解： s at21， s(2 t) a(2 t)214 a4 a t a( t)21.于是 s s(2 t) s(2)4 a4 a t a( t)21(4 a1)4 a t a( t)2， 4 a a t. s t 4a t a( t)2 t当 t0 时， 4 a， s t依题意有 4a12， a3.迁移与应用：15 m/s 解析： s(3 t)1(3 t)(3 t)2(
10、 t)25 t7，所以 s(3 t) s(3)( t)25 t，故 t5，s(3 t) s(3) t于是物体在 3 s 末的瞬时速度，即 t0 时， 5(m/s) s t2解：运动方程为 s at2.12 s a(t0 t)2 at at0 t a( t)2，12 12 20 12 at0 a t， t0 时， at0. s t 12 s t由题意知 a510 5(m/s2)， t01.610 3 (s)，故 at0810 2800(m/s)即子弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.活动与探究 2：解：(1)因为 y x f(2 x) f(2) x(2 x)2 3 (22 3) x54 x
11、，当 x 无限趋近于 0 时，4 x 无限趋近于 4，所以 f(x)在 x2 处的导数等于 4.(2)因为 y x f(a x) f(a) x(a x)2 3 (a2 3) x2 a x，当 x 无限趋近于 0 时，2 a x 无限趋近于 2a，所以 f(x)在 x a 处的导数等于 2a.迁移与应用：14 解析：由题意知 f(3)4，而 f(3) a，当 y x a(3 x) 2 (3a 2) x x0 时， a，故 a4. y x2解：(1)(导数定义法) y f(1 x) f(1) ， 12 x 12 x2(2 x) y x，从而 x0 时，2 x2， f(x)在 x1 处的导数等于 .
12、 12(2 x) 14(导函数的函数值法) y ， 1x x 1 1x 1 x(x x 1)(x 1) y x，从而 x0 时， ，于是 f(1) . 1(x x 1)(x 1) y x 1(x 1)2 1(1 1)2 14(2) y f(x x) f(x)2 2 ，x x x y x 2x x 2x x(2r(x x) 2r(x)(r(x x) r(x) x(r(x x) r(x) ，2x x x从而 x0 时， . y x 1x活动与探究 3：解：设 A(1,2)， B(1 x,2(1 x)3)，则割线 AB 的斜率为 kAB66 x2( x)2，当 x 无限趋近于 0 时， kAB无限趋
13、近于常数 6，从而2(1 x)3 2 x曲线 y2 x3在点 A(1,2)处的切线斜率为 6.迁移与应用：1 x y10 解析： y x2， y (2 x)2 22 x ( x)14 14 14 142， 1 x， y x 14当 x0 时， 1，即 f(2)1，由导数的几何意义得抛物线 y x2在点 y x 14Q(2,1)处的切线的斜率为 1.切线方程为 y1 x2，即 x y10.2解：因为 53 x， y x 3(1 x)2 (1 x) (312 1) x当 x 无限趋近于 0 时，53 x 无限趋近于 5，所以曲线 y3 x2 x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5.切线方程为 y
14、25( x1)，即 5x y30.6当堂检测16 解析： t6，当 s t s(6 t) s(6) t 2 12(6 t)2 ( 16) t 12 t0 时， 6. s t245 解析： 1 x，当 y x 12(1 x)2 2 121 2 x x 12( x)2 x 12 x 无限趋近于 0 时，1 x 无限趋近于 1，曲线 y x22 在点 P 处的切线12 12 (1， 32)斜率为 1，倾斜角为 45.33 解析： y f(2 x) f(2)3 x， 3，则 x 趋于 0 时， y x3. y x f(x)在 x2 处的导数为3.424 解析： s s(2 t) s(2)2(2 t)322 3286( t)212 t( t)31624 t12( t)22( t)3， 2412 t2( t)2，则当 t0 时， 24. s t s t5 解析：由题图可知，直线 l 的方程为 9x8 y360.98当 x2 时， y ，即 f(2) .94 94又切线斜率为 ，即 f(2) ，98 98 f(2) f(2) .98
