1、11.2.3 简单复合函数的导数学习目标 重点难点1结合实例，理解复合函数的求导法则2会求简单复合函数的导数.重点：复合函数的求导法则难点：复合函数的求导.1复合函数由基本初等函数复合而成的函数，称为_2复合函数的导数一般地，我们有：若 y f(u)， u ax b，则 y x_，即 y x_.y x， y u分别表示 y 关于_的导数及 y 关于_的导数预习交流 1做一做：函数 y(3 x4) 2的导数是_预习交流 2做一做：函数 ycos 2 x 的导数为_预习交流 3如何求复合函数的导数？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预
2、习导引1复合函数2 y uu x y ua x u预习交流 1：提示：令 y t2， t3 x4，则 y( t2)t x2 t36 t18 x24.预习交流 2：提示： ycos t， t2 x， y y tt xsin t22sin 2 x.预习交流 3：提示：复合函数求导的主要步骤是：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数一、复合函数的导数2求下列函数的导数：(1)f(x)(2 x1) 2；(2)f(x)ln(4 x1)；(3)f(x)2 3x2 ；(4)f(x) ；5x 4(5)f(x)s
3、in ；(3x 6)(6)f(x)cos 2x.思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则1若 f(x)e 2 x，则 f(0)的值等于_2函数 f(x) x 的导数为 f( x)_.1 x求复合函数的导数时要注意以下四点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数如(sin 2 x)2cos 2 x，而(sin 2 x)cos 2 x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间
4、变量转换成自变量的函数，如求 ysin 的导数，设 ysin u， u2 x ，则(2x 3) 3y x y uu x2cos u2cos .(2x 3)(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可省略，不写在试卷上，但应该在草纸上拆开求导，不可图省事导致错误二、复合函数的应用已知 f(x)在 R 上满足 f(x)2 f(2 x) x28 x8，则曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程是_思路分析：先由导数的几何意义，求出切线的斜率，再求切线方程已知直线 y x1 与曲线 yln( x a)相切，则 a 的值为_对抽象函数 f(2 x)求导应为 f(2 x)(2 x) f(2 x)，
5、这是解决此类题目的关键1函数 y (exe x)的导数是_122函数 y 的导数为_1(1 2x)53若 f(x)(2 x a)2，且 f(2)20，则 a_.4曲线 ye 2 x1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 y x 围成的三角形的面积为_5求下列函数的导数：(1)y5log 2(2x1)；(2)ycos ；(53 7x)(3)y(2 x1) 5.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记3知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)设 y u2， u2 x1，则 y y uu x2 u(2)4(2 x1)8 x4.(2)设 y
6、ln u， u4 x1，则 y y uu x 4 .1u 44x 1(3)设 y2 u， u3 x2，则 y y uu x2 uln 233ln 22 3x2 .(4)设 y ， u5 x4，u则 y y uu x 5 .12u 525x 4(5)设 ysin u， u3 x ， 6则 y y uu xcos u33cos .(3x 6)(6)方法 1：设 y u2， ucos x，则 y y uu x2 u(sin x)2cos xsinxsin 2 x；方法 2： f(x)cos 2x cos 2x，1 cos 2x2 12 12所以 f( x) 0 (sin 2 x)2sin 2 x.(
7、12 12cos 2x) 12迁移与应用：12 解析： f(x)e 2 x， f( x)(e 2 x)e 2 x(2 x)2e 2 x，故f(0)2.2 解析： f( x)( x) x( )2 3x21 x 1 x 1 x x (1 x)1 x121 x .1 xx21 x 2 3x21 x活动与探究 2：2 x y10 解析： f(x)2 f(2 x) x28 x8， f( x)2 f(2 x)2 x8， f(1)2 f(1)218,3 f(1)6，切线斜率 k f(1)2.而 f(1)2 f(1)881， f(1)1.切线方程为 y12( x1)，即 2x y10.迁移与应用：2 解析：设
8、切点为( x0， y0)，则 y0 x01， y0ln( x0 a)，即 x01ln( x0 a) y ， 1，即 x0 a1，1x a 1x0 a x01ln 10， x01， a2.4当堂检测1 (exe x) 解析： y ex e x (exe x)12 (12ex) (12e x) 12 12 122 解析： y (12 x)5 ，设 y t5 ， t12 x，10(1 2x)6 1(1 2x)5 y5 t6 (2)10 t6 .10(1 2x)631 解析：设 f(x) t2， t2 x a，则 f( x)2 t24 t4(2 x a)， f(2)4(4 a)20， a1.4 解析： y(2 x)e 2 x2e 2 x， k2e 02，13切线方程为 y22( x0)，即 y2 x2.如图所示， y2 x2 与 y x 的交点坐标为 ， y2 x2 与 x 轴的交点坐(23， 23)标为(1,0)， S 1 .12 23 135解：(1)设 y5log 2u， u2 x1.则 y y uu x 2 .5uln 2 10uln 2 10(2x 1)ln 2(2)设 ycos u， u 7 x.53则 y y uu xsin u(7)7sin .(53 7x)(3)设 y u5， u2 x1，则 y y uu x5 u4210 u410(2 x1) 4.
