1、11.4 导数在实际生活中的应用学习目标 重点难点1学会解决利润最大，用料最省，效率最高等优化问题2学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用3提高将实际问题转化为数学问题的能力.重点：用导数解决实际生活中的最优化问题难点：将实际问题转化为数学问题.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中有着广泛的应用例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的_问题，从而可用_来解决预习交流 1做一做：有一长为 16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为_ m2.预习交流 2做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是 27，且用料最省，则圆柱
2、的底面半径为_预习交流 3用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习导引最值 导数预习交流 1：提示：设矩形长为 x m，则宽为(8 x) m，矩形面积 S x(8 x)(8 x0)，令 S82 x0，得 x4.此时 S 最大 4 216(m 2)预习交流 2：提示：设半径为 r，则高 h ，27r2 S2 rh r22 r r2 r2，27r2 54r令 S2 r 0，得 r3，54r2当 r3 时，用料最省预习交流 3：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，
3、2不符合实际意义的值应舍去(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f( x)0 的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值一、面积、体积最大问题如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 2r，短半轴长为 r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD=2x，梯形面积为 S.(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积 S 的最大值思路分析
4、：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积1求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解2必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题二、费用最省问题如图所示，设铁路 AB=50， B， C 之间距离为 10，现将货物从 A 运往 C，已知单
5、位距离铁路费用为 2，公路费用为 4，问在 AB 上何处修筑公路至 C，可使运费由 A 至 C 最省？思路分析：可从 AB 上任取一点 M，设 MB=x，将总费用表示为变量 x 的函数，转化为函数的最值求解某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048 x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？Error!Error!1求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；2在实际问题中，有时会遇
6、到函数在区间内只有一个点使 f( x)0 的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；3在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表3示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域三、利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 13 万元/辆，年销售量为 5 000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 x1)，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销
7、售量(1)若年销售量增加的比例为 0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于 x 的函数为 y3 240 ，则当 x 为何值时，本年度的( x2 2x53)年利润最大？最大利润是多少？思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P24 200 x2，且生产 x 吨的成本为 R50 000200 x 元问该产品每月生产多15少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分
8、析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 y f(x)第二步，求函数的导数 f( x)，解方程 f( x)0.第三步，比较函数在区间端点和使 f( x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值1若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为_2一个箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x) x2 (0 x60)，则当箱子的(60 x2 )容积最大时， x 的值为_3将 8 分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于_4以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值
9、为_5某商品每件成本 9 元，销售价 30 元，每星期卖出 432 件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量 x(单位：元，0 x30)的平方成正比已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，4则点 C 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y，满足方程2
10、14xyr(y0)，解得 y2 (0 x r)r2 x2S (2x2 r)2 2( x r) ，12 r2 x2 r2 x2其定义域为 x|0 x r(2)记 f(x)4( x r)2(r2 x2),0 x r，则 f( x)8( x r)2(r2 x)令 f( x)0，得 x r.12因为当 0 x r 时， f( x)0；当 r x r 时， f( x)0，所以 f 是 f(x)的12 12 (12r)最大值因此，当 x r 时， S 也取得最大值，最大值为 r2，即梯形面积 S 的最大12 f(12r) 332值为 r2.332迁移与应用：解：设容器底面短边的边长为 x m，则另一边长为
11、( x0.5) m，高为3.22 x(m)14.8 4x 4(x 0.5)4由题意知 x0， x0.50，且 3.22 x0，0 x1.6.设容器的容积为 V m3，则有 V x(x0.5)(3.22 x)2 x32.2 x21.6 x(0 x1.6) V6 x24.4 x1.6.令 V0，有 15x211 x40，解得 x11， x2 (舍去)415当 x(0,1)时， V( x)0， V(x)为增函数，x(1,1.6)时， V( x)0， V(x)为减函数 V 在 x(0,1.6)时取极大值 V(1)1.8，这个极大值就是 V 在 x(0,1.6)时的最大值，即 Vmax1.8.这时容器的
12、高为 1.2 m.当高为 1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为 1.8 m3.活动与探究 2：解：设 MB x，于是 AM 上的运费为 2(50 x)， MC 上的运费为 4，则由 A 到 C 的总运费为102 x2p(x)2(50 x)4 (0 x50)100 x2p( x)2 ，令 p( x)0，4x100 x2解得 x1 ， x2 (舍去)103 1035当 x 时， p( x)0；当 x 时， p( x)0，所以当 x 时，取得最小值103 103 103即在离 B 点距离为 的点 M 处筑公路至 C 时，货物运费最省1033迁移与应用：解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)
13、元，则f(x)(56048 x)2 16010 0002 000x56048 x (x10， xN*),10 800xf( x)=48 2令 f( x)=0,得 x=15 或 x=15(舍去)，当 x15 时， f( x)0；当 10 x15 时， f( x)0，因此当 x=15 时， f(x)取最小值 f(15)=2000.故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为 15 层.活动与探究 3：解：(1)由题意得：上年度的年利润为(1310)5 00015 000(万元)；本年度每辆车的投入成本为 10(1 x)；本年度每辆车的出厂价为 13(10.7 x)；本年度年销售量为 5 00
14、0(10.4 x)，因此本年度的年利润为 y13(10.7 x)10(1 x)5 000(10.4 x)(30.9 x)5 000(10.4 x)1 800 x21 500 x15 000(0 x1)，由1 800 x21 500 x15 00015 000，解得 0 x .56所以当 0 x 时，本年度的年利润比上年度有所增加56(2)本年度的年利润为f(x)(30.9 x)3 240( x2 2x53)3 240(0.9 x34.8 x24.5 x5)，则 f( x)3 240(2.7 x29.6 x4.5)972(9 x5)( x3)，由 f( x)0，解得 x 或 x3(舍去)，59当
15、 x 时， f( x)0， f(x)是增函数；(0，59)当 x 时， f( x)0， f(x)是减函数(59， 1)所以当 x 时， f(x)取极大值 f 20 000 万元59 (59)因为 f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当 x 时，本年度的年利润最大，最大利润为 20 000 万元59迁移与应用：解：每月生产 x 吨时的利润为6f(x) x(50 000200 x)(24 20015x2) x324 000 x50 000( x0)15由 f( x) x224 0000，35解得 x1200， x2200(舍去)因为 f(x)在0，)内只有一个点 x200 使
16、 f( x)0，故它就是最大值点，且最大值为 f(200) 200324 00020050 0003 150 000(元)15答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元当堂检测12 r2 解析：如图，设内接圆柱的底面半径为 R，母线长为 L，则 R=rcos ， L=2rsin ，所以侧面积 S=2 rcos 2rsin =4 r2sin cos .令 S =4 r2(cos2sin 2)=0，解得 0,42，即当 4，也就是R= r 时，侧面积 S 最大，且最大值为 2 r2.240 解析： V(x) x330 x2， V( x) x260 x，令 V( x)0，得
17、12 32x40( x0 舍去)，且当 0 x40 时 V( x)0；当 40 x60 时 V( x)0，故 V(x)在x40 时取得最大值344 解析：设其中一个数为 x，则另一个数为 8 x，且 0 x8，则 y x3(8 x)2 x3 x216 x64，y3 x22 x160，解得 x2 ，且当 0 x2 时， y0；当 2 x8 时， y0，故当(x 83舍 去 )x2 时， y 取最小值 44.425 解析：设矩形垂直于直径的一边长为 x，则另一边长为 2 ，于是矩形面25 x2积 S(x)2 x ，则 S( x) ，令 S( x)0 得 x ，因25 x250 4x225 x2 5
18、22(x 522舍 去 )此当 x 时面积取最大值为 S 25.522 (522)5解：(1)设商品降价 x 元时，多卖出的商品数为 kx2，若记商品在一个星期的销售利润为 f(x)，则由题意，得 f(x)(30 x9)(432 kx2)(21 x)(432 kx2)又由已知条件 24 k22，得 k6. f(x)6 x3126 x2432 x9 072， x0,30(2)由(1)，知 f( x)18 x2252 x43218( x2)( x12)当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 0,2) 2 (2,12) 12 (12,307f( x) 0 0 f(x) A极小值 A极大值 A故 x12 时， f(x)有极大值， x2 时， f(x)有极小值又 f(0)9 072， f(2)8 664， f(12)11 664，所以定价为 301218 元，能使一个星期的商品销售利润最大
