1、12.1.1 合情推理学习目标 重点难点1结合已学过的数学实例和生活中的实例，能分析合情推理的含义，能利用归纳推理和类比等方法进行简单的推理2会分析归纳推理与类比推理的联系与区别，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.重点：理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理难点：1能运用合情推理进行简单推理2认识合情推理在数学发现中的作用.1推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为_任何推理都包含_和_两个部分，_是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；_是根据_推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么2归纳推理(1)从个别事实中推演出一般性的结论，像这
2、样的推理通常称为_其思维过程大致为_.(2)归纳推理的特点归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所_由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为_的工具归纳推理是一种具有创造性的推理通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们_预习交流 1做一做：由三角形的内角和是 180，凸四边形的内角和是 3602180，凸五边形的内角和是 5403180，归纳出结论：_.3类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为_，简称_
3、其思维过程大致为_.预习交流 2做一做：对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类比上述命题，可得命题为_4合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程_和_都是数学活动中常用的合情推理预习交流 3合情推理具有哪些特点？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点2答案：预习导引1推理 前提 结论 前提 结论 前提2(1)归纳推理 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论(2)包容的范围 数学证明 发现问题和提出问题预习交流 1：提示：凸 n 边形的内角和是
4、( n2)1803类比推理 类比法 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论预习交流 2：提示：夹在两平行平面之间的平行线段相等4归纳推理 类比推理预习交流 3：提示：合情推理有如下特点：(1)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；(2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向；(3)一般来说，合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠一、归纳推理根据下列条件写出数列的前 4 项，并归纳猜想它们的通项公式：(1)a10， an1 an(2 n1)( nN *)；(2)a11， an1 an(nN *)12思路分析：本题可利用归纳推理求出数
5、列的通项公式归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，在得出前几项结果后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想出结论1观察下列各式：7 249,7 3343,7 42 041，则 72 011的末两位数字为_2(2012 陕西高考)观察下列不等式1 ，122 321 ，122 132 531 ，122 132 142 74照此规律，第五个不等式为_3(2012 山东省实验中学诊断，文 14)若 f(n)为 n21 的各位数字之和，如1421197,19717，则 f(14)17，记 f1(n) f(n)， f2(n) f(f1(n)， f3(n) f(f2(n)， fk1 (n)
6、 f(fk(n)， kN *，则 f2 012(8)_.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况，发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题(猜想)二、类比推理3在平面上，若两个正三角形的边长比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为_思路分析：两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为 18.已知 ABC 的边长分别为 a， b， c，内切圆半径为 r，用 S ABC表示 ABC 的面积，则S ABC r(a b
7、 c)类比这一结论有：若三棱锥 A BCD 的内切球半径为 R，则三棱锥体12积 VA BCD_.(1)类比定义：本类型题解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性(2)类比性质(定理)：本类型题解决的关键是要理解已知性质(定理)的内涵及应用环境、使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌” (3)类比方法(公式)：本类型题解决的关键在于从解题方法(或公式)中，获得使用方法(或公式)的启示或推导方法(或公式)的手段，从而指导解决新问题(4)类比范例：对有些提供范例的推理题，解答时可根据所给的信息与所求问题的相似性，运用类比的方法仿照范例，使问题得到解决1在 ABC 中， D
8、 为 BC 的中点，则 AD ( B C)，将命题类比到四面体中去12得到一个类比命题：_.2若数列 an(nN *)是等差数列，则数列 bn (nN *)也是等差a1 a2 a3 ann数列类比上述性质，相应地：若数列 cn(nN *)是等比数列，且 cn0，则数列 dn_( nN *)也是等比数列3设平面内有 n 条直线( n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若 f(n)表示这 n 条直线交点的个数，则 f(4)_，当 n4 时， f(n)_(用 n 表示)4(2012 山东济宁邹城二中月考，文 13)给出下列命题：命题 1：点(1,1)是直线 y x 与双曲线 y
9、 的一个交点；1x命题 2：点(2,4)是直线 y2 x 与双曲线 y 的一个交点；8x命题 3：点(3,9)是直线 y3 x 与双曲线 y 的一个交点；27x请观察上面命题，猜想出命题 n(n 为正整数)为_5对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图表示的“分裂” 记 53的“分裂”中的最小数为 a，而 52的“分裂”中最大数为 b，则 a b_.46(2012 湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249 等显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，99；3 位回文数有 90个：101,111,121，191,202
10、，999.则(1)4 位回文数有_个；(2)2n1( nN *)位回文数有_个提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)当 n1 时， a10.由 an1 an(2 n1)( nN*)，得 a2 a111，a3 a234，a4 a359.由 a10 2， a21 2， a32 2， a43 2，可归纳出 an( n1) 2.(2)当 n1 时， a11，由 an1 an(nN*)得 a2 a1 ， a3 a2 ， a4 a3 .12 12 12 12 14 12 18由 a1 ， a2 ， a3
11、2， a4 3，可归纳猜想 n(nN*)120迁移与应用：143 解析：因为 717,7 249,7 3343,7 42 401，7 516 807，7 6117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期 T4.又 2 01145023，所以 72 011的末两位数字与 73的末两位数字相同，为 43.21 解析：由前几个不等式可知 1 122 132 142 152 162 116 122 132 142 .1n2 2n 1n所以第五个不等式为 1 .122 132 142 152 162 11635 解析：8 2165,6511， f(8)11， f1(8) f(8)11.又11
12、 21122,1225， f2(8) f(f1(8) f(11)5.又 52126，268， f3(8) f(f2(8) f(5)8，同理有 f4(8)11， f5(8)5， f6(8)8， fk(8)的值呈周期性出现，周期为 3. f2 012(8) f2(8)5.活动与探究 2：18迁移与应用：R(S ABC S ACD S BCD S ABD) 解析：内切圆半径 r 内切球半径 R，13 类 比 三角形的周长： a b c 三棱锥各面的面积和： S ABC S ACD S BCD S ABD， 类 比 三角形面积公式系数 三棱锥体积公式系数 .12 类 比 13类比得三棱锥体积VA BC
13、D R(S ABC S ACD S BCD S ABD)135(证明时，三角形的结论可用等面积法，三棱锥的结论可用等体积法)当堂检测1在四面体 A BCD 中， G 是 BCD 的重心，则 AG ( B C AD) 解析：13平面中线段的中点类比到空间四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线2 解析：等差数列中，由 a1 an a2 an1 ，得 bnnc1c2c3cn a1 (n1)，仍为等差数a1 a2 a3 ann (a1 an)n2n a1 an2 a1 a1 (n 1)d2 d2列而等比数列中，由 c1cn c2cn1 ，得 dn nc1c2c3cn(1)2q，仍为等比
14、数列nc1(c1q)(c1q2)(c1qn 1)35 (n1)( n2) 解析：如图可得 f(4)5.12 f(3)2， f(4)5 f(3)3， f(5)9 f(4)4， f(6)14 f(5)5，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数 f(n) f(n1) n1，累加，得 f(n) f(3)345( n1)234( n1) (n1)( n2)124点( n， n2)是直线 y nx 与双曲线 y 的一个交点 解析：由已知交点依次写为n3x(1,12)，(2,2 2)，(3,3 2)，命题 n 中交点为( n， n2)直线中系数依次为 1,2,3，命题 n 中直线的系数为 n.双曲
15、线中系数依次为 13,23，3 3，命题 n 中双曲线系数为n3，命题 n 为：点( n， n2)是直线 y nx 与双曲线 y 的一个交点n3x530 解析：2 2的“分裂”中有连续 2 个从 1 开始的奇数，3 2的“分裂”中有连续3 个从 1 开始的奇数，4 2的“分裂”中有连续 4 个从 1 开始的奇数，5 2的“分裂”中有连续 5 个从 1 开始的奇数，即 ， b9.又2 3,33,43的“分裂”依次是从 3 开始的连续奇数，5 3的“分裂”的第一个数为21，即 a21. a b30.6(1)90 (2)910 n 解析：(1) 2位回文数均是不为 0 的自然数，故有 9 个；而对于3 位回文数，首、末均相同且不为 0，故有 9 种，而对于中间一数可含有 0，故有 10 种，因此 3 位回文数有 90 种；对于 4 位回文数，首、末均相同且不为 0，故有 9 种，对于中间两数则可含有 0，故有 10 种，因此也有 90 种；(2)经归纳可得 2n1 位回文数有 910n个
