1、12.2.1 直接证明学习目标 重点难点1能知道直接证明的两种基本方法综合法和分析法2会分析综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.重点：综合法和分析法的思维方法和步骤难点：综合应用两种方法解题.1直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为_(2)直接证明的一般形式为：Error!_.2综合法(1)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为_(2)综合法的推证过程是：_ _.预习交流 1做一做：已知数列 an的通项公式为 an2 n，求证：数列 an为等比数列3分析法(1)从问题的结论出发
2、，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为_(2)分析法的推证过程是：_ _.预习交流 2做一做：求证： 2 .6 7 2 5在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习导引1(1)直接证明 (2)本题结论2(1)综合法 (2)已知条件 结论预习交流 1：提示： an2 n， 2(常数)由等比数列的定an 1an 2n 12n 22n2n义可知，数列 an为公比是 2 的等比数列3(1)分析法 (2)结论 已知条件预习交流 2：提示：要证原不等式成立，只需证( )2(2 )2，
3、即证6 7 2 52 2 ，由于上式显然成立，因此原不等式成立42 402一、综合法的应用设 a， b， c 为不全相等的正数，且 abc1，求证： .1a 1b 1c a b c思路分析：(1)综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式(2)综合法证明不等式时，要注意不等式的性质和已证过的不等式各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， AB=AD， BAD=60， E， F 分别是 AP， AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.1综合法的证明步骤：(1)分析条件，
4、选择方向，确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等(2)转化条件，组织过程，将条件合理转化，书写出严密的证明过程2综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性，奇偶性；立体几何中的证明，不等式的证明等问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型二、分析法的应用如图， SA平面 ABC， AB BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证： AF SC.思路分析：利用线线垂直、线面垂直的相互转化寻求 AFSC 成立的条件当 a b0 时，求证： (a b)a2 b222在分析法证明中，从结论出发的每
5、一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实因此，从最后一步可以倒推回去，得3到结论，但这个倒推过程可以省略三、综合法和分析法的综合应用求证：当 x0 时，sin x x.思路分析：不等式的成立问题，可以转化为函数最值问题来解决已知 ， k (kZ)，且 sin cos 2sin ， 2sin cos sin 2 ，求证： .1 tan21 tan2 1 tan22(1 tan2 )实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通
6、已知条件和结论的途径1设 alg 2lg 5， be x(x0)，则 a 与 b 的大小关系为_2已知函数 f(x)满足：当 x4 时， f(x)2 x，当 x4 时， f(x) f(x1)，则f(2log 23)_.3命题“函数 f(x) x xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x) x xln x 取导得 f( x)ln x，当 x(0,1)时， f( x)ln x0，故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法4已知实数 a0，且函数 f(x) a(x21) 有最小值1，则 a_.(2x1a)5补充下面用分析法证明基本不等式 ab 的步骤：a
7、2 b22要证明 ab，a2 b22只需证明 a2 b22 ab，只需证_，只需证_由于_显然成立，因此原不等式成立提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：证明： a0， b0， c0，且 abc1， bc ca ab.1a 1b 1c又 bc ca2 2 2 ，bc ca abc2 c同理 bc ab2 ， ca ab2 .b a a， b， c 不全相等，上述三个不等式中的“”不能同时成立2( bc ca ab)2( )，c a b4即 bc ca ab .a b c故 .1a 1b 1c a b c
8、迁移与应用：证明：(1)在 PAD 中，因为 E， F 分别为 AP， AD 的中点，所以 EF PD.又因为 EF平面 PCD， PD平面 PCD，所以直线 EF平面 PCD.(2)连结 BD.因为 AB AD， BAD60，所以 ABD 为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以 BF AD.因为平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以 BF平面 PAD.又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.活动与探究 2：证明：要证 AF SC，而 EF SC，故只需证 SC平面 AEF，只需证 AE SC，而 AE SB，故只需证 AE平
9、面 SBC，只需证 AE BC，而 AB BC，故只需证 BC平面 SAB.只需证 BC SA，而由 SA平面 ABC 可知 SA BC，即上式成立， AF SC.迁移与应用：证明：要证 (a b)，a2 b222只需证( )2 2，a2 b2 22(a b)即证 a2 b2 (a2 b22 ab)，即证 a2 b22 ab.12因为 a2 b22 ab 对一切实数恒成立，所以 (a b)成立a2 b222综上所述，不等式得证活动与探究 3：证明：要证 x0 时，sin x x，只需证 x0 时，sin x x0 即可设 f(x)sin x x，则即证 x0 时， f(x)0，即证 x0 时，
10、f(x)的最大值小于或等于 0 即可 f(x)sin x x， f( x)cos x1，当 x0 时 f( x)0， f(x)在0，)上递减当 x0 时， f(x)max f(0)0， f(x)max0 成立，原不等式成立迁移与应用：5证明：要证 ，1 tan21 tan2 1 tan22(1 tan2 )即证 ，1 sin2cos21 sin2cos21 sin2cos22(1 sin2cos2 )即证 cos2 sin 2 (cos2 sin 2 )，12即证 12sin 2 (12sin 2 )，即证 4sin2 2sin 2 1.12因为(sin cos )22sin cos 1，所以将代入上式，可得4sin2 2sin 2 1.由于上式与相同，于是问题得证当堂检测1 a b 解析： alg 2lg 5lg 101，而 be xe 01，故 a b.224 解析：1log 22log 23log 242，3log 2324.由已知得f(2log 23) f(3log 23) log3log 8324.3综合法41 解析： f(x) ax22 x a 有最小值，则 a0，对称轴 x ，则 f(x)min f1a 1a1，即 f a 22 a 1，1a 1a即 a 1，则 a2 a20.2a a0， a1.5 a2 b22 ab0 ( a b)20 ( a b)20
