1、12.2.2 间接证明学习目标 重点难点1能知道反证法的思考过程、特点2会用反证法证明数学问题.重点：反证法的适用范围、思考过程、特点及应用难点：会用反证法证明数学问题.1间接证明(1)不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明的方法通常称为_(2)_是一种常用的间接证明方法2反证法(1)用反证法证明时，要从否定_开始，经过正确的推理，导致逻辑_，从而达到新的否定(即肯定原命题)(2)用反证法证明命题“若 p 则 q”的过程可以用框图表示： .肯 定 条 件 p， 导 致 逻 辑 “p且 綈 q”为 假 “3反证法证明过程包括三个步骤(1)_假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真(2)
2、_从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果(3)_由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立预习交流做一做：用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设应该是_在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习导引1(1)间接证明 (2)反证法2(1)结论 矛盾 (2)否定结论 q 矛盾 若 p 则 q”为真3(1)反设 (2)归谬 (3)存真预习交流：提示：假设三角形的内角中至少有两个钝角一、用反证法证明否定性命题设数列 an是首项为 a1，公比为 q 的等比数列， Sn是它的前 n 项和(1)求证：数列 S
3、n不是等比数列2(2)数列 Sn是等差数列吗？为什么？思路分析：仔细分析题意可得(1)(2)中都含有否定性命题，可采用反证法证明，解题时要注意对公比 q 的分析设 a， b， c， dR，且 ad bc1.求证： a2 b2 c2 d2 ab cd1.当要证结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾二、用反证法证明“至多” “至少”问题证明：若函数 f(x)在区间 a， b上是增函数，那么方程 f(x)0 在区间 a， b上至多有一个实根思路分析：结论中含词语“至多” ，宜
4、采用反证法，注意“至多有一个”的否定是“至少有 2 个” 若 x0， y0，且 x y2，求证： 与 中至少有一个小于 2.1 yx 1 xy(1)结论若是“都是” “都不是” “至多” “至少”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅突破口的问题，宜考虑使用反证法(2)要想得到与原命题相反的判断，必先弄清原命题的含义，即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大)，然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论，从这些结论中把原命题所含的结论剔除，就得到原命题的相反判断三、用反证法证明“唯一”性问题用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 只有一条直线 b 与已知直线 a 平行思路分析：假设过点 A
5、有两条直线与直线 a 平行，由平行公理推出与假设矛盾的结论过平面 内的点 A 作直线 a，使得 a ，求证：直线 a 是唯一的1当证明结论以“有且只有” “只有一个” “唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了2用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，再灵活运用1应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用，正确的序号是_结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论2用反证法
6、证明命题“如果 a b，那么 ”时，假设的内容应是_3a 3b3命题“ a， b 是实数，若| a1| b1|0，则 a b1”用反证法证明时应假设为_4用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： A B C9090 C180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设 ABC 中有两个直角，不妨设 A90， B90.上述步骤的正确顺序为_5下列叙述正确的有_(填序号)“ a b”的反面是“ a b”；“ x y”的反面是“ x y 或 x y”；3“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形
7、没有钝角” 提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)证明：假设数列 Sn是等比数列，则 S S1S3，2即 a (1 q)2 a1a1(1 q q2)，21因为 a10，所以(1 q)21 q q2，即 q0，这与公比 q0 矛盾，所以数列 Sn不是等比数列(2)当 q1 时， Sn是等差数列；当 q1 时， Sn不是等差数列；假设当 q1 时数列 Sn是等差数列，则 2S2 S1 S3，即 2a1(1 q) a1 a1(1 q q2)，得 q0，这与公比 q0 矛盾，所以当 q1 时数列Sn不
8、是等差数列迁移与应用：证明：假设 a2 b2 c2 d2 ab cd1.因为 ad bc1，所以 a2 b2 c2 d2 ab cd bc ad0，即( a b)2( c d)2( a d)2( b c)20，所以 a b0， c d0， a d0， b c0，则 a b c d0，这与已知条件ad bc1 矛盾故假设不成立，所以 a2 b2 c2 d2 ab cd1.活动与探究 2：证明：假设方程 f(x)0 在区间 a， b上至少有两个实根，设 ， 为其中的两个实根因为 ，不妨设 ，又因为函数 f(x)在 a， b上是增函数，所以 f( ) f( )这与假设 f( )0 f( )矛盾，所以
9、方程 f(x)0 在区间 a， b上至多有一个实根迁移与应用：证明：假设 与 都大于等于 2，即 2， 2.1 yx 1 xy 1 yx 1 xy因为 x0， y0，所以 1 y2 x，1 x2 y.得 2 x y2 x2 y，所以 x y2，这与已知条件 x y2 矛盾，所以假设不成立，所以 与 中至少有一个小于 2.1 yx 1 xy活动与探究 3：证明：假设过点 A 还有一条直线 b与已知直线 a 平行，即b b A， b a.因为 b a，由平行公理知 b b.这与假设 b b A 矛盾，所以假设错误，原命题成立迁移与应用：证明：假设这样的直线不唯一，则过点 A 至少还有一条直线 b，使得 b .直线 a， b 是相交直线，直线 a， b 可以确定一个平面 .4设 和 相交于过点 A 的直线 c. a ， c ， a c.同理可得 b c.这样在平面 内，过点 A 就有两条直线垂直于 c，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，故假设错误，从而这样的直线 a 是唯一的当堂检测12 成立3a 3b3 a1 或 b1 解析：“ a b1”亦即“ a1 且 b1” ，所以其否定应为“ a1或 b1” 45 解析：不正确， “a b”的反面是“ a b”；正确；不正确，原命题的反面漏掉了“三角形的外心在三角形上” ；不正确，原命题的反面为“最少有两个钝角”
