1、1问题 11 含参数的线性规划与非线性规划问题性一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值二、经验分享(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可(2)利用几何意义求
2、解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据 z 的几何意义确定最优解,切忌搞错符号三、知识拓展常见代数式的几何意义： 表示点( x,y)与原点(0,0)的距离, 表示点( x,y)与点( a,b)的距离；x2 y2 x a 2 y b 2 表示点( x,y)与原点(0,0)连线的斜率, 表
3、示点( x,y)与点( a,b)连线的斜率yx y bx a四、题型分析类型一 目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解） ，将点的坐标代入目标函数求得参数的值1目标函数中 x的系数为参数【例 1】 ， y满足约束条件，若 zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为_.2【答案】 2或 1【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行 域，坐出直线 yax，因此要使线性 目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线 yax的斜率，要与直线或的斜率相等， 2或 1【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关
4、系通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解【牛刀小试】已知 ,xy满足约束条件02xy，若 zaxy的最大值为 4，则 a_.【答案】2【解析】将 za化为 zax，作出可行域（如图所示） ，当 0时，当直线 zxy向右下方平移时，直线 y在 y轴上的截距 减少，当直线 zaxy过原点时， 0maz（舍） ；当0a时，当直线 z向右 上方平移时，直线 在 轴上的截距 增大，若1，即 1a时，当直线 zax过点 )1,(B时，解得 3（舍） ，当 1，即时，则当直线 xy过点 )0,2(
5、A时，解得 2【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，3往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率 a的符号，还要讨论斜率 a与边界直线斜率 1的大小关系.2目标函数中 y的系数为参数【例 2】已知变量 ,xy满足约束条件 若目标函数 的最大值为 1，则 a 【答案】3【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过 B（4，1）点是 取得最大值， 14a，3a【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值3目标函数中 ,xy的系数均含参数【例 3】设 x， y满足约束条件21xy，若目
6、标函数 的最小值为 2，则 ab的最大值为 【答案】 414【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得 ，要目标函数的最小值为 2， 2ba，即 1ba， ，当且仅当21ba等号成立故 ab的最大值为 41【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等” ，缺一不可【牛刀小试】设 xy， 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为12，则 ba32的最小值为_. 【答案】 65【解析】作出 xy， 满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数 经过点 4,6A取得最大值 12，
7、即 ，亦即 236ab，所以 ，当且仅当 ，即 5时等号成立【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已5知 axbym 求 的 最 小 值 ， 通 常 转 化 为cdxy1()cmxy（)， 展 开 后 利 用 基 本 不 等 式 求 解 4目标函数为非线性函数且含有参数【例 4】设不等式组01,4xy表示的平面区域为 D若圆 0r不经过区域 D上的点，则 r的取值范围是_ 【答案】【解析】不等式对应的区域为 ABE圆心为 (1,)，区域中 A 到圆心的
8、距离最小，B 到圆心的距离最大，要使圆不经过区域 D，则有 0rC或 r由1xy得 ，即 (1,)A由14xy，得13xy，即 (,)B 2A， 25B， 02r或 5r，即r的取值范围是 【点评 】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题对于目标函数为平方型：，可看成可行域内的点 ,Pxy与定点 ,Qab两点连线的距离的平方，即；也可看成是以 ab为圆心， z为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题【牛刀小试】设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 M，使函数 ya x(a0，a 1)6的图象过区域 M 的 a 的取值范围是_.【答案】2，9【解析】平面区域 M 如
9、图所示，求得 ，由图可知，欲满足条件必有 且图象在过B、C 两点的图象之间，当图象过 B 点时， ，当图象过 C 点时， ，所以 ，故 的取值范围是 【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数 表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的 平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。类型二 约束条件中含参数由于约束条件中存在参数，可行域无法确定， 此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定
10、参数的值【例 5】已知 ,xy满足2xa，若 3zxy的最大值为 M，最小值为 m，且 0，则实数a的值为_【答案】 1【解析】试题分析:画出不等式组2yxa表示的区域如图,结合图形可以看出当动直线 zxy3经 过点),(aA和 1,(B时, yxz3分别取最小值 am4和最大值 4,由题设可得 04a,所以,故应填答案 .7【点评】约束条件中含有参数时：（1）要对可行域的各种可能情况作出判断，特别注意特殊的线与点；（2）依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；（3）求出参数【牛刀小试】已知约束条件 表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k的值为 .【答案】1【解析】试题分析：由图
11、得 （舍） 类型三 目标函数及约束条件中均含参数ABC8【例 6】设 ,1m在约束条件1yxm下，目标函数 myxz的最大值大于 2，则 m的取值范围为_.【答案】 ,2【解析】把目标函数转化为 ，表示是斜率为 m1，截距为z的平行直线系，当截距最大时， z最大，当过点 时，截距最大 ，解之得 21【牛刀小试】设 x， y满足约束条件,1xya且 zxy的最小值为 7，则 a_.【答案】3【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为： ，又由题中zxay可知，当 0时，z 有最小值： ，则 ，解得：3；当 时，z 无最小值故选 B五、迁移运用1,【2019 年 3 月 20
12、19 届高三第一次全国大联考（江苏卷)】已知点 满足不等式 ，设，则 的最小值与最大值之和等于_【答案】【解析】作出不等式 所表示的平面区域，如图中阴影部分（含边界） ，则点 为正方形 及其内部的动点9由题意得 的几何意义为动点 到定点 距离的平方过 作 于 ，由图知 为 的中点，而点 到直线 ： 的距离 ，故 ；又 ，由图分析可知 ，故 故答案为： 2.【江苏省苏北四市 2019 届高三第一学期期末】已知等差数列 的首项 ，若数列 恰有 6 项落在区间 内，则公差 d 的取值范围是_【答案】【解析】设落在 内的最小项为 ，则有 ， ， ， 同时成立，即有 nd， （n-1）d ， （n+5）
13、d0， 有 n ，n-1 ，n+50，且满足约束条件 的图象为由图可知当 与 交于点 B(2,1)，当直线 过 B 点时，m 取得最大值为 1.2logyx3yy11 【2018 届高三南京市联合体学校调研测试】若不等式组 所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则 的值为_4ykxk【答案】7216【解析】 不等式组 所表示的平面区域为三角形 ABC由故点，点 0,2A又因为平面区域被直线 分为面积相等的两部分，且 过定点 4ykx4ykx0,由此可得点 与点 到直线 的距离相等，即 解得 或ACykx72k（舍）12k即答案为712 【江苏省无锡市普通高中 2018 届高三上学期期中】
14、若变量 满足 ，且 恒成,xy2xya立，则 的最大值为_.a【答案】 4【解析】17所以过 时， 的最小值为-4，所以 的最大值为-4.0,2xya13 【江苏省横林高级中学 2018 届高三】已知 满足不等式组 ，则,xy的最小值为_ .【答案】2【解析】画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数表示可行域内一点到点 的距离的平方，根据图象可以1,看出，点 到可行域内一点距离的最小值为点 到直线 的距离， ，则1,1,0xy，则 的最小值为 2.2d14. 【江苏省泰州中学 2017 届高三摸底考试】已知实数 x、 y满足 若不等式恒成立，则实数 a的最小值是 【答案】95【解析】试题
15、分析：可行域为一个三角形 ABC 及其内部， 其中 ，因此,因为yx在 2,4上单调递增，所以 ，不等式18恒成立等价于15设点（ ,ab）是区域 内 的随机点，函数 在区间 1,）上是增函数的概率为_.【答案】13【解析】 表示的区域的面积为 函数 在区间1,）上是增函数，则 ，概率 16若实数 ,xy满足 其中 0k，若使得1yx取得最小值的解 ,xy有无穷多个，则k等于_.【答案】2【解析】表达式1yx可看成是定点 0,1Q与动点 ,Pxy连线斜率（ P点在所给不等式组表示的平面区域内） ，如图，动直线 过定点 2,，为使满足题意的 点有无穷多个，此时直线应过0,1Q，从而1917变量
16、,xy满足约束条件 ，若使 zaxy取得最大值的最优解有无数个，则实数 a的取值集合是_.【答案】 3,1【解析】作出不等式组 表示的区域如下图所示由 zaxy得： axz当0a时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出， 1时，线段 AC 上的所有点都是最优解；当 时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当 3时，线段 BC 上的所有点都是最优解 18设关于 x，y 的不等式组 表示的平面区域内存在点 P(x0，y 0)满足 x02y 0=2，求得 m的取值范围是_. 【答案】2,3【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点 P(x0，y 0)满足 x02y 0=2，即该平面区域和直线2xy有交点，而直线,xmy的交点 ,在直线 上移动，由 得交点坐标为,3，当23即时，才会交点20
