1、4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式,4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性,一,二,三,四,五,一、单位圆 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆.,一,二,三,四,五,二、任意角的正弦函数、余弦函数 1.利用单位圆定义任意角的正、余弦函数 如图所示,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角,使角的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),我们把点P的纵坐标v定义为角的正弦函数,记作v=sin ;点P的横坐标u定义为角的余弦函数,记作u=cos .,一,二,三,四,五,对于给定的角,点
2、P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标为函数值的函数. 2.利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数,如图所示,在角终边上任取一点P1(u1,v1),设|OP1|=r,由相似形原,一,二,三,四,五,3.正弦函数和余弦函数的定义域与值域 (1)通常用x,y分别表示自变量与函数值,因此正弦函数表示为y=sin x(xR),正弦函数值也称为正弦值.余弦函数表示为y=cos x(xR),余弦函数值也称为余弦值. (2)由定义可知:正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的定义域都是实数集R,值域都是-1,1. 【做一做1】 若角的终
3、边过点(-1,2),则sin 等于 ( ),答案:D,一,二,三,四,五,又角是锐角,m=2符合题意. 答案:2,一,二,三,四,五,三、正弦值、余弦值的符号 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的.正弦的符号决定于纵坐标y的符号;余弦的符号决定于横坐标x的符号.正弦、余弦函数值在每个象限的符号如图所示. 也可用下表表示:,一,二,三,四,五,【做一做4】 判断下列各三角函数值的符号:,解:(1)因为700=360+340, 所以700是第四象限角,故sin 7000;,一,二,三,四,五,四、周期函数 1.一般地,对于函数y=f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的任
4、意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的周期.若周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就称为f(x)的最小正周期.今后提到的三角函数的周期,如未特别说明,一般都是指它的最小正周期. 2.正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的周期都是2k(kZ,且k0),它们的最小正周期均为2.,一,二,三,四,五,【做一做5】 (1)若函数f(x)的定义域为R,且对任意xR,都有f(x+4)=f(x),则f(x)的周期是 .,解析:(1)由周期函数定义知f(x)的周期是4; (2)因为正弦函数是周期函数,4是它的一个周期,所以sin(4+)
5、=sin = .,一,二,三,四,五,五、2k+(kZ)的正弦、余弦公式 1.在单位圆中,由任意角的正弦、余弦函数的定义可得: sin(2k+)=sin (kZ), cos(2k+)=cos (kZ). 2.部分特殊角的三角函数值.,一,二,三,四,五,一,二,三,四,五,【做一做6】 sin 420cos 750+sin(-690)cos(-660)= . 解析:原式=sin(360+60)cos(720+30)+sin(-720+30)cos(-720+60)=sin 60cos 30+sin 30cos,答案:1,一,二,三,四,五,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,根据正、余弦
6、的定义求值,思路分析:(1)可先由= 确定出其终边与单位圆交点的坐标,再根据定义写出正、余弦值;(2)可直接根据定义求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况: (1)若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值; (2)若已知角终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin =y,cos =x; (3)若已知角终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,则首先求,(4)若已知角终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1(1)若=-,则sin = ,co
7、s = ,解析:(1)由于=-,因此角终边与单位圆交点是(-1,0). 故sin =0,cos =-1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,正、余弦函数值的符号判断及应用 【例2】 (1)如果点P(sin +cos ,sin cos )位于第二象限,那么角所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)判断下列各式的符号: sin(-670)cos 1 230;sin 8cos 8. 思路分析:(1)由已知条件确定出sin 及cos 值的符号,从而确定的象限;(2)先判定积式中每一个因式中角的象限,再确定相应函
8、数值的符号,最后确定积的符号.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(1)解析:因为点P位于第二象限,所以,所以角在第三象限,故选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(2)解:因为-670=-2360+50,所以-670角是第一象限角,则sin(-670)0. 又1 230=3360+150, 所以1 230角是第二象限角,则cos 1 2300,cos 80, 故sin 8cos 80.,反思感悟一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,三全负,二正弦,四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值,第三象限角的正、余弦值全为负
9、值,第二象限角的正弦值为正,第四象限角的余弦值为正).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练3若sin 0,cos 0,角的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上. cos 0,角的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上,综上可知,角的终边在第二象限. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,2k+(kZ)的正、余弦公式的应用 【例3】 求下列各式的值.,思路分析:将一般角的三角函数转化为特殊角的三角函数求值.,反思感悟要熟记公式sin(2k+)=sin ,cos(2k+)=cos ,该公式可以将任意角的正、余弦值转化为02或0360内的角的正、余弦值,再通过特殊角的
10、函数值求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练4求下列三角函数值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,周期函数及其简单应用 【例4】 已知函数f(x)是周期为4的奇函数,且当0x2时,f(x)=x2,求f(-2 019)的值. 思路分析:通过周期和奇偶性将f(-2 019)转化为自变量在0,2内的函数值代入求解. 解:(方法一)f(-2 019)=f(-5054+1)=f(1)=12=1. (方法二)f(-2 019)=-f(2 019)=-f(5044+3)=-f(3)=-f(-1)=f(1)=12=1. 反思感悟周期函数求函数值的方法 1.根据函数的周期求函数值,
11、通常是利用周期将待求函数值的自变量的值进行转化,直至其成为已知条件中的自变量的值或范围,再代入求解. 2.求解这类问题的关键是利用周期对自变量的值进行转化.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,A.1 B.-1 C.1 D.无法确定,答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,分类讨论思想在三角函数值中的应用 【典例】 已知角的终边经过点(-4m,3m)(m0),求sin +cos 的值. 思路点拨:首先应用分类讨论思想确定角的终边所在的象限,然后求出sin ,cos 的值即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法点睛给定某角终边上一点,若该点含有参数,则需先对参数进
12、行讨论,再结合题中角的象限进行取舍.,1,2,3,4,5,解析:已知交点在单位圆上,根据三角函数的定义可知sin =- . 答案:B,1,2,3,4,5,2.已知角的终边过点(3,-4),则cos =( ),解析:x=3,y=-4,r=5.cos = . 答案:C,1,2,3,4,5,3.下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A.sin 1560 B.cos 0. 答案:C,1,2,3,4,5,4.若f(x)的定义域为R,且满足f(x+3)=f(x),f(x)是奇函数,f(1)=-4,则f(11)= . 解析:f(11)=f(33+2)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)=-(-4)=4. 答案:4,1,2,3,4,5,解:(1)120是第二象限角,tan 1200.,
