1、4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式,一,二,三,一、正弦函数、余弦函数的基本性质 根据正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的定义,我们不难从单位圆看出函数y=sin x,y=cos x有以下性质: 1.定义域是R; 2.最大值是1,最小值是-1,值域是-1,1; 3.它们是周期函数,其周期都是2k(kZ),最小正周期为2;,y=cos x在每一个区间2k-,2k(kZ)上是增加的,在每一个区间2k,2k+(kZ)上是减少的.,一,二,三,【做一做1】 (1)函数y=-2sin x的定义域是 ,值域是 ,最小正周期是 ,在区间 上是增加的,在
2、区间 上是减少的. (2)函数y=cos x-2的定义域是 ,最大值为 ,最小值为 ,在区间 上是增加的,在区间 上是减少的.,(2)R -1 -3 2k-,2k(kZ) 2k,2k+(kZ),一,二,三,二、特殊角的终边的对称关系 1.角-的终边与角的终边关于x轴对称; 2.角的终边与角的终边关于原点对称; 3.角-的终边与角的终边关于y轴对称.,答案:(1)x轴 (2)y轴 (3)原点 (4)原点,一,二,三,三、正弦函数、余弦函数的诱导公式 1.对任意角,有下列关系式成立: sin(2k+)=sin ,cos(2k+)=cos . (1.8) sin(-)=-sin ,cos(-)=co
3、s . (1.9) sin(2-)=-sin ,cos(2-)=cos . (1.10) sin(-)=sin ,cos(-)=-cos . (1.11) sin(+)=-sin ,cos(+)=-cos . (1.12),公式1.81.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.,一,二,三,2.诱导公式的记忆方法,一,二,三,3.应用诱导公式求三角函数值的过程 任意负角的正弦函数、余弦函数任意正角的正弦函数、余弦函数02角的正弦函数、余弦函数锐角的正弦函数、余弦函数,上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了化未知为已知的数学思想.,一,二,三,【做一做3】 cos 330等于
4、( ),答案:C,【做一做4】 sin 95+cos 175的值为( ) A.sin 5 B.cos 5 C.0 D.2sin 5 解析:sin 95+cos 175=sin(90+5)+cos(180-5)=cos 5-cos 5=0. 答案:C,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)若+=,则与的终边关于y轴对称.( ),(3)存在角,使sin(+)=sin ,cos(-)=cos . ( ),(4)在ABC中,若A+B= ,则均有sin A=cos B,cos A=sin B成立. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究
5、一,探究二,探究三,探究四,正弦函数、余弦函数基本性质的应用 【例1】 已知函数y=-3sin x+1. (1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间;,思路分析:可模仿函数y=sin x的有关性质来研究函数y=-3sin x+1的相关性质.,探究一,探究二,探究三,探究四,解:(1)由y=sin x的性质可得y=-3sin x+1的性质如下: 定义域:R. 值域:-2,4. 周期性:周期为2.,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟对于形如y=asin x+b的函数性质的研究可借助y=sin x的性质.要清楚a,b对函数y=asin x+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论.,探究一,探究
6、二,探究三,探究四,变式训练1求函数y=2cos x-4的定义域、值域、最值、周期以及单调区间. 解:由y=cos x的基本性质可知函数y=2cos x-4的性质如下: 定义域:R. 值域:-6,-2. 最值:当x=2k(kZ)时,取最大值为-2; 当x=2k+(kZ)时,取最小值为-6. 周期:周期为2k(kZ,k0),最小正周期为2. 单调区间:由y=cos x的单调性可知,y=2cos x-4在区间2k-,2k(kZ)上是增加的,在区间2k,2k+(kZ)上是减少的.,探究一,探究二,探究三,探究四,利用诱导公式化简与求值 【例2】 计算: (1)sin2120+cos 180+tan
7、45-cos2(-330)+sin(-210);,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即,口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练2求下列三角函数值:,解:(1)cos 945=cos(2360+225),探究一,探究二,探究三,探究四,给值求值问题,思路分析:首先对所求三角函数中的角与已知三角函数中的角作,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟1.给值求值问题,观察已知角和待求角的关系,运用诱
8、导公式将不同名的三角函数化为同名的三角函数,将不同的角化为相同的角.,探究一,探究二,探究三,探究四,答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,诱导公式在三角形中的应用,思路分析:充分利用三角形内角和定理以及诱导公式,寻求两内角之间的关系,从而确定三角形形状.,解:A+B+C=,A+B-C=-2C,A-B+C=-2B.,cos C=cos B. 又B,C为ABC的内角, C=B,ABC为等腰三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟1.在ABC中,有A+B+C=, ,因此在解决三角形中的三角函数问题时,要注意充分利用诱导公式. 2.在三角形中,当cos C=cos B时,一定有C=B;若sin C=sin B,也一样能得到C=B.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,(2)证明:因为A+B+C=,所以sin(2A+B+C)=sin(+A)=-sin A,原式成立. 因为A+B+C=,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
