1、2 导数的概念及其几何意义,答案:(1)C (2)-1,2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.,特别提醒1.若在点(x0,f(x0)处切线l的倾斜角为 ,此时切线垂直于x轴,导数不存在. 2.f(x0)0,切线的倾斜角为锐角;f(x)0,切线的倾斜角为钝角;f(x)=0,切线与x轴平行或重合.,【做一做2】 曲线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线方程为( ) A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x+1 D.y=-2x切线方程为y-1=2(x-1),即y=2
2、x-1. 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率. ( ) (2)函数f(x)在x0处的导数与x无关,只与x0有关.( ) (3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.( ) (4)过点(x1,y1)且与曲线y=f(x)相切的直线的斜率为f(x1).( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,思维辨析,分析根据函数y=f(x)在点x0处的导数的定义求解.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,变式训练1函数f(x)=4x2在x=-1处的导数等于 .
3、答案:-8,探究一,探究二,思维辨析,【例2】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率等于( ) A.0 B.2 C.4 D.6分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得图像在点A处的切线的斜率;(2)利用导数几何意义求出图像在点P处的切线的斜率,再根据直线方程的点斜式求得直线方程.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟1.利用导数几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程的步骤: (1)求函数f(x)在x0处的导数即得切线的斜率; (2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f
4、x0)=f(x0)(x-x0). 2.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上,若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率;若点不在曲线上,则该点的导数值就不是切线的斜率.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练2(1)已知二次函数f(x)图像的顶点坐标为(1,2),则f(1)的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 (2)曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程为 . 解析:(1)二次函数f(x)在图像的顶点处的切线与x轴平行,斜率为0,因此f(1)=0.答案:(1)D (2)2x-y=0,探究一,探究二,思维辨析,因不明确点的位置导致求切线失误 【
5、典例】 试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程. 易错分析易错将点M(1,1)当成曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得若所给点不在曲线上,求切线方程时可设出切点,写出切线方程,结合条件求出切点坐标,从而得切线方程.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练已知曲线y=f(x)=x3-3x上一点P(1,-2),过点P作直线l. (1)求与曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线l的方程; (2)求与曲线y=f(x)相切且切点异于点P的直线l的方程.,=3x2-3. 则过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率k1=f(1)=0, 所求直线方程为y=-2.,探究一,探究二,思维辨析,1 2 3 4,1.设函数f(x)=ax3+2,若f(-1)=3,则a=( )答案:C,1 2 3 4,答案:C,1 2 3 4,3.已知函数f(x)=x3+2,则f(2)= . 答案:12,1 2 3 4,
