1、2.2 抛物线的简单性质,抛物线的简单性质,名师点拨抛物线的性质特点 (1)抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线,无对称中心,因此,抛物线又称为无心圆锥曲线. (2)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线. (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比,所以抛物线的离心率是确定的,为1. (4)抛物线的焦点在对称轴上,准线垂直于对称轴,焦点到准线的距离为p,它是一个不变量,不随抛物线位置的变化而变化,焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为 .,【做一做1】 设抛物线的顶点坐标为(0,2),准线方程为y=-1,则
2、它的焦点坐标为( ) A.(5,0) B.(0,3) C.(0,-2) D.(0,5) 解析:由题意知,焦点F(0,y0)与点K(0,-1)关于顶点(0,2)对称,答案:D 【做一做2】 抛物线4y+5x2=0的焦点与准线之间的距离是 .,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线有4条.( ) (2)像椭圆一样,一条抛物线有两个焦点、两条对称轴、一个对称中心.( ) (3)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( ) (4)过抛物线焦点且垂直
3、于对称轴的直线与抛物线相交于两点A,B,则|AB|与抛物线标准方程的一次项系数相等.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程: (1)x2=6y;(2)2y2+5x=0;(3)x=ay2(a0). 分析将方程化为标准形式,求p,结合图形,从而求得焦点坐标与准线方程. 解(1)2p=6,p=3. 又开口向上,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求抛物线的焦点及准线的步骤: (1)把解析式化为抛物线标准方程形式; (2)明确抛物线开口方向; (3)求出抛物线标准方程中参数p的值; (4)写出抛物
4、线的焦点坐标或准线方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 分析先由椭圆方程确定抛物线的焦点位置,以确定抛物线方程的形式,然后确定p的值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,其短轴在x轴上, 所以抛物线的对称轴为x轴, 所以设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0). 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3, 即 =3,所以p=6. 所以抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3和
5、x=3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求抛物线的标准方程要明确四个步骤:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2 ,求这条抛物线的方程. 分析因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2 ,可知交点纵坐标为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解设所求抛物线的方程为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0), 设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20),故所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.,探究一,探究二,探
6、究三,思维辨析,【例3】 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航? 分析建系设方程求方程求出相关量解决问题,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟抛物线实际应用问题的五个步骤,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3如图所示,水池中央有一喷泉,水管的长|OP|=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线的形状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,点P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到个位),解如图所示,
7、建立平面直角坐标系. 设抛物线的方程为x2=-2py(p0). 由题意得P(-1,-1),探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视直线的斜率导致求解失误 【典例】 求过定点P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程. 易错分析本题直接设出直线的点斜式方程,会忽视斜率不存在的情况从而导致漏解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得在解直线与抛物线的位置关系时,往往直接把直线方程设成点斜式方程,这样就把范围缩小了,而应先看斜率不存在的情况是否符合要求,直线斜率为0的情况也容易被忽略,所以解决这类问题时,特殊情况要优先考虑,画出草图是行之有效的
8、方法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程. 解显然,直线斜率k存在, 设其方程为y-2=k(x+3),消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0. (1)当k=0时,方程化为-4y+8=0,即y=2, 此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1 2 3 4,1.抛物线y2=-2px(p0)的焦点恰好与椭圆 的一个焦点重合,则p=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:椭圆中a2=9,b2=5, c2=a2-b2=4,c=2,p=4,故选C. 答案:C,1 2 3 4,2.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1答案:A,1 2 3 4,3.顶点在原点,焦点在x轴上,通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6的抛物线方程是 . 解析:焦点在x轴上,顶点在原点, 抛物线方程为y2=2px(p0). 又通径长为2p=6, y2=6x. 答案:y2=6x,1 2 3 4,4.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为4; (2)顶点是椭圆16x2+9y2=144的中心,准线过椭圆的左顶点,且垂直于坐标轴.,
