1、第二章 平面向量,1 从位移、速度、力到向量,一,二,三,四,一、位移、速度和力 1.位移、速度和力这些物理量都是既有大小,又有方向的量,在物理中称为矢量. 2.只有大小没有方向的量,是数量.如长度、面积、质量等.,一,二,三,四,二、向量的概念 1.在数学中,把既有大小,又有方向的量统称为向量.其中,大小和方向称为向量的二要素. 2.应该注意数学中的向量与物理中的矢量是有区别的.数学中研究的是仅由大小和方向确定,而与起点位置无关的向量(称为自由向量).,一,二,三,四,【做一做1】 下列物理量:质量;速度;位移;力;加速度;路程;密度;功.其中不是向量的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3
2、个 D.4个 解析:日常生活中,常用到两类量,一类量只有大小而没有方向,如质量、路程、密度、温度、功等,这类量叫作数量,它是一个代数量,可以进行代数运算;另一类量既有大小又有方向,如速度、位移、力、加速度等,这类量叫作向量.故选D. 答案:D,一,二,三,四,三、向量的表示 1.有向线段,2.向量的几何表示法 向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向(起点指向终点). 3.向量的字母表示法,一,二,三,四,解析:有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故错;向量之间不能比较大小,但其模可以比较大小,故错;向量 的方向不同,不是同一个向量,故错;对.
3、答案:,一,二,三,四,四、向量的相关概念,2.零向量:长度为零的向量称为零向量,记作0或 ,规定零向量的方向是任意的. 3.单位向量:长度为单位1的向量叫作单位向量. 4.相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量,向量a与b相等,记作a=b. 5.平行(共线)向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线.a与b平行或共线,记作ab.,一,二,三,四,【做一做3】 下列说法正确的是( ) A.零向量没有大小,没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.零向量的长度为0 D.任意两个单位向量方向相同 解析:零向量的长度为0,方向是任意的,故A,B错误,
4、C正确.任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,故D错误. 答案:C,一,二,三,四,A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相同的向量 解析:ABC的外心,即ABC的外接圆的圆心,它到A,B,C三点的距离相等,即有 . 答案:C,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)零向量没有方向. ( ) (2)若ab,bc,则一定能得到ac. ( ) (3)若a与b是相等向量,则a与b一定是共线向量,反之亦然. ( ) (4)模相等的向量一定是平行向量. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,
5、易错辨析,向量的有关概念 【例1】 给出以下说法: 若|a|=0,则a为零向量; 单位向量都相等; 若a与b共线,则a与b的方向相同或相反; 向量的模一定是正数; 起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量; 向量 是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上.其中正确的序号是 .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:正确,模等于0的向量就是零向量; 错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不一定相等; 错误,由于零向量与任一向量共线,但其方向任意,因此,当a与b共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反; 错误,向量的模是非负实数,可能是零; 正确,对于一个
6、向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同; 错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量必须在同一直线上. 答案:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟 向量及其相关概念的注意事项 对向量及其相关概念的理解要准确、全面,特别要注意以下几点: (1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素:起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素是大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来规
7、定的.零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两个共线向量的方向相同且模相等时,两个向量为相等向量.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1下列说法正确的是( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.向量的模可以比较大小 C.模为1的向量都是相等向量 D.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行 解析:向量不能比较大小,故A不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C不正确;规定零向量与任意向量平行,故D不正确. 答案:B,探究一,探究二,探究三,易错辨析,向量的表示 【例2】 一辆汽车从点A出发向西行驶了10
8、0 km到达点B,然后又改变方向向西偏北50行驶了200 km到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达点D.,思路分析:作图既要考虑向量的模的大小,又要考虑其方向和起点,为此应先建立坐标系,再根据行驶方向确定有关向量,进而求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)所作向量如图所示.,在四边形ABCD中,ABCD,且AB=CD. 四边形ABCD为平行四边形.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.作平面向量时既要考虑向量的大小,又要考虑其方向和起点,必要时可以建立坐标系辅助作图. 2.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的模的大小确定
9、向量的终点. 3.必要时,需要根据直角三角形知识求出向量的方向或长度.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺画出下列向量:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,相等向量与共线(平行)向量 【例3】 (1)如图,D,E,F分别是ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,则与 模相等且共线的向量的个数是个. (2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,答案:(1)7,反思感悟 相等
10、向量与共线向量的探求方法 1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线. 2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,因对向量的有关概念理解不准确而致误 【典例】 下列说法正确的是( ),B.长度相等的向量叫作相等向量 C.零向量的长度等于0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 错解A,B或D 正解:由定义知零向量的长度等于0,故选项C正确. 答案:C,探究一,探究二,探究三,
11、易错辨析,纠错心得1.首先要明确: 两条直线平行指同一平面内的两条直线没有公共点,而当两条直线重合时,不能称之为平行. 向量共线时,表示向量的有向线段不一定共线.,或重合两种情况,故选项A错误;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故选项B错误;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故选项D错误.,1,2,3,4,5,6,A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等向量 解析:它们的模相等,都等于圆的半径. 答案:C,1,2,3,4,5,6,2.给出命题: 零向量的长度为0,方向是任意的;,若a=b,b=c,则a=c. 以上命题中,正确命题的序号是( ) A. B. C. D. 解析:由零向量的定义知正确;由相等向量的定义知正确;向量,答案:D,1,2,3,4,5,6,答案:D,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,5.如图,四边形ABCD为正方形,BCE为等腰直角三角形.,1,2,3,4,5,6,
