1、3 从速度的倍数到数乘向量,3.1 数乘向量,一,二,一、数乘向量 1.定义:一般地,实数与向量a的积是一个向量.记作a,这种运算叫作向量的数乘. 2.长度与方向的规定: (1)|a|=|a|. (2)当0时,a与a的方向相同;当0)或反方向(0)上伸长或压缩到原来的|倍. 4.运算律:设,为实数,则有 (1)(a)=()a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b.,一,二,【做一做1】 将 2(2a+8b)-4(4a-2b)化简成最简式为( ) A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a,答案:B,【做一做2】 如图,在ABCD中,AC与BD相交于点O.则下列各式成立的
2、是( ),答案:C,一,二,二、向量共线的判定定理和性质定理 1.判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数,使得b=a,则向量b与非零向量a共线. 2.性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数,使得b=a.,A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D,A,B,D三点共线. 答案:A,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)若向量a=0,则a=0. ( ) (2)若向量a=0,则=0. ( ) (3)若向量a与b不共线,且a=b(,R),则一定有=0. ( ),答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,
3、探究二,探究三,易错辨析,数乘向量的定义及几何意义 【例1】 (1)设a是非零向量,是非零实数,则下列结论正确的是( ) A.a与-a的方向相反 B.|-a|a| C.a与2a的方向相同 D.|-a|=|a (2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是( ),答案:(1)C (2)B,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟 对向量数乘运算的三点说明 (1)a中的实数叫做向量a的系数. (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小. (3)当=0或a=0时,a=0.注意是0,而不是0.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析
4、,向量的线性运算 【例2】 (1)计算下列各式: 3(a-2b+c)-(2c+b-a);,(2)设x,y是未知向量. 解方程5(x+a)+3(x-b)=0;,思路分析:要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律,其运算过程类似于“合并同类项”;(2)是解关于未知向量的方程或方程组,它与解关于未知数的方程或方程组是类似的,在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.,把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相加,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟(1)向量的数乘运算类
5、似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a= ,b= .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,向量共线定理的应用 【例3】 判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).,解:(1)b=-2a,a与b共
6、线. (2)a= b,a与b共线. (3)设a=b,则e1+e2=(3e1-3e2), (1-3)e1+(1+3)e2=0. e1与e2是两非零不共线向量, 1-3=0,1+3=0. 这样的不存在,因此a与b不共线.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟向量共线定理的应用 1.判断或证明两个向量a与b(b0)共线时,只需证明a=b(R)即可. 2.已知两个向量a与b(b0)共线时,可根据向量共线的性质得a=b(R),从而解决有关的参数问题. 3.利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3(1)设a与
7、b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-2a)共线,则=( ) A.0 B.-0.5 C.-2 D.0.5,(1)解析:依题意知向量a+b与2a-b共线,故设a+b=k(2a-b),答案:B,探究一,探究二,探究三,易错辨析,因对向量共线的条件理解不清而致误 【典例】 已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线? 错解若存在实数,使3e1+2e2=(3e1-2e2), 则3e1+2e2=3e1-2e2,即(3-3)e1=(-2-2)e2,所以不存在实数,使3e1+2e2=(3e1-2e2),故两个向量不共线.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正解若向量e1和e2不
8、共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线. 若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(kR), 则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1, 3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k0,纠错心得1.对于向量共线问题一定要掌握好共线向量定理,并知道定理中对各个量的限制条件. 2.错解中对向量共线的条件理解不清,只有当a,b不共线,且a=b时,才有=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.,1,2,3,4,5,1.下列各式计算正确的个数是( ) (-7)6a=-42a;a-2b+(2a+2b)=3a;a+b-
9、(a+b)=0. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:正确,的结果应为0,故错误. 答案:C,1,2,3,4,5,2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于( ) A.2a B.-2a,解析:由题意知3x-2x+2a=0,故x=-2a. 答案:B,1,2,3,4,5,答案:B,3.设P是ABC所在平面内的一点,且 ,则PAB与PBC的面积之比是( ),1,2,3,4,5,三点共线,则实数p的值为 .,答案:-1,1,2,3,4,5,5.已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2.求证:ab. 证明:若e1=e2=0,则a=b=0,a与b共线,即ab.若e1,e2至少有一个不为零向量,不妨设e10,则e2=e1(R),且a=(1-)e1,b=2(1+)e1,ae1,be1,而e10, ab.综上可证得ab.,
