1、4 平面向量的坐标,一,二,三,一、平面向量的坐标表示 1.把一个向量分解成两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解. 2.在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面上的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y).,一,二,三,一,二,三,二、平面向量线性运算的坐标表示 1.加法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),即两个向量和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和. 2.减法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2
2、),则a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差. 3.数乘:若a=(x1,y1),设R,则a=(x1,y1).即实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积. 4.给定点A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标.,一,二,三,【做一做2】 若向量a=(x+3,x2-3x-4)与 相等,已知A(1,2)和B(3,2),则x的值为( ) A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4,答案:A,答案:(-1,2),一,二,三,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确
3、,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.,答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,求平面向量的坐标 【例1】 (1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标. (2)已知ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中点,求向量,思路分析:(1)先将a+b,a-b用i,j表示,再转换为坐标; (2)直接套用向量的坐标公式即可.,解:(1)a=3i+4j,b=-i+j, a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j, a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j. 又i=(1,0
4、),j=(0,1),a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3). (2)B(7,6),C(1,8),探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y). 2.向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标. 3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1(1)已知 =(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为( ) A.(1,8) B.(-1
5、,8) C.(3,2) D.(-3,2),答案:(1)B (2)(1,-1) (1,1) (-1,1),探究一,探究二,探究三,易错辨析,平面向量的坐标运算,思路分析:对于(1)可直接运用坐标运算法则进行计算;(2)应先求出相关向量的坐标,再运用法则计算.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6), 所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于( ) A.3a+b B.3a-b C
6、.-a+3b D.a+3b,(1)解析:设c=ma+nb,则(4,2)=m(1,1)+n(-1,1)=(m-n,m+n),答案:B,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,平面向量共线的条件及应用 【例3】 (1)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时,它们是同向还是反向?,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(2)思路分析:题目给出了a,b的坐标,欲求k的值使ka+b与a-3b平行,可先把向量ka+b与a-3b的坐
7、标形式表示出来,再利用向量平行的坐标表示列出方程,或利用向量共线的定理列出方程求得k的值,再根据符号确定两向量的方向. 解:(方法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). (ka+b)(a-3b), (k-3)(-4)-10(2k+2)=0,探究一,探究二,探究三,易错辨析,(方法二)由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4). 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数, 使ka+b=(a-3b).由(k-3,2k+2)=(10,-4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟 利用向量
8、坐标判断向量共线或三点共线的方法 1.利用向量的坐标判断两向量是否共线时,可先求出需要判断的向量的坐标,再依据坐标关系来说明两个向量平行,即:,3.利用向量解决三点共线问题的思路是:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数使得两个向量共线.因为两个向量过同一点,所以两个向量所在的直线必重合,即三点共线.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,答案:B,探究一,探究二,探究三,易错辨析,所以(4-k)(k-12)=-7(10-k), 解得k=-2或k=11, 所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,因把向量的模当成向量而致误 【典例】 已知M(1,5)
9、,N(5,17),点P在直线MN上,且,错解设点P的坐标为(x,y),则,根据题意,有(x-1,y-5)=3(5-x,17-y), 解得x=4,y=14.所以点P的坐标为(4,14).,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解得x=7,y=23. 所以点P的坐标为(7,23). 综上,可知点P的坐标为(4,14)或(7,23).,纠错心得1.已知两向量模的关系时,容易忽视向量的方向而引起坐标求解错误或者丢解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,则x= .,解析:a与b共线,1,2,3,4,5,6,1.已知 =(-2,4),则下面说法正确的
10、是( ) A.点A的坐标是(-2,4) B.点B的坐标是(-2,4) C.当点B是原点时,点A的坐标是(-2,4) D.当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4) 答案:D,1,2,3,4,5,6,A.(-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10),答案:A,1,2,3,4,5,6,3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为( ),解析:由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8), a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1). 又因为ma+4b与a-2b共线, 所以有(2m-4)(-1)-4(
11、3m+8)=014m=-28m=-2.故选D. 答案:D,1,2,3,4,5,6,4.已知向量a=(-3,4),则下列能使a=e1+e2(,R)成立的一组向量e1,e2是( ) A.e1=(0,0),e2=(-1,2) B.e1=(-1,3),e2=(2,-6) C.e1=(-1,2),e2=(3,-1),1,2,3,4,5,6,解析:对于A:因为e2与a=(-3,4)不是平行向量,所以一定不成立; 对于B:由(-3,4)=(-1,3)+(2,-6)=(-+2,3-6),对于C:由(-3,4)=(-1,2)+(3,-1)=(-+3,2-),所以成立.验证可知D不成立,故选C. 答案:C,1,2,3,4,5,6,5.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+b)c时,= . 解析:a+b=(1+,2),由(a+b)c,得(1+)4=32,解得= . 答案:,1,2,3,4,5,6,(1)点P在第一、第三象限角平分线上? (2)点P在第三象限内?,解:设点P的坐标为(x,y),1,2,3,4,5,6,
