1、6 平面向量数量积的坐标表示,一,二,三,四,五,一、平面向量数量积的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. 这就是说,两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 【做一做1】 若a=(5,y),b=(-6,-4),且ab=-2,则y等于( ) A.-5 B.-7 C.5 D.7 解析:ab=-2, -30-4y=-2,即4y=-28,y=-7,故选B. 答案:B,一,二,三,四,五,二、向量的模,答案:10,一,二,三,四,五,三、向量的夹角 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为,【做一做3】 已知非零向量a,b的夹角为,若a
2、+b=(3,-6),a-b=(3,-2),则cos = . 解析:a+b=(3,-6),a-b=(3,-2), a=(3,-4),b=(0,-2).,一,二,三,四,五,四、两个向量垂直 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abab=0x1x2+y1y2=0.,则-4+2m-4=0, 即m=4. 答案:4,一,二,三,四,五,五、直线的方向向量 由解析几何知,给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量. 【做一做5】 直线y=3x+1与直线x+3y-7=0的方向向量分别是 和 ,这两条直线的位置关系是 .,解析:直
3、线y=3x+1的方向向量是(1,3),一,二,三,四,五,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.,(2)对任意向量a,总有a2=|a|2. ( ) (3)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量为(A,B). ( ) (4)要使|ab|a|b|中等号成立,则需使a与b共线且同向. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,数量积的坐标运算 【例1】 (1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)c=30,则x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 (2)在
4、矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点M在AD上,且AM=2MD,点N是CD的中点,求 思路分析:(1)可直接套用数量积的坐标运算公式求解;(2)有两种思路:一是建立坐标系用坐标运算求解;二是用基底表示 后再展开计算.,(1)解析:8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3). 由(8a-b)c=30,得63+3x=30,x=4. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,(2)解:(方法一)以点B为原点,以BC,AB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的坐标系. 则B(0,0),M(4,2),N(6,1),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,变式训练1(1
5、)若a=(2,-3),b=(x,2x),且ab=4,则x的值为 . (2)已知向量ab,b=(1,2),|ab|=10. 求向量a的坐标; 若a,b同向,c=(2,-1),求(bc)a,(ab)c. (1)答案:-1 (2)解:因为ab, 所以设a=b(R),所以a=(,2), 所以|ab|=|+4|=10,所以=2, 所以a=(2,4)或a=(-2,-4). 因为a,b同向,所以a=(2,4), 所以(bc)a=12+2(-1)a=0a=0. (ab)c=(2+24)c=10(2,-1)=(20,-10).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,用坐标运算求向量的模 【例2】 已
6、知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,解:(1)(方法1)因为a=(1,2),b=(3,-1),所以a-2b=(-5,4),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,反思感悟1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为( ),解析:因为
7、a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1), 所以a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2),答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,用坐标运算求向量的夹角 【例3】 若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( ),思路分析:先求出2a+b与a-b的坐标,再用夹角公式求解.,解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,反思感悟1.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为,则cos = .这样利用向量的坐标
8、来求其夹角,可使向量的几何属性代数化,从而有利于解决问题. 2.求向量a与b的夹角的步骤是:(1)求出ab,|a|,|b|;(2)代入夹角公式求cos ;(3)结合的范围确定.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,A.30 B.60 C.120 D.150,又0180,故夹角=120. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,用坐标运算解决向量的垂直问题,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,反思感悟利用向量数量积的坐标表示,可以使两个向量垂直的条件更加代数化,因而其判定方法也更加简洁,在以后解题中要注意应用.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究
9、五,易错辨析,变式训练4若a=(5,-7),b=(-1,2),且(a+b)b,则实数的值为 . 解析:由(a+b)b,得(a+b)b=0, 即ab+|b|2=0,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,直线的方向向量及其应用 【例5】 已知直线l1:3x+y-2=0与直线l2:mx-y+1=0的夹角为45,求实数m的值. 解:直线l1,l2的方程分别为3x+y-2=0与mx-y+1=0, 向量a=(1,-3),b=(1,m)分别为l1,l2的方向向量.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,反思感悟1.利用直线的方向向量主要解决两类问题:(1)利用直线的方向向量求直线的斜
10、率,从而求直线的方程;(2)利用直线的方向向量确定两条直线的夹角. 2.当两条直线的夹角为45时,两条直线方向向量的夹角应该是45或135两种可能,因此,在列方程时应注意到这一点,否则将会丢解.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,变式训练5直线y=2与直线x+y-2=0的夹角是( ),解析:任取直线y=2的一个方向向量(1,0),直线x+y-2=0的一个方向向量为(1,-1),答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,因忽略向量夹角的范围而致误 【典例】 已知向量a=(2cos ,2sin ), ,b=(0,-1),则a与b的夹角为( ),答案:A,探究一,探
11、究二,探究三,探究四,探究五,易错辨析,纠错心得1.首先要明确向量a与b夹角的范围为0,.所有的向量夹角不能超越这个范围;,的范围,因此必须再次使用诱导公式进行转化.,1,2,3,4,5,1.已知a=(1,2),b=(-1,3),则|a+b|=( ),解析:a+b=(0,5),|a+b|=5. 答案:C,1,2,3,4,5,2.若向量a,b满足a+b=(2,-1),且a=(1,2),则向量a与b的夹角等于( ) A.45 B.60 C.120 D.135 解析:由题意,得b=(1,-3). 设a与b的夹角为,又0180, 故a与b的夹角为135. 答案:D,1,2,3,4,5,3.已知a=(1
12、,m)与b=(n,-4)共线,且c=(2,3)与b垂直,则m+n的值为( ),解析:a,b共线mn=-4,cb2n-12=0,答案:A,1,2,3,4,5,4.已知向量a是直线x+2y-3=0的方向向量,且|a|=2 ,则a= .,所以a=(4,-2)或(-4,2). 答案:(4,-2)或(-4,2),1,2,3,4,5,5.已知a=(m+1,3),b=(1,m-1),且a与b的夹角为钝角.若(2a+b)与(a-3b)垂直,求a与b夹角的余弦值. 解:(2a+b)(a-3b), 2a2-5ab-3b2=0, 即2(m+1)2+9-5m+1+3(m-1)-31+(m-1)2=0, 整理得m2+10m-24=0, 解得m=2或m=-12. a与b的夹角为钝角, ab=m+1+3(m-1)=4m-20, m ,m=-12. 设a与b夹角为,
