1、第二章 概率,1 离散型随机变量及其分布列,一,二,一、随机变量和离散型随机变量 1.我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个随机变量.通常用大写的英文字母如X,Y来表示. 2.若随机变量的取值能够一一列举出来,则这样的随机变量称为 离散型随机变量.,一,二,名师点拨离散型随机变量的特征 (1)可以用数值表示; (2)试验之前可以判断其出现的所有值; (3)在试验之前不能确定取何值; (4)试验结果能一一列出.,一,二,【做一做1】 如果是一个离散型随机变量,那么下列命题是假命题的是( ) A.取每一个可能值的概率是正实数 B.取所有可能值的概率之和为1
2、 C.取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D.在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 解析根据随机变量分布列的性质可得. 答案D,一,二,二、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1,a2,随机变量X取ai的概率为pi(i=1,2,),记作:P(X=ai)=pi(i=1,2,),(1)或把上式列成下表:上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列.显然pi0,p1+p2+=1. 如果随机变量X的分布列为上表或(1)式,我们称随机变量X服从这一分布(列),并记为,一,二,名师点拨1.0pi(i=1,2,3,n)和p1+p2+pn=1是检验一个离散型随机
3、变量分布列是否正确的重要依据,尤其是要看它们的概率之和是否等于1.还可利用这两个结论求出分布列中的未知参数. 2.分布列的结构为两行,第一行为随机变量的所有可能取得的值;第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率.看每一列,实际上是:上为“事件”,下为事件发生的概率.,一,二,【做一做2】已知离散型随机变量的分布列为 则k的值为( ),一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)山东省2017年每天的降雨量是离散型随机变量. ( ) (2)离散型随机变量X取一个可能的值的概率一定是非负实数. ( ) (3)离散型随机变量X取所有可能值的概率之和为1
4、. ( ) 答案(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 下列变量中是离散型随机变量的是 . 某无线寻呼台1 min内接到的寻呼次数X; 连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数X; 将一枚均匀的骰子掷3次,3次出现的点数之和X; 某工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差X.,解析判断一个变量是不是离散型随机变量,主要看变量的某些值的出现是不是确定,并且变量的取值能否按一定顺序列举出来.中X取值为某一范围内的实数,无法列出,故不是离散型随机变量. 答案,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 判断一个变量是否为随机变量,主要是看变量的结果,结果不能确定的是随
5、机变量,判断一个变量是否为离散型随机变量,主要是看变量的取值能否按一定顺序列举出来,如果可以就是离散型随机变量;否则就不是离散型随机变量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 1下列X不是随机变量的是( ) A.某人投篮6次,投中的次数X B.某日上证收盘指数X C.标准状态下,水沸腾时的温度X D.某人早晨在车站等出租车的时间X 解析:C中,标准状态下,水在100 时会沸腾,其结果不具有随机性.故选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】袋中装有除颜色外都一样的黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 .现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球,甲先取,乙后取,然
6、后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即为止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止时所需要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量的分布列; (3)求甲取到白球的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析(1)求袋中原有白球的个数,需设出白球的个数,利用古典概型概率公式,列出方程求解.(2)写出的可能取值,求出相应概率,进而求出的分布列.(3)利用所求分布列,记“甲取到白球”的事件为A,则P(A)=P(=1)+P(=3)+P(=5). 解(1)设袋中原有n个白球,由题意知:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(3
7、)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记“甲取到白球”的事件为A,则P(A)=P(“=1”或“=3”或“=5”). 因为事件“=1”“=3”“=5”两两互斥,所以,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.求离散型随机变量的分布列的一般步骤 (1)确定X的所有可能取值xi(i=1,2,)以及每个取值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,);(3)写出或列出分布列;(4)根据分布列的性质对结果进行检验.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,2.求离散型随机变量的分布列需要注意的问题 (1)离散型随机变量的分布列的两
8、个本质特征:pi0(i=1,2,3,n)(2)求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率. (3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. (4)处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲、乙两位顾客,规定甲摸一次,乙摸两次,令X表示甲、乙摸球后获
9、得的奖金额.求X的分布列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析利用随机变量的性质求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 离散型随机变量的分布列的三个应用 (1)运用离散型随机变量分布列的结论“pi0”与“p1+p2+pn=1”,可以求出分布列的相关表格中某个未知的概率或参数; (2)根据给出的分布列可求出离散型随机变量在某一范围内时的概率; (3)可运用分布列的结论检验所求分布列及某些事件的概率是否正确.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 已知随机变量的概率分布如下:则P(=10)=( ),探究一,
10、探究二,探究三,思维辨析,因忽视随机变量的性质而致误 【典例】若离散型随机变量X的概率分布如下表所示:求常数c的值.,易错分析离散型随机变量X的每一个取值所对应的概率都为正数,可类比函数定义域去理解,若忽略,则可能致误. 解由离散型随机变量的性质,纠错心得 离散型随机变量的概率分布必须同时满足:(1)pi0,i=1,2,n;(2)p1+p2+p3+pn=1.,1,2,3,4,5,1.若用随机变量X表示某足球队在5次点球中射进的球数,则X的取值为( ) A.1,2,3,4,5 B.1,2,3,4,5, C.0,1,2,3,4,5 D.0,1,2,3,4,5, 解析5次点球中可能有0次、1次、2次、3次、4次、5次射进,故X的取值为0,1,2,3,4,5. 答案C,答案:B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,4.若某运动员投篮投中率为0.8,则一次投篮投中次数X的分布列为 . 解析随机变量X的可能取值为0,1.该运动员投篮投中率为0.8,则未投中的概率为0.2. 答案,1,2,3,4,5,
