1、13.2.1 几类不同增长的函数模型课后篇巩固提升基础巩固1.如果某工厂 12 月份的产量是 1 月份产量的 7 倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A. B. C. -1 D. -1711 712 127 117解析 设月平均增长率为 x,1 月份的产量为 a,则有 a(1+x)11=7a,则 1+x= ,故 x= -1.117 117答案 D2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,则函数y=f(x)的图象大致是( )解析 设该林区的森林原有蓄积量为 a,由题意知 ax=a(1+0.104)y,即 y=log1.104x(x1)
2、,所以 y=f(x)的图象大致为 D 中图象 .答案 D3.现有一组实验数据如下:t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12V 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )A.V=log2t B.V=lo tg12C.V= D.V=2t-2t2-12解析 当 t=4 时,选项 A 中的 V=log24=2,选项 B 中的 V=lo 4=-2,g12选项 C 中的 V= =7.5,42-12选项 D 中的 V=24-2=6,故选 C.答案 C4.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电
3、流强度 I(单位:安)与电线半径 r(单位:毫米)的三次方成正比 .若已知电流通过半径为 4 毫米的电线时,电流强度为 320 安,则电流通过半径为 3 毫米的电线时,电流强度为( )A.60 安 B.240 安 C.75 安 D.135 安2解析 设比例系数为 k,则电流强度 I=kr3,由已知可得当 r=4 时, I=320,故有 320=43k,解得 k= =5,所32064以 I=5r3,则当 r=3 时, I=533=135(安) .答案 D5.若 a1,n0,则当 x 足够大时, ax,xn,logax 的大小关系是 . 解析 由三种函数的增长特点可知,当 x 足够大时,总有 lo
4、gaxg(x);当 x=4 时, f(x)=g(x);当 x4时, f(x)34 时,0.5x+60.46x+7.36.即当购买铅笔少于 34 支(不少于 4 支)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔多于 34 支时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔 34 支时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算 .能力提升1.有一组实验数据如下表所示:x 1 2 3 4 5y 1.5 5.9 13.4 24.1 37下列所给函数模型较适合的是( )A.y=logax(a1) B.y=ax+b(a1)C.y=ax2+b(a0) D.y=logax+b(a1)3解析 通过所给数据可知 y 随 x 增大
5、,其增长速度越来越快,而选项 A,D 中的函数增长速度越来越慢,而选项 B 中的函数增长速度保持不变,故选 C.答案 C2.若 x(0,1),则下列结论正确的是( )A.2x lg x B.2xlg xx12 x12C. 2xlg x D.lg x 2xx12 x12解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y=2x,y= ,y=lg x 的图象,如图所示 .由图可知,当x12x(0,1)时,2 x lg x.x12答案 A3.已知某个病毒经 30 分钟可繁殖为原来的 2 倍,且病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数, t 表示时间,单位:小时, y 表示病毒个数),则 k= ,经过
6、5 小时,1 个病毒能繁殖 个 . 解析 当 t=0.5 时, y=2, 2= ,k= 2ln 2,e12ky= e2tln 2.当 t=5 时, y=e10ln 2=210=1 024.答案 2ln 2 1 0244.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(单位:月)的近似函数关系: y=at(t0, a0,且 a1) .有以下叙述: 第 4 个月时,剩留量会低于 ; 每月减少的有害物质量都相等; 若剩留量为 所经过的时间分15 12,14,18别是 t1,t2,t3,则 t1+t2=t3.其中所有正确的叙述是 . 解析 由图象可得,当 t=2 时,
7、 y= ,即 a2= ,49 494解得 a= .故 y= .23 (23)t所以当 t=4 时,有害物质的剩余量为 y= ,所以 正确;(23)4=168115, 方案二较好 .6.某地区今年 1 月、2 月、3 月患某种传染病的人数分别为 52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型 y1=ax2+bx+c,乙选择了模型 y2=pqx+r,其中 y1,y2为患病人数, x 为月份数,a,b,c,p,q,r 都是常数 .结果 4 月、5 月、6 月份的患病人数分别为 66,82,115,你认为谁选择的模型较好?解 依题意得a12+b1+c=52,a22+b2+c=54,a32+b3+c=58,即 解得a+b+c=52,4a+2b+c=54,9a+3b+c=58, a=1,b= -1,c=52, 甲: y1=x2-x+52.又pq1+r=52,pq2+r=54,pq3+r=58, - ,得 pq2-pq1=2, - ,得 pq3-pq2=4, ,得 q=2.将 q=2 代入 式,得 p=1.5将 q=2,p=1 代入 式,得 r=50. 乙: y2=2x+50.计算当 x=4 时, y1=64,y2=66;当 x=5 时, y1=72,y2=82;当 x=6 时, y1=82,y2=114.可见,乙选择的模型较好 .6
