1、1单元质量测试(七)时间：120 分钟 满分：150 分第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1直线 3x y10 的倾斜角大小为( )3A30 B60 C120 D150答案 C解析 k ， 120故选 C33 32 “a2”是“直线 y ax2 与 y x1 垂直”的( )a4A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 由 a2 得两直线斜率满足(2) 1，即两直线垂直；由两直线垂直得24( a) 1，解得 a2故选 Aa43已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为(
2、)y2a2 x2b2 3A y x B y x22 2C y2 x D y x12答案 A解析 由题意得，双曲线的离心率 e ，故 ，故双曲线的渐近线方程为ca 3 ba 2y x xab 224(2018邯郸摸底)已知 F1， F2分别是双曲线 C： 1 的左、右焦点， P 为双x29 y27曲线 C 右支上一点，且| PF1|8，则 ( )|F1F2|PF2|A4 B3 C2 D22答案 A解析 由 1 知 c2 a2 b216，所以| F1F2|2 c8，由双曲线定义知x29 y272|PF1| PF2|2 a6，所以| PF2|2 或| PF2|14( P 在右支上，舍去)，所以4|F
3、1F2|PF2|5(2018福州模拟)已知双曲线 C 的两个焦点 F1， F2都在 x 轴上，对称中心为原点，离心率为 若点 M 在 C 上，且 MF1 MF2， M 到原点的距离为 ，则 C 的方程为( )3 3A 1 B 1x24 y28 y24 x28C x2 1 D y2 1y22 x22答案 C解析 显然 OM 为 Rt MF1F2的中线，则| OM|F1F2| c 又 e ，得 a1进而 b2 c2 a22故 C 的方程为12 3 ca 3a 3x2 1，故选 Cy226设 F1， F2是椭圆 E： 1( ab0)的左、右焦点， P 为直线 x 上一点，x2a2 y2b2 3a2F
4、2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为( )A B C D12 23 34 45答案 C解析 令 c 如图，据题意，| F2P| F1F2|， F1PF230，a2 b2 F1F2P120， PF2x60，| F2P|2 3 a2 c(3a2 c)| F1F2|2 c，3 a2 c2 c，3 a4 c， ，即椭圆的离心率为 故选 Cca 34 347(2018大庆质检一)已知等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线3y212 x 的准线交于 A， B 两点，| AB|2 ，则 C 的实轴长为( )5A B2 C2 D42 2答案 D解析 因为抛物线 y21
5、2 x 的准线为 x3，而等轴双曲线 C 的焦点在 x 轴上，所以A， B 两点关于 x 轴对称，且| AB|2 ，所以点(3， )在双曲线上，代入双曲线的方程5 5x2 y2 a2中得 95 a24，所以 a2，即 2a4，故双曲线 C 的实轴长为 4故选 D8(2018乌鲁木齐一诊)已知抛物线 y24 x 与圆 F： x2 y22 x0，过点 F 作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点 A， B， C， D，则下列关于| AB|CD|的值的说法中，正确的是( )A等于 1 B等于 16C最小值为 4 D最大值为 4答案 A解析 圆 F 的方程为( x1) 2 y21设直线 l 的方程为
6、x my1代入 y24 x 得y24 my40， y1y24设点 A(x1， y1)， D(x2， y2)则| AF| x11，| DF| x21，所以| AB| AF| BF| x1，| CD| DF| CF| x2，所以| AB|CD| x1x2 (y1y2)11621故选 A9(2018沈阳质检一)已知双曲线 C： 1( a0， b0)， O 为坐标原点， F 为x2a2 y2b2双曲线的右焦点，以 OF 为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点 A，若 AFO ，则双曲 6线 C 的离心率为( )A2 B C D3 2233答案 A解析 如图所示，在 AOF 中， OAF90，又 AFO30
7、，所以 AOF60，故tan60 ，所以 e 2，故选 Aba 3 1 b2a2410(2019唐山模拟)已知 F1， F2为双曲线 ： 1( a0)的左、右焦点， Px2a2 y220为双曲线 左支上一点，直线 PF1与双曲线 的一条渐近线平行， PF1 PF2，则 a( )A B C4 D 55 2 5答案 A解析 如图，记 PF2与双曲线的渐近线 l 的交点为 M与 PF1平行的双曲线的渐近线为y x，由 PF1 PF2，得 PF2 l，则 F2(c，0)到直线 l： x y0 的距离为 d25a 25a 2 而 OMF2为直角三角形，所以| OM| 25ac25a2 12 25ca2
8、20 5 |OF2|2 |MF2|2 a又 OM F1P， O 是 F1F2的中点，所以c2 20|F1P|2| OM|2 a，| PF2|2| MF2|4 而由双曲线的定义，有| PF2| PF1|2 a，即 45 2a 2a，所以 a 故选 A5 511(2018衡阳三模)已知椭圆 E： 1( a b0)的左焦点为 F1， y 轴上的点x2a2 y2b2P 在椭圆以外，且线段 PF1与椭圆 E 交于点 M若| OM| MF1| |OP|，则椭圆 E 的离心33率为( )A B C 1 D12 32 3 3 12答案 C解析 过 M 作 MH x 轴于点 H，由| OM| MF1|，知 H
9、为 OF1的中点，进而 MH 为 PF1O的中位线，则 M 为 F1P 的中点从而依题意，有 |F1P| |OP|，即12 33 sin OF1P，则 OF1P 则 MF1O 是边长为 c 的等边三角形连接 MF2(F232 |OP|F1P| 35为椭圆 E 的右焦点)，则由 OM OF1 OF2可知 F1MF2 故 e 2 2c2a |F1F2|MF1| |MF2| 1故选 C2c1 3c 21 3 312(2018合肥质检一)如图，已知椭圆 1( a0)的左、右焦点分别为x2a2 y24F1， F2，过 F1的直线交椭圆于 M， N 两点，交 y 轴于点 H若 F1， H 是线段 MN 的
10、三等分点，则 F2MN 的周长为( )A20 B10 C2 D45 5答案 D解析 解法一：设点 H(0， t)，00，解得1 a314(2018浙江宁波质检)与圆( x2) 2 y21 外切，且与直线 x10 相切的动圆圆心的轨迹方程是_答案 y28 x解析 设动圆圆心为 P(x， y)，则 | x1| 1，依据抛物线的定义结合x 22 y2题意可知动圆圆心 P(x， y)的轨迹是以(2，0)为焦点， x2 为准线的抛物线，故方程为y28 x15(2018贵阳模拟)已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 60的直线与抛物线交于 A， B 两点，若| AF| BF|，且| A
11、F|2，则 p_答案 1解析 过点 A 作 AM x 轴交 x 轴于点 M，由 AFM60，| AF|2 得| FM|1，且点 A到抛物线的准线 l： x 的距离为 2，而| FM|1，所以抛物线的焦点 F 到准线的距离为p21，即 p116已知椭圆 C： 1，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分x29 y24别为 A， B，线段 MN 的中点在 C 上，则| AN| BN|_答案 12解析 解法一：由椭圆方程知椭圆 C 的左焦点为F1( ，0)，右焦点为 F2( ，0)则 M(m， n)关于 F1的对称点为 A(2 m， n)，5 5 5关于 F2的对称点为 B(2
12、 m， n)，设 MN 中点为( x， y)，所以 N(2x m，2 y n)5所以| AN| BN| 2x 252 2y22x 252 2y22 ， x 52 y2 x 52 y2故由椭圆定义可知| AN| BN|2612解法二：根据已知条件画出图形，如图设 MN 的中点为 P， F1， F2为椭圆 C 的焦点，7连接 PF1， PF2显然 PF1是 MAN 的中位线， PF2是 MBN 的中位线，| AN| BN|2| PF1|2| PF2|2(| PF1| PF2|)2612三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(2018河南郑州检测)(
13、本小题满分 10 分)已知坐标平面上动点 M(x， y)与两个定点 P(26，1)， Q(2，1)，且| MP|5| MQ|(1)求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为 C，过点 N(2，3)的直线 l 被 C 所截得的线段长度为 8，求直线 l的方程解 (1)由题意，得 5，|MP|MQ|即 5，x 262 y 12x 22 y 12化简，得 x2 y22 x2 y230，所以点 M 的轨迹方程是( x1) 2( y1) 225轨迹是以(1，1)为圆心，5 为半径的圆(2)当直线 l 的斜率不存在时， l： x2，此时所截得的线段长度为 2 8，52 32所以 l
14、： x2 符合题意当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y3 k(x2)，即 kx y2 k30，圆心(1，1)到直线 l 的距离 d |3k 2|k2 1由题意，得 24 25 2，解得 k |3k 2|k2 1 512所以直线 l 的方程为 x y 0，512 236即 5x12 y4608综上，直线 l 的方程为 x2 或 5x12 y46018(2018佛山质检一)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1： 1( a b0)的右x2a2 y2b2顶点与抛物线 C2： y22 px(p0)的焦点重合，椭圆 C1的离心率为 ，过椭圆 C1的右焦点 F12且垂直于 x 轴的直线被抛物线
15、C2截得的弦长为 4 2(1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程；(2)过点 A(2，0)的直线 l 与 C2交于 M， N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 M，证明：直线 M N 恒过一定点解 (1)设椭圆 C1的半焦距为 c，依题意，可得 a ，p2则 C2： y24 ax代入 x c，得 y24 ac，即 y2 ，ac则有Error! 解得 a2， b ， c13所以椭圆 C1的方程为 1，x24 y23抛物线 C2的方程为 y28 x(2)证明：依题意，可知直线 l 的斜率不为 0，可设 l： x my2联立Error! 消去 x，整理得 y28 my160设点 M(x1， y1)
16、， N(x2， y2)，则点 M( x1， y1)，由 (8 m)24160，解得 m1 或 m1且有 y1 y28 m， y1y216， m ，y1 y28所以直线 M N 的斜率 kM N y2 y1x2 x1 8mmy2 y1 8y2 y1可得直线 M N 的方程为 y y2 (x x2)，8y2 y1即 y x y2 x x8y2 y1 8my2 2y2 y1 8y2 y1 y2y2 y1 y2y1 y2 16y2 y1 8y2 y1 (x2)16y2 y1 8y2 y1所以当 m1 或 m1 时，直线 M N 恒过定点(2，0)19(2019深圳调研)(本小题满分 12 分)已知直线
17、 l 经过抛物线 C： x24 y 的焦点F，且与抛物线 C 交于 A， B 两点，抛物线 C 在 A， B 两点处的切线分别与 x 轴交于点9M， N(1)求证： AM MF；(2)记 AFM 和 BFN 的面积分别为 S1和 S2，求 S1S2的最小值解 (1)证明：不妨设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其中 y1 ， y2 x214 x24由导数知识可知，抛物线 C 在点 A 处的切线 l1的斜率 k1 ，x12则切线 l1的方程 y y1 (x x1)，x12令 y0，可得 M ，0x12因为 F(0，1)，所以直线 MF 的斜率 kMF 1 00 x12 2x1所以 k1
18、kMF1，所以 AM MF(2)由(1)可知 S1 |AM|MF|，12其中| AM| ，| MF| x1 x122 y21 x214 y21 y1 y21 y1 1 y1 x122 1，y1 1所以 S1 |AM|MF| (y11) 12 12 y1同理可得 S2 (y21) 12 y2所以 S1S2 (y11)( y21)14 y1y2 (y1y2 y1 y21) 14 y1y2设直线 l 的方程为 y kx1，联立方程组Error!可得 x24 kx40，所以 x1x24，所以 y1y2 1x1x2216所以 S1S2 (y1 y22) (2 2)1，14 14 y1y2当且仅当 y1
19、y2时，等号成立所以 S1S2的最小值为 11020(2018太原三模)(本小题满分 12 分)已知抛物线 C1： y28 x 的焦点 F 也是椭圆C2： 1( a b0)的右焦点，点 P(0，2)在椭圆短轴 CD 上，且 P P 1x2a2 y2b2 C D (1)求椭圆 C2的方程；(2)设 Q 为椭圆 C2上的一个不在 x 轴上的动点， O 为坐标原点，过椭圆 C2的右焦点 F作 OQ 的平行线，交椭圆 C2于 M， N 两点，求 QMN 面积的最大值解 (1)由 C1： y28 x，知焦点 F 坐标为(2，0)，所以 a2 b24由已知得点 C， D 的坐标分别为(0， b)，(0，
20、b)，又 P P 1，C D 于是 4 b21，解得 b25， a29，所以椭圆 C2的方程为 1x29 y25(2)设点 M(x1， y1)， N(x2， y2)， Q(x3， y3)，直线 MN 的方程为 x my2由Error! 可得(5 m29) y220 my250则 y1 y2 ， y1y2 ， 20m5m2 9 255m2 9所以| MN| 1 m2y1 y22 4y1y21 m2 20m5m2 92 1005m2 9 301 m25m2 9因为 MN OQ，所以 QMN 的面积等于 OMN 的面积又点 O 到直线 x my2 的距离 d ，21 m2所以 QMN 的面积 S |
21、MN|d12 12 30m2 15m2 9 2m2 1 30m2 15m2 9令 t，则 m2 t21( t1)，m2 1S 30t5t2 1 9 30t5t2 4 305t 4t因为 f(t)5 t 在1，)上单调递增，4t11所以当 t1 时， f(t)取得最小值 9所以 QMN 的面积的最大值为 10321(2018重庆一模)(本小题满分 12 分)已知 F1， F2分别为椭圆 C： 1 的左、x23 y22右焦点，点 P(x0， y0)在椭圆 C 上(1)求 的最小值；PF1 PF2 (2)若 y00 且 0，已知直线 l： y k(x1)与椭圆 C 交于两点 A， B，过点PF1 F
22、1F2 P 且平行于直线 l 的直线交椭圆 C 于另一点 Q，问：四边形 PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线 l 的方程；若不能，请说明理由解 (1)由题意可知， F1(1，0)， F2(1，0)， (1 x0， y0)，PF1 (1 x0， y0)， x y 1 x 1PF2 PF1 PF2 20 20 1320 x0 ， 的最小值为 13 3 PF1 PF2 (2) 0， x01PF1 F1F2 y00， P1， 233设 A(x1， y1)， B(x2， y2)联立直线与椭圆方程，得(23 k2)x26 k2x3 k260，由根与系数的关系可知x1 x2 ， x1x2 6k2
23、2 3k2 3k2 62 3k2由弦长公式可知|AB| |x1 x2| 1 k2431 k22 3k2 P1， ， PQ AB，233直线 PQ 的方程为 y k(x1)233设 Q(x3， y3)将 PQ 的方程代入椭圆方程可知(23 k2)x26 kk x3 k 260，233 233 x01， x3 ，2 3k2 43k2 3k2| PQ| |x0 x3| 1 k2 1 k2|4 43k|2 3k212若四边形 PABQ 为平行四边形，则| AB| PQ|，4 |44 k|，解得 k 3 1 k2 333故符合条件的直线 l 的方程为 y (x1)，33即 x y10322(2018衡阳
24、三模)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C： 1( a b0) 的离心率为 ，且椭圆 C 上的动点 P 到点 Q(0，2)的距离的最x2a2 y2b2 3 63大值为 3(1)求椭圆 C 的方程；(2)椭圆 C 上是否存在点 M(m， n)，使得直线 l： mx ny1 与圆 O： x2 y21 相交于不同的两点 A， B，且 OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 OAB 的面积；若不存在，请说明理由解 (1)依题意 e ，则 c2 a2，ca 63 23所以 b2 a2 c2 a213因为 a ，所以 b13设 P(x， y)是椭圆 C 上任意一
25、点，则 1，x2a2 y2b2所以 x2 a21 a23 y2，y2b2所以| PQ| x2 y 22 a2 3y2 y 22 (y b， b) 2y 12 a2 6因为 b1，当 y1 时，| PQ|有最大值 3，a2 6可得 a ，所以 b1， c 3 2故椭圆 C 的方程为 y21x23(2)假设存在点 M(m， n)在椭圆 C 上，满足题意，所以 n21， m233 n2，m23设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得( m2 n2)x22 mx1 n20所以 4 m24( m2 n2)(1 n2)4 n2(m2 n21)138 n2(1 n2)0，可得 n21
26、由根与系数的关系得 x1 x2 ，2mm2 n2x1x2 ，1 n2m2 n2所以 y1y2 1 mx1n 1 mx2n ，1 mx1 x2 m2x1x2n2 1 m2m2 n2所以| AB| x1 x22 y1 y22 x21 y21 x2 y2 2x1x2 y1y22 21 n2m2 n2 1 m2m2 n22 1 1m2 n2设原点 O 到直线 AB 的距离为 h，则 h ，1m2 n2所以 S OAB |AB|h 12 1m2 n21 1m2 n2设 t ，1m2 n2由 0 n21，得 m2 n232 n2(1，3，所以 t ，1，13S OAB ， t ，1，t1 t t 122 14 13所以，当 t 时， S OAB面积最大，为 12 12此时，点 M 的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， 62 22 62 22 62 22 62 2214
