1、1考点测试 46 两条直线的位置关系与距离公式高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 ， 分 值 为 5分 ， 中 、 低 等 难 度考纲研读1能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离一、基础小题1过点(1,0)且与直线 x2 y20 平行的直线方程是( )A x2 y10 B x2 y10C2 x y20 D x2 y10答案 A解析 设直线方程为 x2 y c0( c2)，又该直线经过点(1,0)，故 c1，所求直线方程为 x2 y10故选 A2若点
2、P(a， b)与 Q(b1， a1)关于直线 l 对称，则直线 l 的倾斜角 为( )A135 B45 C30 D60答案 B解析 由题意知， PQ l， kPQ 1， kl1，即a 1 bb 1 atan 1， 45故选 B3已知点 A(1，2)， B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x2 y20，则实数 m 的值是( )A2 B7 C3 D1答案 C解析 因为线段 AB 的中点 ，0 在直线 x2 y20 上，代入解得 m31 m24已知直线 x y10 与直线 2 x my30 平行，则它们之间的距离是( )3 3A1 B C3 D454答案 B解析 ， m2，两平行线之间
3、的距离 d 故选 B323 1m 13 | 1 32|3 1 5425已知点 M 是直线 x y2 上的一个动点，若点 P 的坐标为( ，1)，则| PM|的3 3最小值为( )A B1 C2 D312答案 B解析 | PM|的最小值即点 P( ，1)到直线 x y2 的距离，又 1，3 3|3 3 2|1 3故| PM|的最小值为 1选 B6若直线 l1： ax2 y80 与直线 l2： x( a1) y40 平行，则实数 a 的值为( )A1 B1 或 2 C2 D1 或2答案 A解析 直线 l1的方程为 y x4若 a1，显然两直线不平行，所以 a1；a2要使两直线平行，则有 ，解得 a
4、1 或 a2当 a2 时，两直线重合，所以a1 2a 1不满足条件，所以 a1故选 A7若直线 l1： y k(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则直线 l2恒过定点( )A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)答案 B解析 直线 l1： y k(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)的对称点为(0,2)又由于直线 l1： y k(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，故直线 l2恒过定点(0,2)8若动点 A， B 分别在直线 l1： x y70 和 l2： x y50 上移动，则 AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A3 B C3 D22 2 3答案 C解
5、析 点 M 在直线 x y60 上，到原点的最小距离等价于原点 O(0,0)到直线x y60 的距离，即 d 3 故选 C|0 0 6|12 12 62 29已知 x， y 满足 x2 y50，则( x1) 2( y1) 2的最小值为( )A B C D45 25 255 105答案 A解析 ( x1) 2( y1) 2表示点 P(x， y)到点 Q(1,1)的距离的平方由已知可得点 P在直线 l： x2 y50 上，所以| PQ|的最小值为点 Q 到直线 l 的距离，即 d3 ，所以( x1) 2( y1) 2的最小值为 d2 故选 A|1 21 5|1 22 255 4510已知 ABC
6、的顶点 A(5,1)，边 AB 上的中线 CM 所在直线的方程为 2x y50，边 AC 上的高 BH 所在直线的方程为 x2 y50，则直线 BC 的方程为( )A2 x y110 B6 x5 y100C5 x6 y90 D6 x5 y90答案 D解析 依题意知 kAC2，点 A(5,1)，则直线 AC 的方程为 2x y110，联立Error! 可得点 C(4,3)设 B(x0， y0)，则 AB 的中点 M 为 ， ，x0 52 y0 12代入 2x y50，得 2x0 y010，所以Error! 解得点 B(1，3)，故 kBC ，则直线 BC 的方程为 y3 (x4)，即65 656
7、x5 y90故选 D11已知 A(2,1)， B(1,2)，点 C 为直线 y x 上的动点，则| AC| BC|的最小值为13( )A2 B2 C2 D22 3 5 7答案 C解析 设 B 关于直线 y x 的对称点为 B( x0， y0)，则Error!解得 B(2，1)由13平面几何知识得| AC| BC|的最小值即是| B A| 2 故选 C2 22 1 12 512已知点 A(3，4)， B(6,3)到直线 l： ax y10 的距离相等，则实数 a 的值为_答案 或13 79解析 由题意及点到直线的距离公式得 ，解得 a 或| 3a 4 1|a2 1 |6a 3 1|a2 1 13
8、79二、高考小题13(2016全国卷)圆 x2 y22 x8 y130 的圆心到直线 ax y10 的距离为 1，则 a( )A B C D243 34 3答案 A4解析 圆的方程可化为( x1) 2( y4) 24，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax y10 的距离为 1，解得 a 故选 A|a 4 1|a2 1 4314(2015山东高考)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆( x3)2( y2) 21 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A 或 B 或53 35 32 23C 或 D 或54 45 43 34答案 D解析 如图，作出点 P(2，3)关于 y 轴的对称点
9、P0(2，3)由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点 P0故设反射光线为 yk(x2)3，即 kx y2 k30圆心到直线的距离d 1，解得 k 或 k 故选 D| 3k 2 2k 3|1 k2 43 3415(2015广东高考)平行于直线 2x y10 且与圆 x2 y25 相切的直线的方程是( )A2 x y50 或 2x y50B2 x y 0 或 2x y 05 5C2 x y50 或 2x y50D2 x y 0 或 2x y 05 5答案 A解析 设与直线 2x y10 平行的直线方程为 2x y m0( m1)，因为直线2x y m0 与圆 x2 y25 相切，即点(0,0)
10、到直线 2x y m0 的距离为 ，所以 5|m|5， |m|5故所求直线的方程为 2x y50 或 2x y50故选 A516(经典重庆高考)已知直线 ax y20 与圆心为 C 的圆( x1) 2( y a)24 相交于 A， B 两点，且 ABC 为等边三角形，则实数 a_答案 4 15解析 由 ABC 为等边三角形可得， C 到 AB 的距离为 ，即(1， a)到直线35ax y20 的距离 d ，即 a28 a10，可求得 a4 |a a 2|1 a2 3 15三、模拟小题17(2018福建闽侯六中模拟)“直线( m2) x3 my10 与( m2) x( m2) y0互相垂直”是“
11、 m ”的( )12A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 若直线( m2) x3 my10 与( m2) x( m2) y0 互相垂直，则( m2)( m2)3 m(m2)0，解得 m2 或 m ，即“直线( m2) x3 my10 与( m2) x( m2)12y0 互相垂直”是“ m ”的必要不充分条件1218(2018天津一中模拟)已知直线 x a2y60 与直线( a2) x3 ay2 a0 平行，则 a 的值为( )A0 或 3 或1 B0 或 3C3 或1 D0 或1答案 D解析 由题意知 13a a2(a2)0，即 a(a22 a3)0
12、， a0， a1 或a3，经验证当 a3 时，两直线重合故选 D19(2018广西陆川模拟)光线沿着直线 y3 x b 射到直线 x y0 上，经反射后沿着直线 y ax2 射出，则有( )A a ， b6 B a ， b613 13C a3， b D a3， b16 16答案 B解析 由题意，直线 y3 x b 与直线 y ax2 关于直线 y x 对称，故直线y ax2 上点(0,2)关于 y x 的对称点(2,0)在直线 y3 x b 上， b6， y3 x6 上的点(0，6)，关于直线 y x 对称点(6,0)在直线 y ax2上， a ，故选 B1320(2018杭州月考)已知 P1
13、(a1， b1)与 P2(a2， b2)是直线 y kx1( k 为常数)上两个6不同的点，则关于 x 和 y 的方程组Error!的解的情况是( )A无论 k， P1， P2如何，总是无解B无论 k， P1， P2如何，总有唯一解C存在 k， P1， P2，使之恰有两解D存在 k， P1， P2，使之有无穷多解答案 B解析 由题意，直线 y kx1 一定不过原点 O， P1， P2是直线 y kx1 上不同的两点，则 与 不平行，因此 a1b2 a2b10，所以二元一次方程组OP1 OP2 Error!一定有唯一解故选 B21(2018湖北孝感五校联考)已知直线 y2 x 是 ABC 中 C
14、 的平分线所在的直线，若点 A， B 的坐标分别是(4，2)，(3,1)，则点 C 的坐标为( )A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)答案 C解析 设 A(4,2)关于直线 y2 x 的对称点为( x， y)，则Error!解得Error! BC 所在直线方程为 y1 (x3)，即 3x y100联立Error!解得Error! 则 C(2,4)故 2 14 3选 C22(2018百校联盟 TOP20 联考)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项
15、重大成就，现作出圆x2 y22 的一个内接正八边形，使该正八边形的其中 4 个顶点在坐标轴上，则下列 4 条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )A x( 1) y 02 2B(1 )x y 02 2C x( 1) y 02 2D( 1) x y 02 2答案 C解析 如图所示，可知 A( ，0)， B(1,1)， C(0， )， D(1,1)，所以直线2 27AB， BC， CD 的方程分别为 y (x )， y(1 )x ， y( 1) x ，整理1 01 2 2 2 2 2 2成一般式为 x( 1) y 0，(1 )x y 0，( 1) x y 0，分别对应2 2 2 2 2 2
16、题中的 A，B，D 选项故选 C23(2018北京西城区月考)已知 l1， l2是分别经过 A(1,1)， B(0，1)两点的两条平行直线，当 l1， l2间的距离最大时，则直线 l1的方程是_答案 x2 y30解析 当直线 AB 与 l1， l2垂直时， l1， l2间的距离最大因为 A(1,1)， B(0，1)，所以 kAB 2，所以两平行直线的斜率为 k ，所以直线 l1的方程是 1 10 1 12y1 (x1)，即 x2 y301224(2018河南焦作调研)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休 ”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面
17、上点 M(x， y)与点 N(a， b)的距离结合上述观点，x a2 y b2可得 f(x) 的最小值为_ x2 4x 20 x2 2x 10答案 5 2解析 f(x) x2 4x 20 x2 2x 10 ， f(x)的几何意义为点 M(x,0)到两定点x 22 0 42 x 12 0 32A(2,4)与 B(1,3)的距离之和，设点 A(2,4)关于 x 轴的对称点为 A，则 A为(2，4)要求 f(x)的最小值，可转化为| MA| MB|的最小值，利用对称思想可知|MA| MB| A B| 5 ，即 f(x) 1 22 3 42 2 x2 4x 20的最小值为 5 x2 2x 10 2一、
18、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018江西九江月考)已知直线 l1： x a2y10 和直线 l2：( a21)x by30( a， bR)(1)若 l1 l2，求 b 的取值范围；(2)若 l1 l2，求| ab|的最小值解 (1)因为 l1 l2，所以 b( a21) a20，即 b a2(a21) a4 a2 2 ，(a212) 148因为 a20，所以 b0又因为 a213，所以 b6故 b 的取值范围是(，6)(6,0(2)因为 l1 l2，所以( a21) a2b0，显然 a0，所以ab a ，| ab| 2，当且仅当 a1 时等号成立，因此| ab|的最
19、小值为 21a |a 1a|2(2018湖北十堰模拟)已知三条直线 l1：2 x y a0( a0)， l2：4 x2 y10和 l3： x y10，且两平行直线 l1与 l2间的距离是 7510(1)求 a 的值；(2)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： P 是第一象限的点； P 点到 l1的距离是 P 点到 l2的距离的 ； P 点到 l1的距离与 P 点到 l3的距离之比是 12 2若能，求 P 点坐标；若不能，说明理由5解 (1) l2的方程可化为 2x y 0，12 l1与 l2间的距离 d ，a 1222 12 7510 ， a ，a 125 7510 12 72
20、 a0， a3(2)能假设存在满足题意的 P 点设点 P(x0， y0)，因为 P 点满足条件，所以 P 点在与 l1， l2平行的直线l：2 x y C0 上，其中 C 满足 ， C3 且 C ，|C 3|5 12 C 125 12则 C 或 C ，132 1162 x0 y0 0 或 2x0 y0 0132 116因为 P 点满足条件，所以由点到直线的距离公式得 ，|2x0 y0 3|5 25 |x0 y0 1|2即|2 x0 y03| x0 y01|，9 x02 y040 或 3x020 P 点在第一象限，3 x020 不满足题意由Error! 解得Error!(舍去)由Error! 解得Error!存在满足题意的 P 点，且 P 点的坐标为 ， 19371810
