1、1考点测试 49 双曲线一、基础小题1已知双曲线 C： 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，则双曲线 C的离心y2a2 x2b2 12率为( )A B C D52 5 62 6答案 B解析 由题意可得 ，则离心率 e ，故选 Bab 12 ca 1 ba2 52已知双曲线 1 的实轴长为 10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )x2m2 16 y24m 3A B C D54 45 53 35答案 D解析 由 m2165 2，解得 m3( m3 舍去)所以 a5， b3，从而 ，ba 35故选 D3已知平面内两定点 A(5，0)， B(5，0)，动点 M满足| MA| MB|6，则点 M的
2、轨迹方程是( )A 1 B 1( x4)x216 y29 x216 y292C 1 D 1( x3)x29 y216 x29 y216答案 D解析 由双曲线的定义知，点 M的轨迹是双曲线的右支，故排除 A，C；又c5， a3， b2 c2 a216焦点在 x轴上，轨迹方程为 1( x3)故选x29 y216D4双曲线 y21 的焦点到渐近线的距离为( )x2mA B C1 D2 312答案 C解析 焦点 F( ，0)到渐近线 x y0 的距离 d 1，故选 Cm 1 m|m 10|1 m25已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 10，点 P(2，1)在 C的渐近线上，x2a2 y2b
3、2则 C的方程为( )A 1 B 1x220 y25 x25 y220C 1 D 1x280 y220 x220 y280答案 A解析 1 的焦距为 10， c5 x2a2 y2b2 a2 b2又双曲线渐近线方程为 y x，且 P(2，1)在渐近线上， 1，即 a2 bba 2ba由解得 a2 ， b ，则 C的方程为 1故选 A5 5x220 y256已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 M与双曲线x2a2 y2b2C的焦点不重合，点 M关于 F1， F2的对称点分别为 A， B，线段 MN的中点在双曲线的右支上，若| AN| BN|12，则 a( )A
4、3 B4 C5 D6答案 A3解析 如图，设 MN的中点为 C，则由对称性知 F1， F2分别为线段 AM， BM的中点，所以| CF1| |AN|，| CF2| |BN|由双曲线的定义，知| CF1| CF2|2 a (|AN| BN|)12 12 126，所以 a3，故选 A7已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率 e2，且它的一个顶点到相应焦点x2a2 y2b2的距离为 1，则双曲线 C的方程为_答案 x2 1y23解析 由题意得Error!解得Error!则 b ，故所求方程为 x2 13y238设 F1， F2分别为双曲线 1 的左、右焦点，点 P在双曲线上，若点 P到焦点x
5、216 y220F1的距离等于 9，则点 P到焦点 F2的距离为_答案 17解析 解法一：实轴长 2a8，半焦距c6，| PF1| PF2|8| PF1|9，| PF2|1 或| PF2|17又| PF2|的最小值为 c a642，| PF2|17解法二：由题知，若 P在右支上，则| PF1|28109， P在左支上| PF2| PF1|2 a8，| PF2|9817二、高考小题9(2018全国卷)双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y x B y x2 3C y x D y x22 32答案 A解析 e ， e21312， 因为该双曲线的
6、渐近ca 3 b2a2 c2 a2a2 ba 2线方程为 y x，所以该双曲线的渐近线方程为 y x，故选 Aba 2410(2018全国卷)已知双曲线 C： y21， O为坐标原点， F为 C的右焦点，x23过 F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M， N若 OMN为直角三角形，则| MN|( )A B3 C2 D432 3答案 B解析 由题意分析知， FON30所以 MON60，又因为 OMN是直角三角形，不妨取 NMO90，则 ONF30，于是 FN OF2， FM OF1，所以| MN|3故选12B11(2018全国卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦
7、点， Ox2a2 y2b2是坐标原点过 F2作 C的一条渐近线的垂线，垂足为 P若| PF1| |OP|，则 C的离心率6为( )A B2 C D5 3 2答案 C解析 由题可知| PF2| b，| OF2| c，| PO| a在 Rt POF2中，cos PF2O ，|PF2|OF2| bc在 PF1F2中，cos PF2O ，|PF2|2 |F1F2|2 |PF1|22|PF2|F1F2| bc c23 a2， e 故选 Cb2 4c2 6a22b2c bc 312(2018天津高考)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，过右焦点且垂x2a2 y2b2直于 x轴的直线与双曲线交于
8、 A， B两点设 A， B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和 d2，且 d1 d26，则双曲线的方程为( )A 1 B 1x24 y212 x212 y245C 1 D 1x23 y29 x29 y23答案 C解析 双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2， e21 4， 3，即x2a2 y2b2 b2a2 b2a2b23 a2， c2 a2 b24 a2，由题意可设 A(2a，3 a)， B(2a，3 a)， 3，渐近线b2a2方程为 y x，则点 A与点 B到直线 x y0 的距离分别为3 3d1 a， d2 a，又 d1 d26， a|23a 3a|2 23 32 |23a 3a
9、|2 23 32 23 32a6，解得 a ， b29双曲线的方程为 1，故选 C23 32 3 x23 y2913(2018江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 1( a0， b0)的右x2a2 y2b2焦点 F(c，0)到一条渐近线的距离为 c，则其离心率的值是_32答案 2解析 双曲线的一条渐近线方程为 bx ay0，则 F(c，0)到这条渐近线的距离为 c，|bc|b2 a2 32 b c， b2 c2，又 b2 c2 a2， c24 a2，32 34 e 2ca14(2017全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A，以 A为圆x2a2 y2b2心， b为
10、半径作圆 A，圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M， N两点若 MAN60，则 C的离心率为_答案 233解析 如图，由题意知点 A(a，0)，双曲线的一条渐近线 l的方程为 y x，即babx ay0，6点 A到 l的距离 d aba2 b2又 MAN60，| MA| NA| b， MAN为等边三角形， d |MA| b，即32 32 b， a23 b2， e aba2 b2 32 ca a2 b2a2 233三、模拟小题15(2018河北黄冈质检)过双曲线 1( a0， b0)的右焦点 F作圆 x2 y2 a2x2a2 y2b2的切线 FM(切点为 M)，交 y轴于点 P，若 M为线段
11、FP的中点，则双曲线的离心率为( )A B C2 D2 3 5答案 A解析 连接 OM由题意知 OM PF，且| FM| PM|，| OP| OF|， OFP45，| OM| OF|sin45，即 a c ， e 故选 A22 ca 216(2018河南洛阳尖子生联考)设 F1， F2分别为双曲线 1 的左、右焦点，x29 y216过 F1引圆 x2 y29 的切线 F1P交双曲线的右支于点 P， T为切点， M为线段 F1P的中点，O为坐标原点，则| MO| MT|等于( )A4 B3 C2 D1答案 D解析 连接 PF2， OT，则有| MO| |PF2| (|PF1|2 a) (|PF1
12、|6)12 12 12 |PF1|3，| MT| |PF1| F1T| |PF1| |PF1|4，于是有| MO| MT|12 12 12 c2 32 12|PF1|3 |PF1|41，故选 D12 1217(2018哈尔滨调研)已知双曲线 C的右焦点 F与抛物线 y28 x的焦点相同，若以点 F为圆心， 为半径的圆与双曲线 C的渐近线相切，则双曲线 C的方程为( )2A x21 B y21y23 x23C 1 D 1y22 x22 x22 y22答案 D解析 设双曲线 C的方程为 1( a0， b0)，而抛物线 y28 x的焦点为(2，0)，x2a2 y2b2即 F(2，0)，4 a2 b2
13、又圆 F：( x2) 2 y22 与双曲线 C的渐近线 y x相切，ba7由双曲线的对称性可知圆心 F到双曲线的渐近线的距离为 ， a2 b22，故2bb2 a2 2双曲线 C的方程为 1故选 Dx22 y2218(2018安徽淮南三校联考)已知双曲线 1 右焦点为 F， P为双曲线左支上x24 y22一点，点 A(0， )，则 APF周长的最小值为( )2A4 B4(1 )2 2C2( ) D 32 6 6 2答案 B解析 由题意知 F( ，0)，设左焦点为 F0，则 F0( ，0)，由题意可知 APF的周6 6长 l为| PA| PF| AF|，而|PF|2 a| PF0|， l| PA|
14、 PF0|2 a| AF| AF0| AF|2 a 0 62 2 02 22 4 44( 1)，当且仅当 A， F0， P三点共线时取得6 02 0 22 2 2“” ，故选 B19(2018河南适应性测试)已知 F1， F2分别是双曲线 1( a0， b0)的左、x2a2 y2b2右焦点， P是双曲线上一点，若| PF1| PF2|6 a，且 PF1F2的最小内角为 ，则双曲线6的渐近线方程为( )A y2 x B y x12C y x D y x22 2答案 D解析 不妨设 P为双曲线右支上一点，则| PF1|PF2|，由双曲线的定义得|PF1| PF2|2 a，又| PF1| PF2|6
15、 a，所以| PF1|4 a，| PF2|2 a又因为Error!所以 PF1F2为最小内角，故 PF1F2 由余弦定理，可得6 ， c23 a2， b2 c2 a22 a2 ，所以双曲线的渐近线方程为4a2 2c2 2a224a2c 32 ba 2y x，故选 D220(2018山西太原五中月考)已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右x2a2 y2b2焦点，过 F1的直线 l与双曲线的左支交于点 A，与右支交于点 B，若| AF1|2 a， F1AF2，则 ( )23 S AF1F2S ABF28A1 B C D12 13 23答案 B解析 如图所示，由双曲线定义可知| A
16、F2| AF1|2 a又| AF1|2 a，所以|AF2|4 a，因为 F1AF2 ，所以 S23AF1F2 |AF1|AF2|sin F1AF2 2a4a 2 a2设| BF2| m，由双曲线定义12 12 32 3可知| BF1| BF2|2 a，所以| BF1|2 a| BF2|，又知| BF1|2 a| BA|，所以|BA| BF2|又知 BAF2 ，所以 BAF2为等边三角形，边长为 4a，所以 S3ABF2 |AB|2 (4a)24 a2，所以 ，故选 B34 34 3 S AF1F2S ABF2 23a243a2 1221(2018广东六校联考)已知点 F为双曲线 E： 1( a
17、0， b0)的右焦点，直x2a2 y2b2线 y kx(k0)与 E交于不同象限内的 M， N两点，若 MF NF，设 MNF ，且 ， ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )126A ， B2， 12 2 6 3C2， D ， 12 6 2 3答案 D解析 如图，设左焦点为 F，连接 MF， NF，令| MF| r1，| MF| r2，则|NF| MF| r2，由双曲线定义可知 r2 r12 a ，点 M与点 N关于原点对称，且MF NF，| OM| ON| OF| c， r r 4 c2 ，由得 r1r22( c2 a2)，又知21 2S MNF2 S MOF r1r22 c2sin2 ，
18、 c2 a2 c2sin2 ， e2 ，又12 12 11 sin29 ， ，sin2 ， ， e2 2，( 1) 2又 e1， e ，126 12 32 11 sin2 3 2 1，故选 D322(2018河北名校名师俱乐部二调)已知 F1， F2分别是双曲线 x2 1( b0)的左、y2b2右焦点， A是双曲线上在第一象限内的点，若| AF2|2 且 F1AF245，延长 AF2交双曲线的右支于点 B，则 F1AB的面积等于_答案 4解析 由题意知 a1，由双曲线定义知|AF1| AF2|2 a2，| BF1| BF2|2 a2，| AF1|2| AF2|4，| BF1|2| BF2|由题
19、意知| AB| AF2| BF2|2| BF2|，| BA| BF1|， BAF1为等腰三角形， F1AF245， ABF190，BAF1为等腰直角三角形| BA| BF1| |AF1| 42 S22 22 2F1AB |BA|BF1| 2 2 412 12 2 2一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019河北武邑中学月考)已知 mR，直线 l： y x m与双曲线C： 1( b0)恒有公共点x22 y2b2(1)求双曲线 C的离心率 e的取值范围；(2)若直线 l过双曲线 C的右焦点 F，与双曲线交于 P， Q两点，并且满足 ，求FP 15FQ 双曲线 C的方程解
20、(1)联立Error!消去 y，整理得( b22) x24 mx2( m2 b2)0当 b22， m0 时，易知直线 l是双曲线 C的一条渐近线，不满足题意，故 b22，易得 e 210当 b22 时，由题意知 16 m28( b22)( m2 b2)0，即 b22 m2，故 b22，则 e2 2， e c2a2 a2 b2a2 2 b22 2综上可知， e的取值范围为( ，)2(2)由题意知 F(c，0)，直线 l： y x c，与双曲线 C的方程联立，得Error!消去 x，化简得( b22) y22 cb2y b2c22 b20，当 b22 时，易知直线 l平行于双曲线 C的一条渐近线，
21、与双曲线 C只有一个交点，不满足题意，故 b22设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，即Error!因为 ，所以 y1 y2， FP 15FQ 15由可得 y1 ， y2 ，代入整理得 5c2b29( b22)( c22)， cb23b2 2 5cb23b2 2又 c2 b22，所以 b27所以双曲线 C的方程为 1x22 y272(2018惠州月考)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线的方程为 yx2a2 y2b2x，右焦点 F到直线 x 的距离为 3a2c 32(1)求双曲线 C的方程；(2)斜率为 1且在 y轴上的截距大于 0的直线 l与双曲线 C相交于 B， D两
22、点，已知A(1，0)，若 1，证明：过 A， B， D三点的圆与 x轴相切DF BF 解 (1)依题意有 ， c ，ba 3 a2c 32 a2 b2 c2， c2 a， a1， c2， b23，双曲线 C的方程为 x2 1y23(2)证明：设直线 l的方程为 y x m(m0)， B(x1， x1 m)， D(x2， x2 m)， BD的中点为 M，由Error! 得 2x22 mx m230， x1 x2 m， x1x2 ，m2 32又 1，DF BF 即(2 x1)(2 x2)( x1 m)(x2 m)1，11 m0(舍)或 m2， x1 x22， x1x2 ，72M点的横坐标为 1，x
23、1 x22 (1 x1)(1 x2)( x12)( x22)DA BA 52 x1x2 x1 x25720， AD AB，过 A， B， D三点的圆以点 M为圆心， BD为直径，点 M的横坐标为 1， MA x轴，| MA| |BD|，12过 A， B， D三点的圆与 x轴相切3(2019山西太原一中月考)已知直线 l： y x2 与双曲线C： 1( a0， b0)相交于 B， D两点，且 BD的中点为 M(1，3)x2a2 y2b2(1)求双曲线 C的离心率；(2)设双曲线 C的右顶点为 A，右焦点为 F，| BF|DF|17，试判断 ABD是否为直角三角形，并说明理由解 (1)设 B(x1
24、， y1)， D(x2， y2)把 y x2 代入 1，x2a2 y2b2并整理得( b2 a2)x24 a2x4 a2 a2b20，则 x1 x2 ， x1x2 4a2b2 a2 4a2 a2b2b2 a2由 M(1，3)为 BD的中点，得 1，x1 x22 2a2b2 a2即 b23 a2，故 c 2 a，a2 b2所以双曲线 C的离心率 e 2ca(2)由(1)得 C的方程为 1，x2a2 y23a2A(a，0)， F(2a，0)， x1 x22， x1x2 0， b0)上一x2a2 y2b2点， M， N分别是双曲线 E的左、右顶点，直线 PM， PN的斜率之积为 15(1)求双曲线的
25、离心率；(2)过双曲线 E的右焦点且斜率为 1的直线交双曲线于 A， B两点， O为坐标原点， C为双曲线上一点，满足 ，求 的值OC OA OB 解 (1)由点 P(x0， y0)(x0 a)在双曲线 1 上，有 1x2a2 y2b2 x20a2 y20b2由题意有 ，y0x0 a y0x0 a 15可得 a25 b2， c2 a2 b26 b2， e ca 305(2)联立Error!得 4x210 cx35 b20设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!设 ( x3， y3)， ，即Error!OC OC OA OB 又 C为双曲线上一点，即 x 5 y 5 b2，有23 23(x 1 x2)25( y 1 y2)25 b2化简得 2(x 5 y )( x 5 y )2 (x1x25 y1y2)5 b221 21 2 213又 A(x1， y1)， B(x2， y2)在双曲线上，所以 x 5 y 5 b2， x 5 y 5 b221 21 2 2由式又有 x1x25 y1y2 x1x25( x1 c)(x2 c)4 x1x25 c(x1 x2)5 c210 b2，式可化为 24 0，解得 0 或 4
