1、1考点测试 53 双曲线一、基础小题1已知双曲线 C： 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，则双曲线 C的离心y2a2 x2b2 12率为( )A B C D52 5 62 6答案 B解析 由题意可得 ，则离心率 e ，故选 Bab 12 ca 1 ba2 52已知双曲线 1 的实轴长为 10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )x2m2 16 y24m 3A B C D54 45 53 35答案 D解析 由 m2165 2，解得 m3( m3 舍去)所以 a5， b3，从而 ，ba 35故选 D3已知平面内两定点 A(5，0)， B(5，0)，动点 M满足| MA| MB|6，则点 M的
2、轨迹方程是( )2A 1 B 1( x4)x216 y29 x216 y29C 1 D 1( x3)x29 y216 x29 y216答案 D解析 由双曲线的定义知，点 M的轨迹是双曲线的右支，故排除 A，C；又c5， a3， b2 c2 a216焦点在 x轴上，轨迹方程为 1( x3)x29 y216故选 D4双曲线 y21 的焦点到渐近线的距离为( )x2mA B C1 D2 312答案 C解析 焦点 F( ，0)到渐近线 x y0 的距离 d 1，故选 Cm 1 m|m 10|1 m25已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 10，点 P(2，1)在 C的渐近线上，x2a2 y2
3、b2则 C的方程为( )A 1 B 1x220 y25 x25 y220C 1 D 1x280 y220 x220 y280答案 A解析 1 的焦距为 10，x2a2 y2b2 c5 a2 b2又双曲线渐近线方程为 y x，且 P(2，1)在渐近线上，ba 1，即 a2 b2ba由解得 a2 ， b ，5 5则 C的方程为 1故选 Ax220 y256已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 M与双曲线x2a2 y2b2C的焦点不重合，点 M关于 F1， F2的对称点分别为 A， B，线段 MN的中点在双曲线的右支3上，若| AN| BN|12，则 a( )A
4、3 B4 C5 D6答案 A解析 如图，设 MN的中点为 C，则由对称性知 F1， F2分别为线段 AM， BM的中点，所以| CF1| |AN|，| CF2| |BN|由双曲线的定义，知| CF1| CF2|2 a (|AN| BN|)12 12 126，所以 a3，故选 A7已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率 e2，且它的一个顶点到相应焦点x2a2 y2b2的距离为 1，则双曲线 C的方程为_答案 x2 1y23解析 由题意得Error!解得Error!则 b ，故所求方程为 x2 13y238设 F1， F2分别为双曲线 1 的左、右焦点，点 P在双曲线上，若点 P到焦点x2
5、16 y220F1的距离等于 9，则点 P到焦点 F2的距离为_答案 17解析 解法一：实轴长 2a8，半焦距 c6，| PF1| PF2|8| PF1|9，| PF2|1 或| PF2|17又| PF2|的最小值为 c a642，| PF2|17解法二：由题知，若 P在右支上，则| PF1|28109， P在左支上| PF2| PF1|2 a8，| PF2|9817二、高考小题9(2018全国卷)双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y x B y x2 34C y x D y x22 32答案 A解析 e ， e21312， 因为该双曲线
6、的渐近ca 3 b2a2 c2 a2a2 ba 2线方程为 y x，所以该双曲线的渐近线方程为 y x，故选 Aba 210(2018全国卷)已知双曲线 C： y21， O为坐标原点， F为 C的右焦点，x23过 F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M， N若 OMN为直角三角形，则| MN|( )A B3 C2 D432 3答案 B解析 由题意分析知， FON30所以 MON60，又因为 OMN是直角三角形，不妨取 NMO90，则 ONF30，于是 FN OF2， FM OF1，所以| MN|3故选 B1211(2018全国卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右
7、焦点， Ox2a2 y2b2是坐标原点过 F2作 C的一条渐近线的垂线，垂足为 P若| PF1| |OP|，则 C的离心率6为( )A B2 C D5 3 2答案 C解析 由题可知| PF2| b，| OF2| c，| PO| a在 Rt POF2中，cos PF2O ，|PF2|OF2| bc在 PF1F2中，cos PF2O ，|PF2|2 |F1F2|2 |PF1|22|PF2|F1F2| bc c23 a2， e 故选 Cb2 4c2 6a22b2c bc 3512(2018天津高考)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，过右焦点且垂x2a2 y2b2直于 x轴的直线与双曲线
8、交于 A， B两点设 A， B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和 d2，且 d1 d26，则双曲线的方程为( )A 1 B 1x24 y212 x212 y24C 1 D 1x23 y29 x29 y23答案 C解析 双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2， e21 4， 3，即x2a2 y2b2 b2a2 b2a2b23 a2， c2 a2 b24 a2，由题意可设 A(2a，3 a)， B(2a，3 a)， 3，渐近线b2a2方程为 y x，则点 A与点 B到直线 x y0 的距离分别为3 3d1 a， d2 a，又 d1 d26， a|23a 3a|2 23 32 |23a 3
9、a|2 23 32 23 32a6，解得 a ， b29双曲线的方程为 1，故选 C23 32 3 x23 y2913(2018江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 1( a0， b0)的右x2a2 y2b2焦点 F(c，0)到一条渐近线的距离为 c，则其离心率的值是_32答案 2解析 双曲线的一条渐近线方程为 bx ay0，则 F(c，0)到这条渐近线的距离为 c，|bc|b2 a2 32 b c， b2 c2，又 b2 c2 a2， c24 a2，32 34 e 2ca14(2017全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A，以 A为圆x2a2 y2b2心， b
10、为半径作圆 A，圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M， N两点若 MAN60，则 C的离心率为_答案 2336解析 如图，由题意知点 A(a，0)，双曲线的一条渐近线 l的方程为 y x，即babx ay0，点 A到 l的距离 daba2 b2又 MAN60，| MA| NA| b， MAN为等边三角形， d |MA| b，即32 32 b，aba2 b2 32 a23 b2， e ca a2 b2a2 233三、模拟小题15(2018河北黄冈质检)过双曲线 1( a0， b0)的右焦点 F作圆 x2 y2 a2x2a2 y2b2的切线 FM(切点为 M)，交 y轴于点 P，若 M为线段 F
11、P的中点，则双曲线的离心率为( )A B C2 D2 3 5答案 A解析 连接 OM由题意知 OM PF，且| FM| PM|，| OP| OF|， OFP45，| OM| OF|sin45，即 a c ， e 故选 A22 ca 216(2018河南洛阳尖子生联考)设 F1， F2分别为双曲线 1 的左、右焦点，x29 y216过 F1引圆 x2 y29 的切线 F1P交双曲线的右支于点 P， T为切点， M为线段 F1P的中点，O为坐标原点，则| MO| MT|等于( )A4 B3 C2 D1答案 D解析 连接 PF2， OT，则有| MO| |PF2| (|PF1|2 a) (|PF1|
12、6)12 12 12 |PF1|3，| MT| |PF1| F1T| |PF1| |PF1|4，于是有| MO| MT|12 12 12 c2 32 12|PF1|3 |PF1|41，故选 D12 12717(2018哈尔滨调研)已知双曲线 C的右焦点 F与抛物线 y28 x的焦点相同，若以点 F为圆心， 为半径的圆与双曲线 C的渐近线相切，则双曲线 C的方程为( )2A x21 B y21y23 x23C 1 D 1y22 x22 x22 y22答案 D解析 设双曲线 C的方程为 1( a0， b0)，而抛物线 y28 x的焦点为(2，0)，x2a2 y2b2即 F(2，0)，4 a2 b2
13、又圆 F：( x2) 2 y22 与双曲线 C的渐近线 y x相切，ba由双曲线的对称性可知圆心 F到双曲线的渐近线的距离为 ， a2 b22，故2bb2 a2 2双曲线 C的方程为 1故选 Dx22 y2218(2018安徽淮南三校联考)已知双曲线 1 右焦点为 F， P为双曲线左支上x24 y22一点，点 A(0， )，则 APF周长的最小值为( )2A4 B4(1 )2 2C2( ) D 32 6 6 2答案 B解析 由题意知 F( ，0)，设左焦点为 F0，则 F0( ，0)，由题意可知 APF的周6 6长 l为| PA| PF| AF|，而|PF|2 a| PF0|， l| PA|
14、PF0|2 a| AF| AF0| AF|2 a 0 62 2 02 22 4 44( 1)，当且仅当 A， F0， P三点共线时取得6 02 0 22 2 2“” ，故选 B19(2018河南适应性测试)已知 F1， F2分别是双曲线 1( a0， b0)的左、x2a2 y2b2右焦点， P是双曲线上一点，若| PF1| PF2|6 a，且 PF1F2的最小内角为 ，则双曲线6的渐近线方程为( )A y2 x B y x12C y x D y x22 2答案 D解析 不妨设 P为双曲线右支上一点，则| PF1|PF2|，由双曲线的定义得8|PF1| PF2|2 a，又| PF1| PF2|6
15、 a，所以| PF1|4 a，| PF2|2 a又因为Error!所以 PF1F2为最小内角，故 PF1F2 由余弦定理，可得6 ， c23 a2， b2 c2 a22 a2 ，所以双曲线的渐近线方程为4a2 2c2 2a224a2c 32 ba 2y x，故选 D220(2018山西太原五中月考)已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右x2a2 y2b2焦点，过 F1的直线 l与双曲线的左支交于点 A，与右支交于点 B，若| AF1|2 a， F1AF2，则 ( )23 S AF1F2S ABF2A1 B C D12 13 23答案 B解析 如图所示，由双曲线定义可知| AF
16、2| AF1|2 a又| AF1|2 a，所以|AF2|4 a，因为 F1AF2 ，所以 S23AF1F2 |AF1|AF2|sin F1AF2 2a4a 2 a2设| BF2| m，由双曲线定义12 12 32 3可知| BF1| BF2|2 a，所以| BF1|2 a| BF2|，又知| BF1|2 a| BA|，所以|BA| BF2|又知 BAF2 ，所以 BAF2为等边三角形，边长为 4a，所以 S3ABF2 |AB|2 (4a)24 a2，所以 ，故选 B34 34 3 S AF1F2S ABF2 23a243a2 1221(2018广东六校联考)已知点 F为双曲线 E： 1( a0
17、， b0)的右焦点，直x2a2 y2b2线 y kx(k0)与 E交于不同象限内的 M， N两点，若 MF NF，设 MNF ，且 ， ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )126A ， B2， 12 2 6 3C2， D ， 12 6 2 39答案 D解析 如图，设左焦点为 F，连接 MF， NF，令| MF| r1，| MF| r2，则|NF| MF| r2，由双曲线定义可知 r2 r12 a ，点 M与点 N关于原点对称，且MF NF，| OM| ON| OF| c， r r 4 c2 ，由得 r1r22( c2 a2)，又知21 2S MNF2 S MOF r1r22 c2sin2 ，
18、 c2 a2 c2sin2 ， e2 ，又12 12 11 sin2 ， ，126sin2 ， ， e2 2，( 1) 2又 e1， e ， 1，故12 32 11 sin2 3 2 3选 D22(2018河北名校名师俱乐部二调)已知 F1， F2分别是双曲线 x2 1( b0)的左、y2b2右焦点， A是双曲线上在第一象限内的点，若| AF2|2 且 F1AF245，延长 AF2交双曲线的右支于点 B，则 F1AB的面积等于_答案 4解析 由题意知 a1，由双曲线定义知|AF1| AF2|2 a2，| BF1| BF2|2 a2，| AF1|2| AF2|4，| BF1|2| BF2|由题意
19、知| AB| AF2| BF2|2| BF2|，| BA| BF1|， BAF1为等腰三角形， F1AF245， ABF190， BAF1为等腰直角三角形| BA| BF1| |AF1| 42 S22 22 210F1AB |BA|BF1| 2 2 412 12 2 2一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019河北武邑中学月考)已知 mR，直线 l： y x m与双曲线C： 1( b0)恒有公共点x22 y2b2(1)求双曲线 C的离心率 e的取值范围；(2)若直线 l过双曲线 C的右焦点 F，与双曲线交于 P， Q两点，并且满足 ，求FP 15FQ 双曲线 C的方程
20、解 (1)联立Error!消去 y，整理得( b22) x24 mx2( m2 b2)0当 b22， m0 时，易知直线 l是双曲线 C的一条渐近线，不满足题意，故 b22，易得 e 2当 b22 时，由题意知 16 m28( b22)( m2 b2)0，即 b22 m2，故 b22，则 e2 2， e c2a2 a2 b2a2 2 b22 2综上可知， e的取值范围为( ，)2(2)由题意知 F(c，0)，直线 l： y x c，与双曲线 C的方程联立，得Error!消去 x，化简得( b22) y22 cb2y b2c22 b20，当 b22 时，易知直线 l平行于双曲线 C的一条渐近线，
21、与双曲线 C只有一个交点，不满足题意，故 b22设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，即Error!因为 ，所以 y1 y2， FP 15FQ 15由可得 y1 ， y2 ，代入整理得 5c2b29( b22)( c22)， cb23b2 2 5cb23b2 2又 c2 b22，所以 b27所以双曲线 C的方程为 1x22 y27112(2018惠州月考)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线的方程为 yx2a2 y2b2x，右焦点 F到直线 x 的距离为 3a2c 32(1)求双曲线 C的方程；(2)斜率为 1且在 y轴上的截距大于 0的直线 l与双曲线 C相交于 B，
22、D两点，已知A(1，0)，若 1，证明：过 A， B， D三点的圆与 x轴相切DF BF 解 (1)依题意有 ， c ，ba 3 a2c 32 a2 b2 c2， c2 a， a1， c2， b23，双曲线 C的方程为 x2 1y23(2)证明：设直线 l的方程为 y x m(m0)， B(x1， x1 m)， D(x2， x2 m)， BD的中点为 M，由Error! 得 2x22 mx m230， x1 x2 m， x1x2 ，m2 32又 1，DF BF 即(2 x1)(2 x2)( x1 m)(x2 m)1， m0(舍)或 m2， x1 x22， x1x2 ， M点的横坐标为 1，72
23、 x1 x22 (1 x1)(1 x2)( x12)( x22)DA BA 52 x1x2 x1 x25720， AD AB，过 A， B， D三点的圆以点 M为圆心， BD为直径，点 M的横坐标为 1， MA x轴，| MA| |BD|，12过 A， B， D三点的圆与 x轴相切3(2019山西太原一中月考)已知直线 l： y x2 与双曲线C： 1( a0， b0)相交于 B， D两点，且 BD的中点为 M(1，3)x2a2 y2b2(1)求双曲线 C的离心率；(2)设双曲线 C的右顶点为 A，右焦点为 F，| BF|DF|17，试判断 ABD是否为直12角三角形，并说明理由解 (1)设
24、B(x1， y1)， D(x2， y2)把 y x2 代入 1，x2a2 y2b2并整理得( b2 a2)x24 a2x4 a2 a2b20，则 x1 x2 ， x1x2 4a2b2 a2 4a2 a2b2b2 a2由 M(1，3)为 BD的中点，得 1，x1 x22 2a2b2 a2即 b23 a2，故 c 2 a，a2 b2所以双曲线 C的离心率 e 2ca(2)由(1)得 C的方程为 1，x2a2 y23a2A(a，0)， F(2a，0)， x1 x22， x1x2 0， b0)上一x2a2 y2b213点， M， N分别是双曲线 E的左、右顶点，直线 PM， PN的斜率之积为 15(1
25、)求双曲线的离心率；(2)过双曲线 E的右焦点且斜率为 1的直线交双曲线于 A， B两点， O为坐标原点， C为双曲线上一点，满足 ，求 的值OC OA OB 解 (1)由点 P(x0， y0)(x0 a)在双曲线 1 上，有 1x2a2 y2b2 x20a2 y20b2由题意有 ，y0x0 a y0x0 a 15可得 a25 b2， c2 a2 b26 b2， e ca 305(2)联立Error!得 4x210 cx35 b20设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!设 ( x3， y3)， ，即Error!OC OC OA OB 又 C为双曲线上一点，即 x 5 y 5 b2，有23 23(x 1 x2)25( y 1 y2)25 b2化简得 2(x 5 y )( x 5 y )2 (x1x25 y1y2)5 b221 21 2 2又 A(x1， y1)， B(x2， y2)在双曲线上，所以 x 5 y 5 b2， x 5 y 5 b221 21 2 2由式又有 x1x25 y1y2 x1x25( x1 c)(x2 c)4 x1x25 c(x1 x2)5 c210 b2，式可化为 24 0，解得 0 或 414
