1、1考点测试 24 解三角形的应用一、基础小题1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 之间的关系是( )A B C 90 D 180答案 B解析 根据仰角与俯角的含义，画图即可得知2在 ABC 中，若 A， B， C 成等差数列，且 AC ， BC2，则 A( )6A135 B45C30 D45或 135答案 B解析 因为 A， B， C 成等差数列，所以 B60由正弦定理，得 ，则2sinA 6sin60sinA 又 BC AC，所以 A B，故 A45故选 B223海上有三个小岛 A， B， C，测得 BAC135， AB6， AC3 ，若在 B， C 两岛
2、2的连线段之间建一座灯塔 D，使得灯塔 D 到 A， B 两岛距离相等，则 B， D 间的距离为( )A3 B C D310 10 13 2答案 B解析 由题意可知， D 为线段 AB 的垂直平分线与 BC 的交点，设 BD t由余弦定理可得 BC26 2(3 )2263 cos BAC90，解得 BC 3 由 cos ABC 2 2 103t，解得 t 故选 B62 3102 32226310 104一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的2M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为( )A 海里/小时 B34 海
3、里/小时1762 6C 海里/小时 D34 海里/小时1722 2答案 A解析 如图所示，在 PMN 中， ， MN 34 vPMsin45 MNsin120 6832 6 (海里/小时)故选 AMN4 17625在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c若 ，则sinAa cosBb cosCcABC 的形状为( )A等边三角形B等腰直角三角形C有一个角为 30的直角三角形D有一个角为 30的等腰三角形答案 B解析 由正弦定理，得 ，又 ，两式相除，得sinAa sinBb sinCc sinAa cosBb cosCc1tan Btan C，所以 B C45所以
4、A90，故 ABC 为等腰直角三角形故选 B6如图所示，为了测量某湖泊两侧 A， B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A， B 不共线的一点 C( ABC 的角 A， B， C 所对的边分别记为 a， b， c)，然后给出了三种测量方法：测量 A， C， b；测量 a， b， C；测量 A， B， a，则一定能确定 A， B 间的距离的所有方案的序号为( )A B C D答案 D解析 由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出 AB故选 D37一艘海监船在某海域实施巡航监视，由 A 岛向正北方向行驶 80 海里至 M 处，然后沿东偏南 30方向行驶 50 海里至 N
5、处，再沿南偏东 30方向行驶 30 海里至 B 岛，则3A， B 两岛之间的距离是_海里答案 70解析 依题意画出图形，连接 AN，则在 AMN 中，应用余弦定理可得AN250 280 225080cos60，即 AN70应用余弦定理可得 cos ANM ，所以 sin ANM 在 ANB 中，应用余弦定理可得 AB2(30 )502 702 80225070 17 437 3270 2230 70cos ANB，而 cos ANBcos(150 ANM)cos1503cos ANMsin150sin ANM ，3314所以 AB 70 3032 702 23037033148某中学举行升旗仪
6、式，在坡度为 15的看台 E 点和看台的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为 30和 60，量得看台坡脚 A 点到 E 点在水平线上的射影 B 点的距离为 10 m，则旗杆的高是_m答案 10(3 )3解析 由题意得 DEA45， ADE30， AE ，所以 AD ABcos15 AEsin45sin30，因此 CD ADsin60 sin6010(3 )2ABcos15 210cos45 30 3二、高考小题9(2016全国卷)在 ABC 中， B ， BC 边上的高等于 BC，则 cosA( ) 4 13A B C D31010 1010 1010 31010答案 C4解析 解法一：
7、过 A 作 AD BC，垂足为 D，由题意知 AD BD BC，则 CD BC， AB13 23BC， AC BC，在 ABC 中，由余弦定理的推论可知， cos BAC 23 53 AB2 AC2 BC22ABAC 故选 C29BC2 59BC2 BC2223BC53BC 1010解法二：过 A 作 AD BC，垂足为 D，由题意知 AD BD BC，则 CD BC，在 Rt ADC13 23中， AC BC，53sin DAC ，cos DAC ，又因为 B ，255 55 4所以cos BACcos cos DACcos sin DACsin ( DAC 4) 4 4 55 22 255
8、 22故选 C101010(2018北京高考)若 ABC 的面积为 (a2 c2 b2)，且 C 为钝角，则34 B_； 的取值范围是_ca答案 (2，) 3解析 依题意有 acsinB (a2 c2 b2) 2accosB，则12 34 34tanB ，0 ，ca sinCsinA sin23 AsinA 12 3cosA2sinA 12 32 1tanA 23 2又 A0，0 ，故 21tanA 3 ca12 32 35故 的取值范围为(2，)ca11(2018江苏高考)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， ABC120， ABC 的平分线交 AC 于点 D，
9、且 BD1，则 4a c 的最小值为_答案 9解析 解法一：依题意画出图形，如图所示易知 S ABD S BCD S ABC，即 csin60 asin6012 12 acsin120， a c ac， 1，12 1a 1c4 a c(4 a c) 5 9，当且仅当 ，即 a ， c3 时取“” 1a 1c ca 4ac ca 4ac 32解法二：作 DE CB 交 AB 于 E， BD 为 ABC 的平分线， ，BABC ADDC ca DE CB， ，ADAC AEAB DEBC ca c ， BE aa cBA ED ca cBC BD aa cBA ca cBC 2，BD2 aa cB
10、A ca cBC 1 2 22 | | | ，aa cBA ca cBC aa c ca cBA BC 121 ， ac a c， 1，ac2a c2 1a 1c64 a c(4 a c) 5 9，当且仅当 ，即 a ， c3 时取“” 1a 1c ca 4ac ca 4ac 32解法三：以 B 为原点， BD 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(1,0)， AB c， BC a， A ， c， C ， ac2 32 a2 32 A， D， C 三点共线， ，AD DC 1 a c 10，c2 32 32 a2 ac a c， 1，1a 1c4 a c(4 a c) 5 9
11、，当且仅当 ，即 a ， c3 时取“” 1a 1c ca 4ac ca 4ac 3212(2015全国卷)在平面四边形 ABCD 中， A B C75， BC2，则 AB的取值范围是_答案 ( ， )6 2 6 2解析 解法一：如图所示，因为 A B C75，所以 D135因为 BC2，所以当点 D 与点 C 重合时，由正弦定理可得 ，解得 AB ABsin30 BCsin75 6 2当点 D 与点 A 重合时，由正弦定理可得 ，解得 AB ABsin75 BCsin30 6 27因为 ABCD 为平行四边形，所以 AB( ， )6 2 6 2所以 AB 的取值范围是( ， )6 2 6 2
12、解法二：如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E，过点 C 作 CF AD 交 AB 于点 F，则BFAD，所以 AD3(2)在 ABD 中， ，BDsin BAD ABsin ADB又由 cos BAD ，得 sin BAD ，223 13所以 sin ADB ，63则 sin ADCsin( ADB)sin ADB 63因为 ADB DAC C C， 2所以 cosC 63在 Rt ADC 中，cos C ，63则 tanC ，所以 AC3 22 ADAC 3AC 2则 ABC 的面积 S ABACsin BAC12 3 3 6 12 2 2 223 26(2018郑州质检)在 ABC
13、 中，已知角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且2ccosB2 a b14(1)求角 C 的大小；(2)若 ABC 的面积 S c，求 ab 的最小值32解 解法一：(1)因为 2ccosB2 a b，所以 2c 2 a b，a2 c2 b22ac化简得 a2 b2 c2 ab，所以 cosC a2 b2 c22ab 12又因为 0C180，所以 C120(2)因为 S absinC ab c，即 c ab12 34 32 12代入 a2 b2 c2 ab，得 a2b2 ab a2 b22 ab，14解得 ab12，所以 ab 的最小值为 12，当且仅当 a b 时，等号成立解法
14、二：(1)因为 2ccosB2 a b， 2 R，所以asinA bsinB csinC2sinCcosB2sin Asin B，即 2sinCcosB2sin( B C)sin B，所以 2sinCcosB2sin BcosC2cos BsinCsin B即 sinB(2cosC1)0，因为 sinB0，解得 cosC 12又因为 0C180，所以 C120(2)因为 S absinC ab c，即 c ab12 34 32 12又因为 c2 a2 b22 abcosC a2 b2 ab，所以 a2b2 a2 b2 ab3 ab，解得 ab12，14所以 ab 的最小值为 12，当且仅当 a b 时，等号成立15
