1、1第四章 数列考点测试 31 等比数列高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值 5 分、12 分，中、低等难度考纲研读1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系一、基础小题1在等比数列 an中，已知 a11， a48，则 a5( )A16 B16 或16C32 D32 或32答案 A解析 由 a4 a1q3，则 q2，所以 a5 a4q16故选 A2在等比数列 an中，已知 a7a125，则 a8a9a10a11( )A10 B25 C50 D7
2、5答案 B解析 因为 a7a12 a8a11 a9a105，所以 a8a9a10a115 225故选 B3已知等比数列 an的公比为正数，且 a2a69 a4， a21，则 a1的值为( )A3 B3 C D13 13答案 D解析 设数列 an的公比为 q，由 a2a69 a4，得 a2a2q49 a2q2，解得 q29，所以q3 或 q3(舍去)，所以 a1 故选 Da2q 134已知等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b，则 ( )abA3 B1 C1 D3答案 A2解析 等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b， a1 S1 a b， a2 S2 S13 a b a b
3、2 a， a3 S3 S29 a b3 a b6 a，等比数列 an中， a a1a3，(2 a)2( a b)6a，解得 3故选 A2ab5若等比数列 an满足 anan1 16 n，则公比为( )A2 B4 C8 D16答案 B解析 由 anan1 a q16 n0 知 q0，又 q2 16，所以2nan 1an 2anan 1 16n 116nq4故选 B6设 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若 3，则 ( )S4S2 S6S4A2 B C D1 或 273 310答案 B解析 设 S2 k，则 S43 k，由数列 an为等比数列(易知数列 an的公比 q1)，得 S2， S4 S2
4、， S6 S4为等比数列，又S2 k， S4 S22 k， S6 S44 k， S67 k， ，故选 BS6S4 7k3k 737设 an是由正数组成的等比数列，公比 q2，且 a1a2a3a302 30，则a3a6a9a30( )A2 10 B2 20 C2 16 D2 15答案 B解析 因为 a1a2a3 a ， a4a5a6 a ， a7a8a9 a ， a28a29a30 a ，所以32 35 38 329a1a2a3a4a5a6a7a8a9a28a29a30( a2a5a8a29)32 30所以 a2a5a8a292 10则a3a6a9a30( a2q)(a5q)(a8q)(a29q
5、)( a2a5a8a29)q102 102102 20，故选 B8在数列 an中，已知 a11， an2( an1 an2 a2 a1)(n2， nN *)，则这个数列的前 4 项和 S4_答案 27解析 由已知 n2 时， an2 Sn1 ， an1 2 Sn， an1 an2 an，即 an1 3 an(n2)， anError! S41261827二、高考小题9(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的
6、3频率的比都等于 若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( )122A f B f C f D f32 322 1225 1227答案 D解析 由题意知，十三个单音的频率构成首项为 f，公比为 的等比数列，设该等比122数列为 an，则 a8 a1q7，即 a8 f，故选 D122710(2018浙江高考)已知 a1， a2， a3， a4成等比数列，且 a1 a2 a3 a4ln (a1 a2 a3)若 a11，则( )A a1a3， a2a4 D a1a3， a2a4答案 B解析 设 f(x)ln x x(x0)，则 f( x) 1 ，令 f( x)0，得 01， f(x)在(0，
7、1)上为增函数，在(1，)上为减函数， f(x) f(1)1，即有 ln x x1从而 a1 a2 a3 a4ln (a1 a2 a3) a1 a2 a31， a41，公比 q0，矛盾若 q0，ln (a1 a2 a3)ln a10，也矛盾10， a1a3同理， q2a2故选 B11(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏答案 B解析 由题意可知，由上到下灯的盏
8、数 a1， a2， a3， a7构成以 2 为公比的等比数列， S7 381， a13故选 Ba11 271 212(2017北京高考)若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1 b11， a4 b48，则 _a2b2答案 1解析 设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为q a1 b11， a4 b48，Error! Error!4 a22， b22 1a2b2 2213(2017江苏高考)等比数列 an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn已知S3 ， S6 ，则 a8_74 634答案 32解析 设等比数列 an的公比为 q当 q1 时， S33 a1， S66 a12 S3，
9、不符合题意， q1，由题设可得Error!解得Error! a8 a1q7 27321414(2016全国卷)设等比数列 an满足 a1 a310， a2 a45，则 a1a2an的最大值为_答案 64解析 设 an的公比为 q，于是 a1(1 q2)10，a1(q q3)5，联立得 a18， q ，12 an2 4 n， a1a2an2 321(4 n)2 n2 n2 2 2 664， a1a2an的最大值为 6412 72 12(n 72) 498三、模拟小题15(2018呼和浩特调研)已知等比数列 an的公比 q0，且 a5a74 a ， a21，则24a1( )A B C D212 2
10、2 2答案 B解析 因为 an是等比数列，所以 a5a7 a 4 a ，所以 a62 a4， q2 2，又26 24a6a4q0，所以 q ， a1 ，故选 B2a2q 2216(2018安徽皖江名校联考)已知 Sn是各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和，若 a2a416， S37，则 a8( )A32 B64 C128 D256答案 C5解析 a2a4 a 16， a34(负值舍去)，23 a3 a1q24， S37， S2 3，3 q24 q 40，解得 q 或a11 q21 q 23q2， an0， q2， a11， a82 7128故选 C17(2018长沙统考)设首项为 1，公
11、比为 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则下列23结论正确的是( )A Sn43 an B Sn32 anC Sn3 an2 D Sn2 an1答案 B解析 由题意， an n1 ， Sn 31 n32 n1 ，所以 Sn32 an，故选231 23n1 23 23 23B18(2018唐山期末)在数列 an中，已知 a11， an1 2 an， Sn为 an的前 n 项和，若 Sn 为等比数列，则 ( )A1 B1 C2 D2答案 B解析 由 a11， an1 2 an，得 a22， a34，所以S1 a11， S2 S1 a23， S3 S2 a37而 Sn 为等比数列，所以(3 )
12、2(1 )(7 )，解得 1故选 B19(2019陕西西安八校联考)设公比为 q 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若S23 a22， S43 a42，则 q_答案 或132解析 公比为 q 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且S23 a22， S43 a42， S4 S2 a4 a33 a43 a2，即 2q2 q30， q 或13220(2018乌鲁木齐一诊)设正项等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则以 S1， S3， S4为前三项的等差数列的第 8 项与第 4 项之比为_答案 5解析 设正项等比数列 an的公比为 q当 q1 时， S1 a1， S33 a1， S44 a
13、1显然不符合题意，所以 q1因为 S1， S3， S4为等差数列的前三项，所以 S4 S3 S3 S1，即a4 a3 a2，得 a2q2 a2q a2，所以 q2 q1，解得 q (负值舍去)所以该等差数1 526列的第 8 项与第 4 项之比为 S1 7S3 S1S1 3S3 S1 a1 7a2 a3a1 3a2 a3 a1 7a1q 7a1q2a1 3a1q 3a1q2 1 7q 7q21 3q 3q2 1 7q 7q 11 3q 3q 1 7q 43q 2 5一、高考大题1(2018全国卷)已知数列 an满足 a11， nan1 2( n1) an，设 bn ann(1)求 b1， b2
14、， b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求 an的通项公式解 (1)由条件可得 an1 an2n 1n将 n1 代入，得 a24 a1，而 a11，所以 a24将 n2 代入，得 a33 a2，所以 a312从而 b11， b22， b34(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列由题设条件可得 ，即an 1n 1 2annbn1 2 bn，又 b11，所以 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得 2 n1 ，所以 an n2n1 ann2(2018全国卷)等比数列 an中， a11， a54 a3(1)求 an的通项公式；(2)记 Sn为 an
15、的前 n 项和若 Sm63，求 m解 (1)设 an的公比为 q，由题设得 an qn1 由已知得 q44 q2，解得 q0(舍去)， q2 或 q2故 an(2) n1 或 an2 n1 (2)若 an(2) n1 ，则 Sn 1 2n3由 Sm63 得(2) m188，此方程没有正整数解若 an2 n1 ，则 Sn2 n1由 Sm63 得 2m64，解得 m6综上， m63(2017全国卷)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为Tn， a11， b11， a2 b227(1)若 a3 b35，求 bn的通项公式；(2)若 T321，求 S3解 设 an的公
16、差为 d， bn的公比为 q，则 an1( n1) d， bn qn1 由 a2 b22 得 d q3(1)由 a3 b35 得 2d q26联立和解得Error!(舍去)或Error!因此 bn的通项公式为 bn2 n1 (2)由 b11， T321 得 q2 q200解得 q5 或 q4当 q5 时，由得 d8，则 S321当 q4 时，由得 d1，则 S36二、模拟大题4(2018陕西质检)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn4 an3(1)证明：数列 an是等比数列；(2)若数列 bn满足 bn1 an bn(nN *)，且 b12，求数列 bn的通项公式解 (1)证明：当
17、n1 时， a14 a13，解得 a11当 n2 时，an Sn Sn1 4 an4 an1 ，整理得 an an1 ，43又 a110， an是首项为 1，公比为 的等比数列43(2) an n1 ，由 bn1 an bn(nN *)，得43bn1 bn n1 当 n2 时，可得 bn b1( b2 b1)( b3 b2)( bn bn1 )2431 43n 11 433 n1 1，当 n1 时，上式也成立，所以数列 bn的通项公式为43bn3 n1 1435(2018湖北八校第一次联考)已知数列 an满足a11， a24， an2 4 an1 4 an(1)求证： an1 2 an是等比数
18、列；(2)求 an的通项公式解 (1)证明：由 an2 4 an1 4 an得 an2 2 an182 an1 4 an2( an1 2 an)2 2(an2 an1 )2 n(a22 a1)0， 2， an1 2 an是等比数列an 2 2an 1an 1 2an(2)由(1)可得 an1 2 an2 n1 (a22 a1)2 n， ，an 12n 1 an2n 12 是首项为 ，公差为 的等差数列，an2n 12 12 ，则 an n2n1 an2n n26(2019江西南昌调研)已知数列 an中， a11， anan1 n，记 T2n为 an的前(12)2n 项的和， bn a2n a2
19、n1 ， nN *(1)判断数列 bn是否为等比数列，并求出 bn；(2)求 T2n解 (1) anan1 n，(12) an1 an2 n1 (12) ，即 an2 anan 2an 12 12 bn a2n a2n1 ， bn 1bn a2n 2 a2n 1a2n a2n 1 12a2n 12a2n 1a2n a2n 1 12 bn是公比为 的等比数列12 a11， a1a2 ，12 a2 b1 a1 a2 12 32 bn n1 32 (12) 32n(2)由(1)可知 an2 an，12 a1， a3， a5，是以 a11 为首项，以 为公比的等比数列； a2， a4， a6，是以 a2129为首项，以 为公比的等比数列12 12 T2n( a1 a3 a2n1 )( a2 a4 a2n) 3 1 (12)n1 12121 (12)n1 12 32n
