1、1第四节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax By C0 不包括边界直线Ax By C0直线 Ax By C0 某一侧的所有点组成的平面区域 包括边界直线不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量 x， y 组成的不等式(组)线性约束条件 由 x， y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数 关于 x， y 的函数解析式，如 z2 x3 y 等线性目标函数 关于 x， y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解( x， y)可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取
2、得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题小题体验1下列各点中，不在 x y10 表示的平面区域内的是( )A(0,0) B(1,1)C(1,3) D(2，3)答案：C2(教材习题改编)不等式组Error!表示的平面区域是( )2答案：B3(2018浙江名校联考)若 x， y 满足Error!则不等式组表示的平面区域的面积为_， z y x 的最大值是_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得M(5,10)， N(5，2)，所以 S OMN (102)530.12由 z y x，得 y x z，作出直线 y x，平移直线 y x，
3、易知当直线 z y x 经过可行域内的点 M(5,10)时，目标函数 z y x 取得最大值，且 zmax1055.答案：30 51画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax by c0( a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有3在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b0 时，截距 取zb zb最大值时， z 也取最大值；截距 取最小值时， z 也取最小值；当 b0 时，截距 取最大值zb zb时， z 取最小值；截距 取最小值时， z 取最大值zb小题纠偏1若用阴影
4、表示不等式组Error!所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为_答案：152(2018全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x2 y 的最大值为_3解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由 z3 x2 y，得 y x .32 z2作直线 l0： y x.32平移直线 l0，当直线 y x 过点(2,0)时，32 z2z 取得最大值， zmax32206.答案：6考 点 一 二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1(易错题)若满足条件Error!的整点( x， y)恰有 9 个，其中整点
5、是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为( )A3 B2C1 D0解析：选 C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a1 时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共 5 个整点2(2019嘉兴高三基础测试)若不等式组Error!表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数 a 的取值范围是( )A. B.( ，34) (34， )C. D.( ，32) (32， )解析：选 C 如图所示，当直线 x y a 在直线 x y (该直线32经过直线 x y0 和直线 3x y3
6、 的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此 a ，故选 C.323(2018浙江名校联考)若实数 x， y 满足Error!则点 P(x y， x y)形成的区域的面积为_，能覆盖此区域(含边界)的圆的最小半径为_4解析：令Error!得Error!则原不等式组可化为Error!所以点 P 形成的区域如图中阴影部分所示，易知 A(2,0)， B， C(3，1)(1， 13)设点 B 到 AC 的距离为 d，则 S ABC |AC|d .所求半径最小的12 12 2 |1 13 2|2 23圆即 ABC 的外接圆， AC， AB 的垂直平分线分别为直线 y x3，
7、y3 x ，求得交点133坐标，即圆心坐标为 ，所以半径为 .(116， 76) 526答案： 23 526谨记通法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域” ，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点考 点 二 求 目 标 函 数 的 最 值 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、
8、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题 题点全练角度一：求线性目标函数的最值1(2018全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z x y 的最大值为_解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示由图可知当直线 x y z 过点 A 时 z 取得最大值由Error!得点 A(5,4)， zmax549.5答案：9角度二：求非线性目标函数的最值2(2018温州模拟)若实数 x， y 满足约束条件Error!则约束条件内的 y 的最大值为_，目标函数 的取值范围为_y 1x 2解
9、析：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由Error!可知 A ，所以 y 的最大值为 .易知 的几何意义是可(12， 32) 32 y 1x 2行域内的点与点(2，1)所在直线的斜率，(2,0)与(2，1)两点连线的斜率为 ，所14以 的最小值为 ，由图可知 的最大值为直线 x y10 的斜率 1，所以 的取y 1x 2 14 y 1x 2 y 1x 2值范围为 .14， 1答案： 32 14， 1角度三：线性规划中的参数问题3(2018绍兴考前冲刺)已知实数 x， y 满足约束条件Error!若目标函数 z x ay 仅在点(3,0)处取得最大值，则实数 a 的取值范围为( )A
10、0,2) B(0,2)C(，2) D(2，)解析：选 C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当 a0 时，目标函数为 z x，此时目标函数仅在点(3，0)处取得最大值；当 a0 时， y ，若使 z 取得最大值，则xa za需 取得最小值，数形结合知目标函数仅在点(3,0)处取得最大值；当 a0 时，zay ，要使目标函数仅在(3,0)处取得最大值，则需 ，即 0 a2.xa za 1a 12综上，实数 a 的取值范围为(，2)通法在握1求目标函数的最值 3 步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将 l 平行移动，以确定
11、最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值62常见的 3 类目标函数(1)截距型：形如 z ax by.求这类目标函数的最值常将函数 z ax by 转化为直线的斜截式： y x ，通过ab zb求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值zb(2)距离型：形如 z( x a)2( y b)2.(3)斜率型：形如 z .y bx a提醒 注意转化的等价性及几何意义演练冲关1(2018湖州五校高三模拟)设实数 x， y 满足约束条件Error!则 z2 x y 的取值范围为( )A(6，1) B(8，2)C(1,8) D(2,6)解析：选 D 法一
12、：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示作出直线 y2 x，平移该直线，可知直线 z2 x y 在点B(1,0)处取得最小值2，在点 C(3,0)处取得最大值 6，所以z2 x y 的取值范围为(2,6)法二：三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(1，0)，(3,0)，分别代入z2 x y 求值，得 0，2,6，所以 z2 x y 的取值范围为(2,6)2(2018杭州七校联考)已知 x， y 满足约束条件Error!若 z2 x y 的最大值为 8，则实数 a 的值为( )A2 B1C1 D2解析：选 C 将目标函数变形为 y2 x z，当 z 取最大值时，直线的纵截距最大
13、，易知直线 x y50 与 2x y10 的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值 8.因为直线 ax2 y10 恒过定点 ，所以要使目标函数能取到最大值，需1 2，即2 a4.作出不等式组(0，12) a2所表示的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数在 B 处取得最大值，代入(92 a， 5a 12 a)目标函数得 2 8，解得 a1.92 a 5a 12 a3(2019宁波高三模拟)若 x， y 满足Error!则不等式组表示的平面区域的面积为_， z( x1) 2( y1) 2的最小值为_7解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则所求平面区域的面积为510(2)30.12
14、z( x1) 2( y1) 2表示可行域内的点( x， y)与点 M(1，1)之间的距离的平方，数形结合易知， z( x1) 2( y1) 2的最小值为点 M(1,1)到直线 2x y0 的距离 d 的平方，即 zmin .|2 1 1|22 1 2 35 95答案：30 95考 点 三 线 性 规 划 的 实 际 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领(2016全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用
15、 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元解析：设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，由已知可得约束条件为Error!即 Error!目标函数为 z2 100 x900 y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分作直线 2 100x900 y0，即 7x3 y0，当直线经过点 M 时， z 取得最大值，联立Error!解得 M(60,100)则 zmax2 10060900100216 000
16、(元)答案：216 000由题悟法1解线性规划应用题 3 步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案82求解线性规划应用题的 3 个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x， y 的取值范围，特别注意分析x， y 是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式即时应用某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄
17、瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：每亩年产量 每亩年种植成本 每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A50,0 B30,20C20,30 D0,50解析：选 B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x， y 亩，则总利润z40.55 x60.3 y1.2 x0.9 y x0.9 y.此时 x， y 满足条件Error!画出可行域如图，得最优解为 A(30,20) 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1不等式组Error!所表示的平面区域的面积等于( )
18、A. B.32 23C. D.43 349解析：选 C 平面区域如图所示解Error! 得 A(1,1)，易得 B(0,4)， C ，(0，43)|BC|4 .43 83所以 S ABC 1 .12 83 432不等式( x2 y1)( x y3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选 C ( x2 y1)( x y3)0Error!或 Error!画出图形可知选 C.3(2019杭州高三质检)若实数 x， y 满足不等式组Error!设 z x2 y，则( )A z0 B0 z5C3 z5 D z5解析：选 D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线 x
19、2 y0，平移该直线，易知当直线过点 A(3,1)时， z 取得最小值，zmin3215，即 z5.4点(2， t)在直线 2x3 y60 的上方，则 t 的取值范围是_解析：因为直线 2x3 y60 的上方区域可以用不等式 2x3 y60 表示，所以由点(2， t)在直线 2x3 y60 的上方得43 t60，解得 t .23答案： (23， )5(2019温州四校联考)若实数 x， y 满足约束条件Error!则可行域的面积为_， z2 x y 的最大值为_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由Error! 得Error!10所以 A ，易得| BC|4，(43， 23)所以
20、可行域的面积 S 4 .12 43 83由图可知，当目标函数 z2 x y 所表示的直线过点 A 时， z 取得最大值，且(43， 23)zmax2 .43 23 103答案： 83 103 二保高考，全练题型做到高考达标1(2018金华四校联考)已知实数 x， y 满足Error!如果目标函数 z x y 的最小值为1，则实数 m 等于( )A7 B5C4 D3解析：选 B 画出 x， y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线 y2 x1 与直线 x y m 的交点使目标函数 z x y 取得最小值，由Error!解得 x ， y ，代入 x y1，得m 13 2m 13 1， m5.选
21、 B.m 13 2m 132在平面直角坐标系中，若不等式组Error!( a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则 a 的值为( )A5 B1C2 D3解析：选 D 因为 ax y10 的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 ABC.由题意可求得 A(0,1)， B(1,0)， C(1， a1)， S ABC2， BC| a1|， BC 边上的高为 AD1， S ABC |a1|12，解得 a5 或 3，12当 a5 时，可行域不是一个封闭区域，当 a3 时，满足题意，选 D.3(2017浙江新高考研究联盟)过点 P(1,1)的光线经
22、 x 轴上点 A 反射后，经过不等式组Error! 所表示的平面区域内某点(记为 B)，则| PA| AB|的取值范围是( )A(2 ，5) B2 ，52 211C2,5 D2 ，5)2解析：选 B 不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示，点 P 关于 x 轴的对称点为 P1(1，1)，| PA| AB| P1B|，过点 P1作直线x y20 的垂线，则| P1B|的最小值为 2 .| 1 1 2|2 2由Error! 得 B0(2,3)，则| P1B|的最大值为| P1B0| 5. 2 1 2 3 1 2故 2 | PA| AB|5.24(2018浙江名校联考)设 x， y
23、满足Error!若 z2 x y 的最大值为 ，则 a 的值为( )72A B072C1 D 或 172解析：选 C 法一：由 z2 x y 存在最大值，可知 a1，显然 a0 不符合题意作出不等式组所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中阴影部分所示，作直线 2x y0，平移该直线，易知，当平移到过直线 x y20 与 ax y a0 的交点时， z 取得最大值，由Error! 得Error!把Error!代入 2x y ，得 a1.72法二：由 z2 x y 存在最大值，可知 a1，显然 a0 不符合题意作出不等式组所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中阴影部分所示，作直线 2x y0，
24、平移该直线，易知，当平移到过直线 x y20 与 ax y a0 的交点时， z 取得最大值 ，由Error!得Error!72把Error! 代入 ax y a0，得 a1.5(2018余杭地区部分学校测试)若函数 y f(x)的图象上的任意一点 P 的坐标为(x， y)，且满足条件| x| y|，则称函数 f(x)具有性质 S，那么下列函数中具有性质 S 的12是( )A f(x)e x1 B f(x)ln( x1)C f(x)sin x D f(x)| x21|解析：选 C 作出不等式| x| y|所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数 f(x)具有性质 S，则函数 f(x)的图象必
25、须完全分布在阴影区域和部分，易知 f(x)e x1 的图象分布在区域和部分， f(x)ln( x1)的图象分布在区域和部分， f(x)sin x的图象分布在区域和部分， f(x)| x21|的图象分布在、和部分，故选 C.6当实数 x， y 满足Error!时，1 ax y4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1 ax y4 恒成立，结合图可知， a0 且在 A(1,0)处取得最小值，在 B(2,1)处取得最大值，所以 a1，且 2a14，故 a 的取值范围是 .1，32答案： 1，327(2018金丽衢十二校联考)若实数 x， y 满足
26、Error!则 的取值范围为y 1x 1_解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，的几何意义为可行域内一点( x， y)与点(1，1)连线的斜率，y 1x 1故由图可知， min ， max ，故 的(y 1x 1) 0 13 1 14 (y 1x 1) 3 14 1 45 y 1x 1取值范围为 .14， 45答案： 14， 458(2018金华十校联考)已知实数 x， y 满足Error!当 m2 时， z| x5 y6|的最大值为_；当 m_时， x， y 满足的不等式组所表示的平面区域的面积为 30.解析：作出Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示，13易得 A
27、(3,3)， B ， C(0,2)，(53， 13)令 a x5 y6，即 y x a，15 65 15显然当直线过 A(3,3)时， a 取得最大值，此时 a12，当直线过 B 时， a 取得最小值，此时 a ，(53， 13) 83又 z| a|，所以 z 的最大值为 12.由方程组Error!得 A ，(153m 1， 6m 33m 1)由方程组Error!得 B ，(5m 1， 2m 3m 1)如图，易得 D(0，3)，所以 S A B C S A CD S B CD 5 30，即 9m26 m80，所以12 ( 153m 1 5m 1)m 或 m (舍去)23 43答案：12 239
28、已知 D 是以点 A(4,1)， B(1，6)， C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域 D 的不等式组(2)设点 B(1，6)， C(3,2)在直线 4x3 y a0 的异侧，求 a 的取值范围解：(1)直线 AB， AC， BC 的方程分别为 7x5 y230， x7 y110,4 x y100.原点(0,0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为Error!(2)根据题意有4(1)3(6) a4(3)32 a0，即(14 a)(18 a)0，解得18 a14.故 a 的取值范围是(18,14)10若 x， y 满足约束条件Error!14(1)求
29、目标函数 z x y 的最值；12 12(2)若目标函数 z ax2 y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)， B(0,1)，C(1,0)平移初始直线 x y 0，过 A(3,4)取最小值2，12 12过 C(1,0)取最大值 1.所以 z 的最大值为 1，最小值为2.(2)直线 ax2 y z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知1 2，解得a24 a2.故所求 a 的取值范围为(4,2) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018浙江名校联考)设实数 x， y 满足Error!则 x3 y 的最大值为_；若x24 y2 a 恒
30、成立，则实数 a 的最小值为_解析：作出不等式组Error!所表示的平面区域如图 1 中阴影部分所示，由图 1 可知，当 u x3 y 过点 A(2，2)时， u x3 y 取得最大值 umax2328.令 x x，2 y y，则原不等式组等价于Error!即Error! 作出可行域如图 2 中阴影部分所示，由图 2 可知， x 2 y 2的最大值为原点到点 B(2,4)的距离的平方，易得| OB|22 24 220，所以 a 的最小值为 20.答案：8 202某工厂投资生产 A 产品时，每生产一百吨需要资金 200 万元，需场地 200 m2，可获利润 300 万元；投资生产 B 产品时，每
31、生产一百吨需要资金 300 万元，需场地 100 m2，可获利润 200 万元现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 m2，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数.资金(百万元) 场地(百平方米) 利润(百万元)A 产品 (百吨 ) 2 2 315B 产品 (百吨 ) 3 1 2限制 14 9设生产 A 产品 x 百吨，生产 B 产品 y 百吨，利润为 S 百万元，则约束条件为Error!目标函数 S3 x2 y.作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数 S3 x2 y 变形为y x ，这是斜率为 ，随 S 变化而变化的一组平行直线32 S2 32是直线在 y 轴上的截距S2由图知，使 3x2 y 取得最大值的( x， y)是直线 2x y9 与 2x3 y14 的交点(3.25,2.50)，此时 S33.2522.5014.75.生产 A 产品 325 吨，生产 B 产品 250 吨时，获利最大，且最大利润为 1 475 万元16
