1、18.2.3 正方形,1.正方形的性质 正方形的四条边都 ,四个角都是 ;正方形既是矩形又是菱形,它既有矩形的性质,又有菱形的性质. 2.正方形的判定 (1)有一组邻边 的矩形是正方形. (2)有一个角是 的菱形是正方形. 3.正方形的轴对称性 正方形是轴对称图形,它有 条对称轴,分别是两条 所在的直线和过对边两个 的直线.,相等,直角,相等,直角,四,对角线,中点,探究点一:正方形的性质,【例1】 (2018遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE BE),且EOF=90,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=
2、ON; 【导学探究】 1.证OAM 可得OM=ON.,OBN,(1)证明:因为四边形ABCD是正方形, 所以OA=OB,DAO=45,OBA=45, 所以OAM=OBN=135. 因为EOF=90,AOB=90, 所以AOM=BON, 在OAM与OBN中,AOM=BON,OA=OB,OAM=OBN, 所以OAMOBN,所以OM=ON.,(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长. 【导学探究】 2.作OHAD,求OM的长可得到MN= OM.,(1)在正方形中,证明线段相等,通常证明三角形全等;,(2)在正方形中,计算线段的长度,往往需要借助勾股定理和等腰直角三角形的性质.,【
3、例2】(2018舟山)如图,等边AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且CEF= 45.求证:矩形ABCD是正方形.,探究点二:正方形的判定,【导学探究】 1.要证明矩形ABCD是正方形,只要证明AB= . 2.证明ABEADF,可得 .,AD,AB=AD,证明:因为四边形ABCD是矩形, 所以B=D=C=90. 因为AEF是等边三角形, 所以AE=AF,AEF=AFE=60, 因为CEF=45,所以CFE=CEF=45, 所以AEB=AFD=180-45-60=75, 在ABE与ADF中,B=D,AEB=AFD,AE=AF, 所以ABEADF,所以AB=AD, 所以矩形ABCD是
4、正方形.,(1)已知菱形,可证明一个内角为直角得到正方形;(2)已知矩形,可证明一组邻边相等得到正方形.,1.下列说法正确的是( ) (A)有一个角是直角的四边形是正方形 (B)有一组邻边相等的四边形是正方形 (C)有一组邻边相等的矩形是正方形 (D)四条边都相等的四边形是正方形 2.(2018石家庄期中)若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为( ),C,B,3.ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且ACBD,请添加一个条件: .,使得ABCD为正方形.,BAD=90,(答案不唯一),4.(2018会宁模拟)如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,点F在BE上,AF=AB,连接BD, FD,若BAF=58,则BDF的度数为 .,29,5.如图,已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意一点,E为AD上的点,且EPB=90, PMAD,PNAB,垂足分别为M,N.(1)求证:四边形PMAN是正方形;,证明:(1)因为四边形ABCD是正方形, 所以BAD=90,AC平分BAD, 因为PMAD,PNAB, 所以PM=PN,PMA=PNA=90, 所以四边形PMAN是正方形.,(2)求证:EM=BN.,
