1、1专题 23 三角函数 三角恒等变换【考点讲解】1.两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）一、具本目标：1. 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值.2. 会求类似于 15，75，105等特殊角的正、余弦、正切值.3. 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. 4
2、. 逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.5. 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值.二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ， .两角和与差的余弦公式： ，.两角和与差的正切公式 ： ，.【特别提醒】公式的条件：21. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角 、 为任意角.2. 两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆 用与辅助角公式：（其中 角所在的象限由 a,b 的符号确定， 的值由tanb确定） ，在求最值、化简时起着重要的作用.2. 变形为 ，变形为 .变形为 ，变形为 来使用 .条件为：
3、 知识点三 二倍角公式：1. 2. 常见变形：（1） ， （2） ， ； 3（3） ， .3. 半角公式： ， ， . 【真题分析】1 【17 新课标 III 文】已知 ，则 2sin（ ）A 97 B 2 C 9 D 7【答案】A2 【17 新课标 III 文】函数 的最大值为（ ）A 56 B1 C 53 D 1【解析】将 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数最值的性质可以求得函数最大值.由，4因为 ，所以函数的最大值为 56.【答案】A3 【2016 年渭南期中】已知向量 a=（ sin， 2） ， b=（1， cos） ，且 a b，则 sin 2 +cos2 的值为
4、（ ）A1 B2 C 1D3【答案】A4.【2017 吉林二模】已知 cos = 725， （，0） ，则 sin 2+cos =（ ）A 125 B 15 C 1 D 15【解析】cos = 72， （，0） ，cos 2sin 2 =（cos +sin ） （cos 2sin ）0， 2（ ，0） ，sin +cos 0，cos sin 0，（sin 2+cos ） 2=1+sin =1 491625= ，sin +cos = 15故选 D【答案】D等于（ ）Asin Bcos Csin Dcos 【解析】本题考点：三角函数的恒等变换及化简求值.原式= = =cos 故选 D.5【答案】D
5、 6 【2018 全国二卷 15】已知 ， ，则 sin()_【解析】本题考点：同角三角函数的平方和、两角和的正弦公式.将已知两式平方 与 ，将平方后的两式相加整理得：，也就是 .【答案】 217.【2015 高考四川】 .【答案】 62.8.【2016 高考江苏卷】在锐角三角形 ABC中，若 ，则 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形 中恒有，因此即最小值为 8.【答案】8.69 【2015 秦皇岛期中】若 cos（ +）= 45，cos（ ）= 45， ， ，则 sin 2 = 【解析】cos （
6、+）= 45， cos（ ）= 45， ， ，sin（ + ）= 3，sin（ ）= 3，sin 2 =sin + （ ）=sin（ +）cos（ ）cos（ +） sin（ ）= 3()5 4 35=0. 【答案】010已知 sin +sin = 2165，cos +cos = 2765，则 = .所以 = =cos2in=97【答案】 9711.【2018 江 苏卷 16】已知 ,为锐角， 4tan3， 7（1）求 cos2的值；（2）求 tan()的值【解】 （1）因为 4t3， sintaco，所以 因为 ，所以 295，因此， 【答案】D6.设 为锐角，若 ，则 （ ）A 210 B
7、 210 C 45 D 45【答案】A7.若 ，则 （ ）A.1 B. 21 C.31D. 41【解析】，故选 B.【答案】B88.下列各式中，值为 3的是（）A BC 1tan5D 【解析】 ， ， 1tan5， cos15，故选 C【答案】C9.已知 tan（ 4+ ）= 12，则 的值为 _【答案】 2310.【2018 浙江卷 18】已知角 的顶 点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（45， -） （）求 sin（ +）的值；（）若角 满足 sin（ + ）=513，求 cos 的值解：.（）由角 的终边过点4(,)P得4sin5，所以 .（）由角 的终边过点34(,)5P得3cos5，由 得 .由 得 ，9所以 或 .
