1、1专题 39 数列 等比数列 2【考点讲解】1、具本目标：等比数列（1） 理解等比数列的概念.（2） 掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4） 了解等比数列与指数函数的关系.二、知识概述：1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用 q表示 ( 0)（2）等比数列的通项公式为 1na，通项公式还可以写成 1nnaq，它与指数函数 xya有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列（3）如果 ,aGb 成
2、等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项，且 2Gab， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列 n中， （4）等比数列的前 n项和的公式为 或 , 等比数列中没有“0”的项。用等比数列求和公式解题时，注意 1q与 两个不同的条件2、等比数列的性质（1）在等比数列 na中， nk（ *,N）（2）在等比数列 中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若（ ） ，则 （3）在等比数列 na中，依次 k个项之和仍组成一个等比数列，即 kS是前 项之和，则 kS， 2k，232kS， (1)mkkS，也是等比数列（4）对于正项等比数
3、列 na，取 lgnba，则 nb即为等差数列。所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比 （3）下面分三种情况证明.若 D是 C的子集，则 .若 是 的子集，则 .若 不是 的子集，且 不是 D的子集.令 ， 则 E， F， E.于是 ， ，进而由 CDS，得 FS.设 k是 E中的最大数， l为 F中的最大数，则 .由（2）知， 1kSa，于是 ，所以 1lk，即 l.又 kl，故 ，从而 ，故 ，所以 ，即 .综合得， . 【模拟考场】1.设等比数列 na的前 项和为 nS.若 ，则数列的公比 q的值为 .3【答案】 .2432.在数列 an中， a11， a22， a48， Sn为数
4、列 an的前 n项和，若 Sn+为等比数列，则 【分析】 S1+1， S2+1+， S3+1+ a3+， S4+9+ a3+，根据 Sn+为等比数列，可得 1+a3+ ，9+ a3+ ，联立解得即可得出【解析】 S1+1， S2+1+， S3+1+ a3+， S4+9+ a3+， Sn+为等比数列，1+ a3+ ，9+ a3+ ，相减化为：4（1） 2（+1） 2，解得： 或 3【答案】 或 33已知数列 an的首项为 1，数列 bn为等比数列且 na1，若 b10b112，则 b7b14 ，a21 【分析】根据所给的关系式，依次令 n1、2、20 列出 20个式子，再将 20个式子相乘化简，
5、根据等比数列的性质和条件求出 a21的值4【答案】：2，10244设 Sn是等比数列 an的前 n项的和，若 2136a，则 36S 【分析】设该等比数列的公比为 q，由已知条件得出 q，然后再利用等比数列求和公式可计算出答案【解析】设等比数列 an的公比为 q，则 ，所以， 【答案】5等比数列 an前 n项和 Sn，首项为 10，公比为 2，则方程| x S3|+|y+a3|10 所表示的图形的面积为 【分析】等比数列 an前 n项和 Sn，首项为 10，公比为 2，可得 a340， S370方程|x S3|+|y+a3|10 即| x70|+| y+40|10，通过分类讨论画出图形即可得出
6、本题考查了等比数列的通项公式、直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力5【答案】2006设 Sn是等比数列 an的前 n项和，若 3105S，则 1025S 【分析】根据等比数列的求和公式，以及 105，可得 q52，再根据求和公式计算即可，本题考查等比数列的求和公式，考查了运算求解能力.【解析】设 Sn是等比数列 an的前 n项和， ， 3105， ，即 1+q53， q52， ，【答案】7等比数列 an前 n项的和为 2n1，则数列 2na前 n项的和为 【分析】先求出等比数列的前 2项，从而求得首项和公比，从而得到数列 2na的首项和公比，再由等比数列的前 n项和公式求出结果6【
7、答案】8.已知正项数列 an满足 a 6 a an1 an. 若 a12，则数列 an的前 n项和为_2n 1 2n【解析】 a 6 a an1 an，( an1 3 an)(an1 2 an)0， an0， an1 3 an，又 a12， an2n 1 2n是首项为 2，公比为 3的等比数列， Sn 3 n1.2 1 3n1 3【答案】3 n19已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 a11， an1 Sn1，其中 nN *，则数列 an的通项公式是an_.【解析】当 n2 时，由Error!得 an1 an Sn Sn1 an，即 an1 2 an，又因为当 n1 时， a2112，所以数
8、列 an是以 1为首项，2 为公比的等比数列，则数列 an的通项公式是 an2 n1 . 【答案】2 n110.已知数列 n 的首项为 1， nS 为数列 na的前 n项和， ，其中 q0， *N .（）若 成等差数列，求 的通项公式；（）设双曲线21nyxa的离心率为 ne ，且 253 ，证明：.【分析】 （）已知 S的递推式 ，一般是写出当 2n时， ，两式相减，利用，得出数列 n的递推式，从而证明 na为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（）先利用双曲线的离心率定义得到 ne的表达式，再由 253e解出 q的值，要证明 2016年高考四川理数不等式，一般想法是求出和 ，但数列 n的和不可求，因此我们利用放缩法得 1neq，从而有 ，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边最后利用等比数列的求和公式计算证明.7（）由（）可知， 1naq-=.所以双曲线2nyx-的离心率 由 解得 43q=.因为 ，所以 .于是 ，故 . 8
