1、- 1 -辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三数学 4 月月考试题 理时间：120 分钟 分值：150 分一、选择题（每题一个选项，每题 5 分共 60 分）1已知集合 120Ax， 1,02B，则 AB（ ）A 0,B ,C ,D 1,02 2设 312iiz，则 z的虚部是（ ）A B 45C 2iD 23一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 238B 823C 283D104将边长为 的正方形 ACD沿对角线 B折起，则三棱锥 AB的外接球体积为（ ）A 32B 163C 43D 45已知函数 2sincosin2xxfx，将 f图像上所有点的横坐标缩短到原来的
2、 12倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位得到 gx的图像，若 gx为偶函数，则 的一个值为（ ）A B 3C 4D 66执行如图所示的程序框图，则输出的 n值是（ ）- 2 -A5 B7 C9 D11 7函数 1lnfxx的图像大致为（ ）A B C D8设 x， y满足约束条件263xy，则 yzx的最大值是（ ）A 1B0 C 12D29在 C 中，三内角 A， ， 的对边分别为 a， b， c，且 23cba，23bca，则角 的大小是（ ）A 6或 B 3C 23D 6 - 3 -10下列判断正确的是（ ）A “ 2x”是“ ln30x”的充分不必要条件B函数 2219f的最小值为 2
3、C当 ， R时，命题“若 ，则 sini”的逆否命题为真命题D命题“ 0x， 2190x”的否定是“ 0x， 0219x”11如图，已知 O， F分别为抛物线 2:4Cy的顶点和焦点，斜率为 的直线 l经过点 F与抛物线 C交于 A， B两点，连接 AO， B并延长分别交抛物线的准线于点 P， Q，则BPQ（ ）A 7B 8C 10D 1212若函数 23ln,04xf的图像和直线 yax有四个不同的公共点，则实数 a的取值范围是（ ）A 24e, B 0,4C 0,D 2,e,二、填空题(每小题分，每题分共分) 13如果 321nx的展开式中各项系数之和为 256，则展开式中 21x的系数是
4、_14如图，在长方形 OABC内随机撒一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率为_- 4 -15如图所示，已知点 G是 ABC 的重心，过点 G作直线分别交 AB， C两边于 M，N两点，且 AMx， Ny，则 3xy的最小值为_16已知点 1F， 2分别是双曲线 2:10,xyCab的左右两焦点，过点 1F的直线与双曲线的左右两支分别交于 P， Q两点，若 2PF 是以 2Q为顶角的等腰三角形，其中2,3PQ，则双曲线离心率 e的取值范围为_三解答题：(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 （12 分）在 ABC 中，内角 ， B， C的对边分别为 a， b， c， 30B，
5、三边 a，b， c成等比数列，且 面积为 1，在等差数列 n中， 1，公差为 b（1）求数列 na的通项公式；（2）数列 b满足 1na，设 nT为数列 nb的前 项和，求 nT的取值范围- 5 -18 （12 分）在 2018 年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码为得到小龙虾等级代码数值 x与销售单价 y之间的关系，经统计得到如下数据：等级代码数值 x38 48 58 68 78 88销售单价 y/kg元 16.8.20.8.24 25.8（1）已知销售单价 与等级代码数值 x之间存在线性相关关系，求 y关于 x的线性回归方程(系数精确到 0.1
6、)；（2）若莫斯科某个餐厅打算从上表的 6 种等级的中国小龙虾中随机选 2 种进行促销，记被选中的 2 种等级代码数值在 60 以下（不含 60）的数量为 X，求 的分布列及数学期望参考公式：对一组数据 1,xy， 2,， ,nxy ，其回归直线 ybxa的斜率和截距最小二乘估计分别为： 12niib， ab参考数据：61840ixy，6154ix19 （12 分）如图，在底面是正方形的四棱锥中 PABCD， 2， PA，点 在底面ABCD的射影 O恰是 AD的中点（1）证明：平面 PAB平面 D；（2）求二面角 C的正弦值大小- 6 -20. （12 分）已知 1,0F， 21,是椭圆 2:
7、10xyCab的左、右焦点，椭圆C过点 52,3（1）求椭圆 的方程；（2）过点 2F的直线 l（不过坐标原点）与椭圆 C交于 A， B两点，求 1FAB的取值范围21. （12 分）已知函数 cosaxfb，曲线 yfx在点 ,2f处的切线方程为620xy（1）求 f的解析式；（2）判断方程 312fx在 0,内的解的个数，并加以证明选做题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy中，曲线 12cos:3inxCy（ 为参数） ，在以 O为极点， x轴的非负半- 7 -轴
8、为极轴的极坐标系中，曲线 2:cosin37C（1）写出曲线 1C和 2的普通方程；（2）若曲线 上有一动点 M，曲线 2上有一动点 N，求 M的最小值23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 32fxx（1）求函数 f的值域；（2）若 2,1x，使 2fxa成立，求 的取值范围高三数学试卷（理）答题纸二、填空题(每小题分，每题分共分)13、_ 14、_15、_ 16、_三、解答题：17、- 8 -18- 9 -1920- 10 -2122- 11 -高三数学试卷（理）答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案A D A C B C B D A
9、C B D二、填空题13、252 14、 e1315、 423 16、 7,三、解答题17. 解：（1） 2bac， 21124Scb， ， 21na， *N（2） 1nn， 113522nTnn ， n是关于 的增函数， n*N， 3T18. （1）由题意，得 8468763x，6.82025.1.6y，- 12 -612840632150.5iixyb， 21.50638.9aybx故所求线性回归方程为 98yx（2）由题意，知 X的所有可能取值为 0，1，2 0236C15P， 326C5P， 2036C15PX， X的分布列为 X0 1 2P153515 13025EX19. （1）证
10、明：依题意，得 O平面 ABCD，又 AB平面 CD， P又 ， A， 平面 P又 平面 ，平面 B平面 A（2）取 BC的中点 E，依题意，得 O， E， 两两互相垂直，以 OA， ， P为 x， y， z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得 1PO， 2E， 1,0A， ,20B， ,1P， ,20C，则 0,2AB， ,， ,C设 1,xyzm是平面 PAB的法向量，则 111200yyxzxzBPm，令 1z，则 ,01- 13 -设 2,xyzn是平面 PBC的法向量，则 22200xyzzyBPxCn，令 2z，则 0,12， cos,5mn，二面角 APB的正弦值为 1520
11、. （1）由条件知2143ab解得265ab，因此椭圆 C的方程为2165xy（2）设 1,Axy， 2,Bxy，则 11,FAxy， 21,FBxy，设直线 l的方程为 m，代入椭圆 C的方程消去 ，得 25605my，由韦达定理得 12056y， 1256ym，21 122121124FABx yyy 222205945656656m， ， 9， m， 11,6FAB21. （1）直线 20xy的斜率为 6，过点 ,12，2sincoafx，则 ，即 3a，af12fb，所以 3s1xf（2）方程 2fx在 0,上有 3 个解证明：令 3cos12xgf，则 23sincoxxg，又 90
12、62， 0g，所以 在 0,上至少有一个零点，又 gx在 ,上单调递减，故在 ,2上只有一个零点，当 3,2时， cos0x，故 0gx，所以函数 gx在 3,2上无零点- 14 -当 3,2x时，令 sincohxx， cos0hx，所以 h在 ,上单调递增， 20， 32，所以 03,2x，使得 gx在 3,上单调递增，在 0,x上单调递减又 g， 0，所以函数 在 ,2上有 2 个零点综上，方程 312fx在 ,上有 3 个解22. （1） 1:4yC， 2:70Cxy；（2）设 cos,3inM，结合图形可知： MN最小值即为点 到直线 2C的距离的最小值 到直线 2的距离 2cos3in7sin37d，当 sin1时， 最小，即 min14N23. （1）依题意可得： 5,32,2xfx，当 23x时， 51， f的值域为 ,；（2） 1x， 2fxa，化为 21xa得 ,使得 21a成立，令 2gxx， ,，得 21gx，当 1时， max2g， ,2a
