1、1第六节 直线与圆锥曲线突破点一 直线与圆锥曲线的位置关系基 本 知 识 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax By C0( A， B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x， y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量x(或变量 y)的一元方程即由Error! 消去 y，得 ax2 bx c0.(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2 bx c0 的根的判别式为 ，则Error!(2)当 a0， b0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线平行；若 C
2、 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是：直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点( )(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是：直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点( )(3)直线 l 与抛物线 C 相切的充要条件是：直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1设抛物线 y28 x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_答案：1,12已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 y21 的右
3、焦点，交椭圆于 A， B 两点，弦 AB 的x24长为_答案：853双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 平行于双曲线的一条渐近线x29 y216的直线与双曲线交于点 B，则 AFB 的面积为_答案：32152典例 (1)(2019河南九校联考)已知直线 y kx t 与圆 x2( y1) 21 相切且与抛物线 C： x24 y 交于不同的两点 M， N，则实数 t 的取值范围是( )A(，3)(0，)B(，2)(0，)C(3,0)D(2,0)(2)若过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24 x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析 (1
4、)因为直线与圆相切，所以 1，即 k2 t22 t.将直线方程代入抛物|t 1|1 k2线方程并整理得 x24 kx4 t0，于是 16 k216 t16( t22 t)16 t0，解得 t0或 t3.选 A.(2)结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有 3 条，分别为直线 x0，直线y1 以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0)故选 C.答案 (1)A (2)C方法技巧直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x， y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：即画出
5、直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数提醒 联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况 针对训练1若直线 mx ny4 和圆 O： x2 y24 没有交点，则过点( m， n)的直线与椭圆 x291 的交点个数为( )y24A至多一个 B2C1 D0解析：选 B 直线 mx ny4 和圆 O： x2 y24 没有交点，圆心到直线的距离3d 2， m2 n24. 1 m21，点( m， n)在椭圆4m2 n2 m29 n24 m29 4 m24 536 1 的内部，过点( m， n)的直线与椭圆 1 的交点有 2 个x29 y24 x29 y242双曲线 C： 1(
6、 a0， b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，x2a2 y2b2则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A k B kba baC k 或 k D kba ba ba ba解析：选 D 由双曲线渐近线的几何意义知 k .ba ba突破点二 圆锥曲线中弦长及中点弦问题基 本 知 识 圆锥曲线的弦长公式设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A， B 两点， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则|AB| |x1 x2|1 k2 |y1 y2|1 k2 x1 x2 2 4x1x21 1k2 .1 1k2 y1 y2 2 4y1y2基
7、 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)如果直线 x ty a 与圆锥曲线相交于 A(x1， y1)， B (x2， y2)两点，则弦长| AB| |y1 y2|.( )1 t2(2)过抛物线 y22 px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( )答案：(1) (2)二、填空题1顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x y10 所得的弦长为 ，15则抛物线方程为_答案： y212 x 或 y24 x42椭圆 x24 y216 被直线 y x1 截得的弦长为_12答案： 353过双曲线 1 的一个焦点作 x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两x2144 y
8、225焦点的距离分别为_答案： ，2512 31312全 析 考 法 考法一 弦长问题 例 1 (2019孝义模拟)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，且点 F1到椭圆 C 上任意一点的最大距离为 3，椭圆 C 的离心率为 .12(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1 的直线 l 与以线段 F1F2为直径的圆相交于 A， B 两点，与椭圆相交于 C， D，且 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由|CD|AB| 837解 (1)根据题意，设 F1， F2的坐标分别为( c,0)，( c,0)，由题意可得Error!解得 a
9、2， c1，则 b2 a2 c23，故椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)假设存在斜率为1 的直线 l，设为 y x m，由(1)知 F1， F2的坐标分别为(1,0)，(1,0)，所以以线段 F1F2为直径的圆为 x2 y21，由题意知圆心(0,0)到直线 l 的距离 d 1，| m|2得| m| .2|AB|2 2 ，1 d21 m22 2 2 m2联立得Error! 消去 y，得 7x28 mx4 m2120，由题意得 (8 m)247(4 m212)33648 m248(7 m2)0，解得 m27，设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2
10、，8m7 4m2 1275|CD| |x1 x2| 2 2 (8m7)2 44m2 127 |AB|2336 48m249 467 7 m2 837 ，837 2 2 m2解得 m .33即存在符合条件的直线 l，其方程为 y x .33方法技巧求解弦长的 4 种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系得到( x1 x2)2或( y1 y2)2，代入两点间的距离公式(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求
11、解弦长提醒 利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形，若 k 不存在，可直接求交点坐标再求弦长涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用 考法二 中点弦问题 考向一 由中点弦确定直线方程例 2 在椭圆 1 中，以点 M(1,2)为中点的弦所在直线方程为x216 y29_解析 设弦的两端点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，代入椭圆方程得Error!两式相减得 0， x1 x2 x1 x216 y1 y2 y1 y29所以 ， x1 x2 x1 x216 y1 y2 y1 y29即 ，9 x1 x216 y1 y2 y1 y2x1 x2因为 x1 x22， y1 y24，所以 ，y1
12、 y2x1 x2 9326故该直线方程为 y2 (x1)，932即 9x32 y730.答案 9 x32 y730 考向二 由中点弦确定曲线方程例 3 过点 M(2，2 p)作抛物线 x22 py(p0)的两条切线，切点分别为 A， B，若线段 AB 的中点的纵坐标为 6，则抛物线方程为_解析 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，依题意得， y ，切线 MA 的方程是 y y1 (x x1)，xp x1p即 y x .x1p x212p又点 M(2，2 p)位于直线 MA 上，于是有2 p 2 ，即 x 4 x14 p20；x1p x212p 21同理有 x 4 x24 p20，因
13、此 x1， x2是方程 x24 x4 p20 的两根，则2x1 x24， x1x24 p2.由线段 AB 的中点的纵坐标是 6 得， y1 y212，即 12， 12，x21 x22p x1 x2 2 2x1x22p 16 8p22p解得 p1 或 p2.故抛物线的方程为 x22 y 或 x24 y.答案 x22 y 或 x24 y 考向三 由中点弦解决对称问题例 4 已知双曲线 x2 1 上存在两点 M， N 关于直线 y x m 对称，且 MN 的中y23点在抛物线 y218 x 上，则实数 m 的值为_解析 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN 的中点 P(x0， y0)
14、，则Error!由得，(x2 x1)(x2 x1) (y2 y1)(y2 y1)，显然 x1 x2.13 3，即 kMN 3，y2 y1x2 x1 y2 y1x2 x1 y0x0 M， N 关于直线 y x m 对称， kMN1， y03 x0.又 y0 x0 m，7 P ，(m4， 3m4)代入抛物线方程，得 m218 ，916 ( m4)解得 m0 或8，经检验都符合题意答案 0 或8方法技巧处理中点弦问题常用的 2 种方法(1)点差法设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1 x2， y1 y2， 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式y1 y
15、2x1 x2即可求得斜率(2)根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解提醒 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足 集 训 冲 关 1. 已知 P(1,1)为椭圆 1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此考 法 二 考 向 一 x24 y22弦被 P 点平分，则此弦所在直线的方程为_解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y1 k(x1)，A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 消去 y 得，(2 k21) x24 k(k1) x
16、2( k22 k1)0， x1 x2 ，4k k 12k2 1又 x1 x22， 2，解得 k .4k k 12k2 1 12故此弦所在的直线方程为 y1 (x1)，12即 x2 y30.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1， x214 y2128 1， x24 y22得 0， x1 x2 x1 x24 y1 y2 y1 y22 x1 x22， y1 y22， y1 y20，x1 x22 k .y1 y2x1 x2 12此弦所在的直线方程为 y1 (x1)，12即 x2 y30.答案： x2 y302. 焦点是 F(0,5 )
17、，并截直线 y2 x1 所得弦的中点的横坐标是考 法 二 考 向 二 2的椭圆的标准方程为_27解析：设所求的椭圆方程为 1( a b0)，直线被椭圆所截弦的端点为y2a2 x2b2A(x1， y1)， B(x2， y2)由题意，可得弦 AB 的中点坐标为 ，(x1 x22 ， y1 y22 )且 ， .x1 x22 27 y1 y22 37将 A， B 两点坐标代入椭圆方程中，得Error!两式相减并化简，得 2 3，a2b2 y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2 6747所以 a23 b2.又 c2 a2 b250，所以 a275， b225.故所求椭圆的标准方程为 1.y275 x
18、225答案： 1y275 x2253. 抛物线 x24 y 与直线 x2 y20 交于 A， B 两点，且 A， B 关于考 法 二 考 向 三 直线 y2 x m 对称，则 m 的值为_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2), 联立Error! 消去 y，得 x22 x40.则 x1 x22， 1.x1 x229 y1 y2 (x1 x2)23， . 12 y1 y22 32 A， B 关于直线 y2 x m 对称， AB 的中点在直线 y2 x m 上，即 21 m，解得 m .32 72答案：724. 经过椭圆 M： 1( a b0)的右焦点的直线 x y 0 交椭圆 M考
19、法 一 x2a2 y2b2 3于 A， B 两点， P 为 AB 的中点，且直线 OP 的斜率为 .12(1)求椭圆 M 的方程；(2)C， D 为椭圆 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD AB，求四边形 ACBD 的面积的最大值解：(1)令 A(x1， y1)， B(x2， y2)，易知右焦点为( ，0)3联立Error!得( a2 b2)y22 b2y b2(3 a2)0，3则 y1 y2 ， x1 x22 ( y1 y2)，23b2a2 b2 3即 kOP a22 b2.yPxP y1 y2x1 x2 y1 y223 y1 y2 b2a2 12因为 a2 b23，所以 a26， b23.所以椭圆 M 的方程为 1.x26 y23(2)由(1)知方程为 3y22 y30.3由弦长公式得：| AB| |y1 y2| 2 2 y1 y2 2 4y1y2 .243 4 463令 CD 的方程为： x y m.由Error! 得 3y22 my m260，则 y1 y2 ， y1y2 .2m3 m2 63由弦长公式得| CD| 4.2 y1 y2 2 4y1y2 272 8m23所以 S 四边形 ACBD |AB|CD| (当且仅当 m0 时取最大值)12 86310故四边形 ACBD 的面积的最大值为 .863
