1、1第四节 双曲线突破点一 双曲线的定义和标准方程基 本 知 识 1双曲线的定义平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 P M|MF1| MF2|2 a，| F1F2|2 c，其中 a， c 为常数且 a0， c0.(1)当 2a| F1F2|时， P 点的轨迹是双曲线；(2)当 2a| F1F2|时， P 点的轨迹是两条射线；(3)当 2a| F1F2|时， P 点不存在2标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 1( a0， b0)；x2a2 y
2、2b2(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 1( a0， b0)y2a2 x2b2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线( )(2)在双曲线标准方程 1 中， a0， b0 且 a b.( )x2a2 y2b2(3)双曲线标准方程中， a， b 的大小关系是 a b.( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1已知 F 为双曲线 C： 1 的左焦点， P，Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于虚轴x29 y216长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则 PQF 的周长为_
3、答案：442经过点 P(3,2 )和 Q(6 ，7)，且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是7 2_答案： 1y225 x2753已知定点 A， B 且| AB|4，动点 P 满足| PA| PB|3，则| PA|的最小值为_2答案：72全 析 考 法 考法一 双曲线的定义及应用 (1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值” ，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支例 1 (1)(2019宁夏育才中学月考)设 P 是双曲线 1 上一点， F1， F2分别x216 y220是双曲线的左、右焦点，若| PF1|9，则
4、| PF2|等于( )A1 B17C1 或 17 D以上均不对(2)已知点 P 在曲线 C1： 1 上，点 Q 在曲线 C2：( x5) 2 y21 上，点 R 在曲x216 y29线 C3：( x5) 2 y21 上，则| PQ| PR|的最大值是( )A6 B8C10 D12解析 (1)根据双曲线的定义得| PF1| PF2|8 PF21 或 17.又| PF2| c a2，故| PF2|17，故选 B.(2)由题意可知 C3， C2的圆心分别是双曲线 C1： 1 的左、右焦点，点 P 在双曲x216 y29线的左支上，则| PC2| PC3|8.|PQ|max| PC2|1，| PR|m
5、in| PC3|1，所以| PQ| PR|的最大值为(| PC2|1)(| PC3|1)| PC2| PC3|28210.故选 C.答案 (1)B (2)C方法技巧双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合| PF1| PF2|2 a，运用平方的方法，建立与| PF1|PF2|的联系 考法二 双曲线的标准方程 待定系数法求双曲线方程的 5 种类型3类型一 与双曲线 1 有公共渐近线的双曲线方程可设为 ( 0)x2a2 y2b2 x2a2 y2b2类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为
6、 y x 或 y x，则可设双曲线方程为 ba ba x2a2 ( 0)y2b2类型三 与双曲线 1 共焦点的双曲线方程可设为 1( b2 k a2)x2a2 y2b2 x2a2 k y2b2 k类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 1( mn0)或者x2m y2n 1( mn0)x2m y2n类型五 与椭圆 1( a b0)有共同焦点的双曲线方程可设为x2a2 y2b2 1( b2 a2)x2a2 y2 b2例 2 (2018天津高考)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，过右焦x2a2 y2b2点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点设 A， B 到双曲线的同
7、一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1 d26，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. 1 D. 1x23 y29 x29 y23解析 法一：如图，不妨设 A 在 B 的上方，则 A ， B(c，b2a).(c， b2a)又双曲线的一条渐近线为 bx ay0，则 d1 d2 2 bbc b2 bc b2a2 b2 2bcc6，所以 b3.又由 e 2，知 a2 b24 a2，所以 a .ca 3所以双曲线的方程为 1.x23 y29法二：由 d1 d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b3.因为双曲线4 1( a0， b0)的离心率
8、为 2，所以 2，所以 4，所以 4，解得x2a2 y2b2 ca a2 b2a2 a2 9a2a23，所以双曲线的方程为 1，故选 C.x23 y29答案 C方法技巧求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在 x 轴上或 y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a， b， c 的方程组，解出 a2， b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2 ny21( mn0)求解 集 训 冲 关 1.
9、 虚轴长为 2，离心率 e3 的双曲线的两焦点为 F1， F2，过 F1作直线交双曲考 法 一 线的一支于 A， B 两点，且| AB|8，则 ABF2的周长为( )A3 B16 2C12 D242解析：选 B 2 b2， e 3， b1， c3 a，ca9 a2 a21， a .24由双曲线的定义知：| AF2| AF1|2 a ， 22|BF2| BF1| ， 22得| AF2| BF2|(| AF1| BF1|) ，2又| AF1| BF1| AB|8，| AF2| BF2|8 ，则 ABF2的周长为 16 ，故选 B.2 22. 设 k1，则关于 x， y 的方程(1 k)x2 y2
10、k21 所表示的曲线是( )考 法 二 A长轴在 x 轴上的椭圆 B长轴在 y 轴上的椭圆C实轴在 x 轴上的双曲线 D实轴在 y 轴上的双曲线解析：选 D k1，1 k0， k210，方程(1 k)x2 y2 k21 所表示的曲线是实轴在 y 轴上的双曲线，故选 D.3. 已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程考 法 二 3是( )5A. 1 B. 17x216 y212 y23 x22C x2 1 D. 1y23 3y223 x223解析：选 C 法一：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程是 1( a0， b0)，由题意得Error!解得Error
11、!所以该双曲线的标准方程为x2a2 y2b2x2 1；当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程是 1( a0， b0)，y23 y2a2 x2b2由题意得Error!无解故该双曲线的标准方程为 x2 1，选 C.y23法二：当其中的一条渐近线方程 y x 中的 x2 时， y2 3，又点(2,3)在第一3 3象限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程是 1( a0， b0)，由题x2a2 y2b2意得Error! 解得 Error!所以该双曲线的标准方程为 x2 1，故选 C.y23法三：因为双曲线的渐近线方程为 y x，即 x，所以可设双曲线的方程是3y3x2 ( 0)，
12、将点(2,3)代入，得 1，所以该双曲线的标准方程为 x2 1，y23 y23故选 C.突破点二 双曲线的几何性质基 本 知 识 标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2图形范围 x a 或 x a， yR y a 或 y a， xR对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a)性质渐近线 y xba y xab6离心率 e ， e(1，)caa， b， c 的关系c2 a2 b2实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长| A1A2|2 a；线段 B1B2叫做双曲线的
13、虚轴，它的长| B1B2|2 b；a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)双曲线方程 (m0， n0， 0)的渐近线方程是 0，即x2m2 y2n2 x2m2 y2n2 0.( )xm yn(2)等轴双曲线的离心率等于 ，且渐近线互相垂直( )2答案：(1) (2)二、填空题1双曲线 1 的渐近线方程为_x216 y29答案：3 x4y02若双曲线 8kx2 ky28 的一个焦点坐标是(3,0)，则 k_.答案：13双曲线的渐近线方程为 y x，则离心率为_34答案： 或54 53全 析 考 法 考法一 渐近线问题 例 1
14、 (1)(2018全国卷)双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐x2a2 y2b2 3近线方程为( )A y x B y x2 3C y x D y x22 327(2)(2019郑州一中入学测试)已知抛物线 x28 y 与双曲线 x21( a0)的一个交y2a2点为 M， F 为抛物线的焦点，若| MF|5，则该双曲线的渐近线方程为( )A5 x3y0 B3 x5y0C4 x5y0 D5 x4y0解析 (1) e ， a2 b23 a2， b a.渐近线方程为 yca a2 b2a 3 2x.2(2)设点 M(x0， y0)，则有| MF| y025，所以 y03， x 24，20
15、由点 M(x0， y0)在双曲线 x21 上，得 x 1，y2a2 y20a2 20即 241，解得 a2 ，9a2 925所以双曲线 x21 的渐近线方程为 x20，即 3x5y0，选 B.y2a2 y2a2答案 (1)A (2)B方法技巧求双曲线 1( a0， b0)或 1( a0， b0)的渐近线方程的方法是令x2a2 y2b2 y2a2 x2b2右边的常数等于 0，即令 0，得 y x；或令 0，得 y x.反之，已x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2 ab知渐近线方程为 y x，可设双曲线方程为 (a0， b0) ba x2a2 y2b2考法二 离心率问题 例 2 (1)(2
16、018全国卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、x2a2 y2b2右焦点， O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若| PF1| |OP|，则6C 的离心率为( )A. B25C. D.3 2(2)(2018长春二测)已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，点 P 在双曲线的右支上，且| PF1|4| PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A. B.(53， 2 (1， 53C(1,2 D.53， )8解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为 y x，ba则 F2到 y x 的距离 d b.ba |bc|
17、a2 b2在 Rt F2PO 中，| F2O| c，所以| PO| a，所以| PF1| a，6又| F1O| c，所以在 F1PO 与 Rt F2PO 中，根据余弦定理得cos POF1 cos POF2 ，a2 c2 6a 22ac ac即 3a2 c2( a)20，得 3a2 c2，所以 e .6ca 3(2)由双曲线的定义可知| PF1| PF2|2 a，又| PF1|4| PF2|，所以| PF2| ，由双2a3曲线上的点到焦点的最短距离为 c a，可得 c a，解得 ，即 e ，又双曲线的离2a3 ca 53 53心率 e1，故该双曲线离心率的取值范围为 ，故选 B.(1，53答案
18、 (1)C (2)B方法技巧求双曲线离心率或其范围的方法(1)求 a， b， c 的值，由 1 直接求 e.c2a2 a2 b2a2 b2a2(2)列出含有 a， b， c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2 c2 a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 集 训 冲 关 1. 已知双曲线 1( m0)的一个焦点在直线 x y5 上，则双曲线的渐考 法 一 y2m x29近线方程为( )A y x B y x34 43C y x D y x223 324解析：选 B 由于双曲线 1( m0)的焦点在 y 轴上，且在直线 x y5 上，直y2m x29线 x y5 与 y 轴的
19、交点为(0,5)，所以 c5， m925，则 m16，则双曲线的方程为 1，则双曲线的渐近线方程为 y x.故选 B.y216 x29 4392. 若 a1，则双曲线 y21 的离心率的取值范围是( )考 法 二 x2a2A( ，) B( ，2)2 2C(1， ) D(1,2)2解析：选 C 由题意得双曲线的离心率 e .即a2 1ae2 1 . a1，0 1，11 2，1 e .a2 1a2 1a2 1a2 1a2 23. (2018全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为考 法 一 、 二 x2a2 y2b2，则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )2A. B22C.
20、D2322 2解析：选 D e ， 1.双曲线的渐近线方程为 xy0.ca 1 b2a2 2 ba点(4,0)到 C 的渐近线的距离 d 2 .42 24. 已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两个焦点，过其中一考 法 一 、 二 y2a2 x2b2个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段F1， F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A(1,2) B(2，)C(1， ) D( ，)2 2解析：选 A 如图，不妨设 F1(0， c)， F2(0， c)，则过点 F1与渐近线 y x 平行的直线为 y x c，联立得Error!解得Error!ab ab即 M .因为点 M 在以线段 F1F2为直径的圆 x2 y2 c2内，(bc2a， c2)故 2 2 c2，化简得 b23 a2，即 c2 a23 a2，解得 2，又双曲线的离心率(bc2a) (c2) cae 1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)故选 A .ca10
