1、1第三节 等比数列及其前 n 项和突破点一 等比数列的基本运算基 本 知 识 1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 q.an 1an(2)等比中项：如果 a， G， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即： G 是 a与 b 的等比中项 a， G， b 成等比数列 G2 ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式： an a1qn1 .(2)前 n 项和公式： SnError!基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错
2、的打“”)(1)满足 an1 qan(nN *， q 为常数)的数列 an为等比数列( )(2)G 为 a， b 的等比中项 G2 ab.( )(3)若 an为等比数列， bn a2n1 a2n，则数列 bn也是等比数列( )(4)数列 an的通项公式是 an an，则其前 n 项和为 Sn .( )a 1 an1 a答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1已知递增的等比数列 an中， a2 a83， a3a72，则 _.a13a10答案： 22各项都为正数的等比数列 an中， a12， a6 a1a2a3，则公比 q 的值为_答案：23在各项均为正数的等比数列 an中，若 a21，
3、a8 a62 a4，则 a6的值是_答案：44已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， Sn2 an1 ，则 Sn等于_答案： n1(32)2典 例 感 悟 1已知正项数列 an为等比数列，且 5a2是 a4与 3a3的等差中项，若 a22，则该数列的前 5 项和 S5( )A. B313312C. D以上都不正确314解析：选 B 设 an的公比为 q，则 q0 且 q1.由已知得 a43 a325 a2，即a2q23 a2q10 a2， q23 q100，解得 q2 或 q5(舍去)，又 a22，则 a11，所以 S5 31.a1 1 q51 q 1 1 251 22(2018全国
4、卷)等比数列 an中， a11， a54 a3.(1)求 an的通项公式；(2)记 Sn为 an的前 n 项和，若 Sm63，求 m.解：(1)设 an的公比为 q，由题设得 an qn1 .由已知得 q44 q2，解得 q0(舍去)或 q2 或 q2.故 an(2) n1 或 an2 n1 .(2)若 an(2) n1 ，则 Sn .1 2 n3由 Sm63，得(2) m188，此方程没有正整数解若 an2 n1 ，则 Sn 2 n1.1 2n1 2由 Sm63，得 2m64，解得 m6.综上， m6.方 法 技 巧 解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个
5、量 a1， n， q， an， Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)求关键量 a1和 q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n 项和 Sn na1；当 q1 时， an的前 n 项和 Sn .a1 1 qn1 q a1 anq1 q针 对 训 练 1(2019豫北重点中学联考)数列 an满足 a427， an1 3 an(nN *)，则 a1( )A1 B3C1 D33解析：选 C 由题意知数列 an是以3 为公比的等比数列， a4 a1(3) 327， a1 1.故选 C.27 3 32(2019绵阳诊
6、断性考试)设 an是由正数组成的等比数列， Sn为其前 n 项和已知a2a41， S37，则 S5等于( )A. B152 314C. D334 172解析：选 B 设数列 an的公比为 q，则显然 q1，由题意得Error!解得Error!或Error!(舍去)， S5 .a1 1 q51 q4(1 125)1 12 3143(2019兰州诊断性测试)设数列 an1是一个各项均为正数的等比数列，已知a37， a7127.(1)求 a5的值；(2)求数列 an的前 n 项和解：(1)由题可知 a318， a71128，则有( a51) 2( a31)( a71)81281 024，可得 a51
7、32，即 a531.(2)设数列 an1的公比为 q，由(1)知Error!得Error!所以数列 an1是一个以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an122 n1 2 n，所以 an2 n1，利用分组求和可得，数列 an的前 n 项和 Sn n2 n1 2 n.2 1 2n1 2突破点二 等比数列的性质基 本 知 识 (1)若 m n p q，则 aman apaq，其中 m， n， p， qN *.特别地，若 2s p r，则apar a ，其中 p， s， rN *.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首2s末两项的积即 a1an a2an1 akan k1 .(2
8、)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak m， ak2 m，仍是等比数列，公比为 qm(k， mN *)4(3)若数列 an， bn是两个项数相同的等比数列，则数列 ban， panqbn和(其中 b， p， q 是非零常数 )也是等比数列panqbn(4)当 q1 或 q1 且 k 为奇数时， Sk， S2k Sk， S3k S2k，是等比数列，其公比为 qk.(5)若 a1a2an Tn，则 Tn， ， ，成等比数列T2nTnT3nT2n基 本 能 力 1在等比数列 an中， a32， a78，则 a5_.答案：42(2019长春调研)在正项等比数列 an中，已知a1a2a
9、34， a4a5a612， an1 anan1 324，则 n_.答案：143已知等比数列 an中， a2 a31， a4 a52，则 a6 a7等于_答案：44设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38， S67，则 a7 a8 a9等于_答案：18典 例 感 悟 1(2019洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列 an中， a3， a15是方程x26 x20 的根，则 的值为( )a2a16a9A B2 22 2C. D 或2 2 2解析：选 B 设等比数列 an的公比为 q，因为 a3， a15是方程 x26 x20 的根，所以 a3a15 a 2， a3 a156，所以 a3
10、0，所以S2030， S20 S1020， S30 S2040，故 S40 S3080，所以 S40150.故选 A.方 法 技 巧 应用等比数列性质解题时的 2 个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m n p q(m， n， p， qN *)，则 aman apaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用针 对 训 练 1(2019惠州调研)等比数列 an的各项均为正数，且 a5a6 a4a718，则log3a1log 3a2log 3a10
11、( )A12 B10C8 D2log 35解析：选 B a5a6 a4a718， a5a69，log 3a1log 3a2log 3a10log 3(a1a2a10)log 3(a5a6)55log 3910.2(2019兰州一中测试)在等比数列 an中，若 a1 a2 a3 a4 ， a2a3 ，则158 98 等于( )1a1 1a2 1a3 1a4A. B35 53C D35 53解析：选 D .1a1 1a2 1a3 1a4 a1 a4a1a4 a2 a3a2a3在等比数列 an中， a1a4 a2a3，原式 .故选 D.a1 a2 a3 a4a2a3 158 ( 89) 533在等比
12、数列 an中，如果 a1 a240， a3 a460，那么 a7 a8( )A135 B100C95 D806解析：选 A 由等比数列前 n 项和的性质知， a1 a2， a3 a4， a5 a6， a7 a8成等比数列，其首项为 40，公比为 ，所以 a7 a840 3135.6040 32 (32)突破点三 等比数列的判定与证明典例 (2018全国卷)已知数列 an满足 a11， nan1 2( n1) an.设 bn .ann(1)求 b1， b2， b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求 an的通项公式解 (1)由条件可得 an1 an.2 n 1n将 n1 代
13、入得， a24 a1，而 a11，所以 a24.将 n2 代入得， a33 a2，所以 a312.从而 b11， b22， b34.(2)数列 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列理由如下：由条件可得 ，即 bn1 2 bn，an 1n 1 2ann又 b11，所以数列 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得 2 n1 ，所以 an n2n1 .ann方法技巧等比数列的 4 种常用判定方法定义法 若 q(q 为非零常数， nN *)或 q(q 为非零常数且an 1an anan 1n2， nN *)，则 an是等比数列中项公式法 若数列 an中， an0 且 a ana
14、n2 (nN *)，则 an是等比数列2n 1通项公式法若数列 an的通项公式可写成 an cqn1 (c， q 均是不为 0 的常数，nN *)，则 an是等比数列前 n 项和公式法若数列 an的前 n 项和 Sn kqn k(k 为常数且 k0， q0,1)，则 an是等比数列提醒 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对 n1 时的情况进行验证针对训练7(2019湖北八校联考)已知数列 an满足 a11， a24， an2 4 an1 4 an.(1)求证：数列 an1 2 an是等比数列；(2)求数列 an的通项公式解：(1)证明：由 an2 4 an1 4 an得 an2 2 an1 2 an1 4 an2( an1 2 an)2 2(an2 an1 )2 n(a22 a1)0， 2， an1 2 an是等比数an 2 2an 1an 1 2an列(2)由(1)可得 an1 2 an2 n1 (a22 a1)2 n， ，an 12n 1 an2n 12 是首项为 ，公差为 的等差数列，an2n 12 12 ， an n2n1 .an2n n28
