1、1第三节 随机事件的概率突破点一 随机事件的频率与概率基 本 知 识 1事件的分类2频率和概率(1)在相同的条件 S下重复 n次试验，观察某一事件 A是否出现，称 n次试验中事件 A出现的次数 nA为事件 A出现的频数，称事件 A出现的比例 fn(A) 为事件 A出现的频nAn率(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A的概率，简称为 A的概率基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)“下周六会下雨”是随机事件( )(2)事件发生的频率与概率是相同的( )(3)随机事件和随机试验
2、是一回事( )(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了 100次， “正面朝上”的频数为 51，则“正面朝上”的频率为_答案：0.512某人进行打靶练习，共射击 10次，其中有 2次中 10环，有 3次中 9环，有 4次中8环，有 1次未中靶假设此人射击 1次，则其中靶的概率约为_；中 10环的概率约为_答案：0.9 0.23给出下列三个说法，其中正确的有_个有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100件，必有 10件是次品；2做 7次抛硬币的试验，结果 3次出现正面，因此正面出现的概率是 ；37随
3、机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率解析：错，不一定是 10件次品；错， 是频率而非概率；错，频率不等于概率，37这是两个不同的概念答案：0典例 (2018北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取 1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)
4、电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102 000，获得好评的第四类电影的部数是 2000.2550，故所求概率为 0.025.502 000(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372，故所求概率估计
5、为 1 0.814.3722 000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率方 法 技 巧 1计算简单随机事件频率或概率的解题思路3(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数(2)由频率公式得所求，由频率估计概率2求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数 针对训练1从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179
6、,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在 155.5170.5 cm 之间的概率约为( )A. B.25 12C. D.23 13解析：选 A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这 20位学生中，身高在155.5170.5 cm之间的学生有 8人，频率为 ，故可估计在该校高二年级的所有学生中任25抽一人，其身高在 155.5170.5 cm 之间的概率约为 .252(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完根
7、据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300瓶；如果最高气温低于20，需求量为 200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量
8、为 450瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数4据知，最高气温低于 25的频率为 0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 3002 16 3690瓶的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450瓶时，若最高气温不低于 25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100.所以 Y的所有可能值为 900,300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于 2
9、0，由表格数据知，最高气温不低于 20的频率为0.8，因此 Y大于零的概率的估计值为 0.8.36 25 7 490突破点二 互斥事件与对立事件基 本 知 识 1概率的基本性质(1)概率的取值范围：0 P(A)1.(2)必然事件的概率： P(A)1.不可能事件的概率： P(A)0.2互斥事件和对立事件事件 定义 概率公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件 A与 B称作互斥事件P(A B) P(A) P(B)；P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An)对立事件在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件 A和 称为对立事件AP(
10、)1 P(A)A基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若随机事件 A发生的概率为 P(A)，则 0 P(A)1.( )(2)两个事件的和事件是指两个事件同时发生( )5(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( )(4)“方程 x22 x80 有两个实根”是不可能事件( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_答案：两次都不中靶2设事件 A， B，已知 P(A) ， P(B) ， P(A B) ，则 A， B之间的关系一定为15 13 815_事件答案：互斥全 析 考 法 考法一 事件关
11、系的判断 例 1 (1)从 1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是( )A恰有 1个是奇数和全是奇数B恰有 1个是偶数和至少有 1个是偶数C至少有 1个是奇数和全是奇数D至少有 1个是偶数和全是偶数(2)已知 100件产品中有 5件次品，从这 100件产品中任意取出 3件，设 E表示事件“3件产品全不是次品” ， F表示事件“3 件产品全是次品” ， G表示事件“3 件产品中至少有 1件是次品” ，则下列结论正确的是( )A F与 G互斥B E与 G互斥但不对立C E， F， G任意两个事件均互斥D E与 G对立解析 (1)从 1,2,3,4,5中有
12、放回地依次取出两个数，共有三种情况： A两个奇数，B一个奇数一个偶数， C两个偶数，且两两互斥，A：是互斥事件；B：不互斥；C：不互斥；D：不互斥故选 A.(2)由题意得事件 E与事件 F不可能同时发生，是互斥事件；事件 E与事件 G不可能同时发生，是互斥事件；当事件 F发生时，事件 G一定发生，所以事件 F与事件 G不是互斥事件，故 A、C 错事件 E与事件 G中必有一个发生，所以事件 E与事件 G对立，所以 B错误，D 正确6答案 (1)A (2)D方法技巧 判断互斥、对立事件的 2种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一
13、个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件 A的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A所含的A 结果组成的集合的补集考法二 互斥事件、对立事件的概率 例 2 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100位顾客的相关数据，如下表所示已知这 100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占 55%.一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件17件及以上顾客数/人 x 30 25 y 10结算时间/ (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3(1)确定 x，
14、 y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟的概率(将频率视为概率)解 (1)由已知得 25 y1055， x3045，所以 x15， y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1.9 分钟115 1.530 225 2.520 310100(2)记 A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟” ， A1， A2， A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1分钟” “该顾
15、客一次购物的结算时间为 1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 2分钟” ，将频率视为概率得P(A1) ， P(A2) ， P(A3) .15100 320 30100 310 25100 14因为 A A1 A2 A3，且 A1， A2， A3是互斥事件，所以 P(A) P(A1 A2 A3) P(A1) P(A2) P(A3) .320 310 14 7107故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟的概率为 .710方法技巧 求复杂互斥事件概率的 2种方法直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和间接法先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)1 P( )求解当题目涉及
16、“至多”A“至少”型问题时，多考虑间接法集 训 冲 关 1. 如果事件 A与 B是互斥事件，则( )考 法 一 A A B是必然事件B. 与 一定是互斥事件A B C. 与 一定不是互斥事件A B D. 是必然事件A B 解析：选 D 事件 A与 B互斥即 A B为不可能事件，所以 是必然事件，A B A B 故选项 D正确；在抛掷骰子试验中， A表示向上的数字为 1， B表示向上的数字为 2， A B不是必然事件，选项 A错误； 与 不一定是互斥事件，选项 B错误； A表示向上的数字A B 为奇数， B表示向上的数字为偶数， 与 是互斥事件，选项 C错误故选 D.A B 2. (2018全国
17、卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现考 法 二 金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为( )A0.3 B0.4C0.6 D0.7解析：选 B 由题意可知不用现金支付的概率为 10.450.150.4.故选 B.3. 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与考 法 二 该河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米)有关据统计，当 X70 时， Y460； X每增加 10， Y增加 5.已知近 20年 X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,1
18、10,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近 20年六月份降雨量频率分布表8降雨量 70 110 140 160 200 220频率 120 420 220(2)假定今年 6月份的降雨量与近 20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率解：(1)在所给数据中，降雨量为 110毫米的有 3个，为 160毫米的有 7个，为 200毫米的有 3个，故近 20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220频率 120 320 420 720 320 220(2)由已知可得 Y 425，X2故 P(“发电量低于 490万千瓦时或超过 530万千瓦时”) P(Y490 或 Y530) P(X130 或 X210) P(X70) P(X110) P(X220) .120 320 220 3109
