1、1第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式突破点一 同角三角函数的基本关系基 本 知 识 1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2 cos 2 1( R)(2)商数关系：tan .sin cos ( k 2， k Z)2同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧 解读 适合题型切弦互化主要利用公式 tan 化成正弦、sin cos 余弦，或者利用公式 tan 化sin cos 成正切表达式中含有 sin ，cos 与 tan “1”的变换1sin 2 cos 2 cos 2 (1tan 2 ) (sin cos )22sin cos tan4 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(
2、sin cos )212sin cos 进行变形、转化表达式中含有 sin cos 或 sin cos 基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若 ， 为锐角，则 sin2 cos 2 1.( )(2)若 R，则 tan 恒成立( )sin cos 答案：(1) (2)二、填空题1已知 ，sin ，则 tan _.(2， ) 35解析： ，sin ，cos ，于是 tan .(2， ) 35 45 34答案：342已知 tan 2，则 的值为_sin cos sin cos 2解析：原式 3.tan 1tan 1 2 12 1答案：3全 析 考 法 考法一 知弦求弦、切或知
3、切求弦 利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的例 1 (1)(2019成都龙泉中学月考)设 cos(80) k，那么 tan 100等于( )A. B1 k2k 1 k2kC. Dk1 k2 k1 k2(2)(2019甘肃诊断)已知 tan x ，且角 x的终边落在第三象限，则 cos x( )43A. B45 45C. D35 35解析 (1)cos(80)cos 80 k，sin 80 ，1
4、cos280 1 k2tan 100tan 80 .故选 B.1 k2k(2)因为角 x的终边落在第三象限，所以 cos x0sin ，cos sin ，75 .1cos2 sin2 1 cos sin cos sin 11575 257答案 (1)D (2)B方法技巧正弦、余弦“sin cos ，sin cos ”的应用sin cos 与 sin cos 通过平方关系联系到一起，即(sin cos )212sin cos ，sin cos ，sin cos sin cos 2 12.因此在解题中已知 1个可求另外 2个 1 sin cos 22集 训 冲 关 1. 已知 (0，)，cos ，
5、则 tan ( )考 法 一 35A. B34 34C. D43 43解析：选 D cos 且 (0，)，sin ，35 1 cos2 45tan .故选 D.sin cos 432. 已知 sin cos ，则 sin cos 的值为_考 法 三 13解析：sin cos ，(sin cos )2sin 2 cos 2 2sin cos 13 12sin cos ，解得 sin cos .19 495答案：493. 已知 tan ，求：考 法 二 43(1) 的值；sin 4cos 5sin 2cos (2) 的值；1cos2 sin2(3)sin2 2sin cos 的值解：(1) .si
6、n 4cos 5sin 2cos tan 45tan 2 43 45( 43) 2 87(2) 1cos2 sin2 sin2 cos2cos2 sin2sin2 cos2cos2cos2 sin2cos2 tan2 11 tan2( 43)2 11 ( 43)2.257(3)sin2 2sin cos sin2 2sin cos sin2 cos2 tan2 2tan tan2 1169 83169 1.825突破点二 三角函数的诱导公式基 本 知 识 组数 一 二 三 四 五 六角 2k (kZ) 2 2正弦 sin sin_ sin_sin_ cos_ cos_余弦 cos cos_ c
7、os_ cos_ sin_sin_正切 tan tan_tan_tan_ 基 本 能 力 6一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)sin( )sin 成立的条件是 为锐角( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 的奇数2倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化( )答案：(1) (2)二、填空题1已知 cos( ) ，则 sin 等于_35 (32 )解析：cos( )cos ，则 cos 35 ，sin sin cos .35 (32 ) (2 ) 35答案：352已知 sin ，则 sin 等于_( 6) 45 ( 76)解析：sin sin si
8、n .( 76) ( 6) ( 6) 45答案：453已知 tan ，则 tan _.(6 ) 33 (56 )解析：tan tan tanError! Error! Error!Error!(56 ) ( 6 ) 6tan .(6 ) 33答案：331利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了 ”2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值7典 例 感 悟 (2019武威六中第一次阶段性检测)已知 f( ).sin(2 )tan cos 2 14sin(
9、32 ) cos cos 2 (1)化简 f( )；(2)若 ，12 14 122 k 2k ， kZ.6 76 ， .3 3 6 3故 的取值范围为 .(6， 3)方 法 技 巧 应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值问题要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错针 对 训 练 1(2018玉林陆川中学期中)sin 570的值是( )A B
10、.12 12C. D32 32解析：选 A sin 570sin(720150)sin 150 .故选 A.122(2019湖北八校联考)已知 sin( ) ，则 tan ( )13 (2 )8A2 B22 2C. D224 2解析：选 D sin( ) ，sin ，tan 2 ，13 13 (2 ) cos sin 2故选 D.3(2019南充模拟)设 f(x) asin( x ) bcos( x )，其中 a， b， ， 都是非零实数若 f(2 019)1，则 f(2 020)( )A1 B2C0 D1解析：选 A f(2 019) asin(2 019 ) bcos(2 019 ) asin bcos 1， asin bcos 1， f(2 020) asin(2 020 ) bcos(2 020 ) asin bcos 1.故选 A.4化简： _.sin2 cos cos 2 tan sin3(2 )sin 2 解析：原式 1.sin2 cos cos tan cos3 sin sin2 cos2sin2 cos2答案：1 9
