1、1第五节 三角恒等变换突破点一 三角函数求值基 本 知 识 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式C( ) cos( )cos cos sin sin C( ) cos( )cos_ cos_ sin_ sin_S( ) sin( )sin_ cos_ cos_ sin_S( ) sin( )sin_ cos_ cos_ sin_T( ) tan( ) ；tan tan 1 tan tan 变形：tan tan tan( )(1tan tan )T( ) tan( ) ；tan tan 1 tan tan 变形：tan tan tan( )(1tan tan )2.二倍角公式S2sin 2 2si
2、n_ cos_ ；变形：1sin 2 (sin cos )2，1sin 2 (sin cos )2C2cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 ；变形：cos 2 ，1 cos 22sin2 1 cos 22T2 tan 2 2tan 1 tan2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)存在实数 ， ，使等式 sin( )sin sin 成立( )(2)在锐角 ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( )(3)公式 tan( ) 可以变形为 tan tan tan( )tan tan 1 tan tan (1tan
3、tan )，且对任意角 ， 都成立( )(4)公式 asin x bcos x sin(x )中 的取值与 a， b 的值无关( )a2 b2答案：(1) (2) (3) (4)2二、填空题1已知 tan 2，则 tan _.( 4)解析：tan 2，tan .( 4) tan 11 tan 13答案：132化简 cos 18cos 42cos 72sin 42的值为_解析：法一：原式cos 18cos 42sin 18sin 42cos(1842)cos 60 .12法二：原式sin 72cos 42cos 72sin 42sin(7242)sin 30.12答案：123. cos 154s
4、in 215cos 15_.3解析： cos 154sin 215cos 15 cos 152sin 152sin 15cos 3 315 cos 152sin 15sin 30 cos 15sin 152cos(1530)3 32cos 45 .2答案： 24设 sin 2cos ，则 tan 2 的值为_解析：由题可知，tan 2，sin cos tan 2 .2tan 1 tan2 43答案：43全 析 考 法 考法一 三角函数式的化简求值 1三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值2常用的基本变换方法有
5、：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等例 1 (1) ( )sin 47 sin 17cos 30cos 173A B32 12C. D.12 32(2)化简： _ .2cos2 12tan( 4 )sin2( 4 )解析 (1)sin 47 sin 17cos 30cos 17sin 17 30 sin 17cos 30cos 17sin 17cos 30 cos 17sin 30 sin 17cos 30cos 17sin 30 .12(2)法一：原式cos2 sin221 tan 1 tan (sin 4cos cos 4sin )2 cos2 sin
6、2 1 tan 1 tan cos sin 2 cos2 sin2 (1 sin cos )(1 sin cos ) cos sin 21.法二：原式cos 22tan( 4 )cos2( 4 )cos 22sin( 4 )cos( 4 ) 1.cos 2sin( 2 2 ) cos 2cos 2答案 (1)C (2)1方法技巧 三角函数式的化简要遵循“三看”原则4考法二 三角函数的给值求值(角) 例 2 (1)(2019辽宁师大附中期末)若 ， 均为锐角且 cos ，cos( )17 ，则 sin ( )1114 (32 2 )A B.12 12C D.32 32(2)(2019福州外国语学
7、校适应性考试)已知 A， B 均为钝角，sin 2 cos A (A 3)，且 sin B ，则 A B( )5 1510 1010A. B.34 54C. D.74 76解析 (1) ， 均为锐角，00)求周期；2(3)根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y Asin(x ) t 或y Acos(x ) t 的单调区间 针对训练(2019襄阳四校期中联考)设函数 f(x)cos cos xsin 2( x) .( 2 x) 12(1)求函
8、数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若 f( ) 1，且 ，求 f 的值3210 ( 8， 38) ( 8)解：(1) f(x)sin xcos xsin 2x (sin 2xcos 2x)12 1281 sin 1，22 (2x 4) f(x)的最小正周期 T .22由 2k 2 x 2 k ， kZ， 2 4 2得 k x k ， kZ，38 8 f(x)的单调递增区间为 ， kZ.k 38， k 8(2) f( ) sin 1 1，22 (2 4) 3210sin .(2 4) 35由 知 2 ，( 8， 38) 4 ( 2， )cos .(2 4) 45 f sin 1( 8) 22 2( 8) 4 sin 122 (2 4) 4 122sin(2 4)cos 4 cos(2 4)sin 4 1 .22 (3522 4522) 3109
