1、128.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例(第 2 课时)学习目标1.了解方位角、坡度、坡角的概念,能用解直角三角形的知识解决有关问题 .2.体验数形结合的数学思 想和方法,提升分析问题、解决问题的能力 .学习过程一、复习旧知1.解直角三角形常用的几个关系?答:2.什么叫做方位角?答:二、探究应用解直角三 角形解决方位角问题【例 1】(教材例 5)如图所示,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向,距离灯塔 80 n mile 的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处 .这时, B 处距离灯塔 P 有多远(结果取整数)?解:三、探究应
2、用解直角三角形解决坡度、坡角问题【例 2】(教材 P77 练习 2)如图,拦水坝的横断面为梯形 ABCD,斜面坡度 i=1 1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比,斜面坡度 i=1 3 是指 DE 与 CE 的比,根据图中数据,求:(1)坡角 和 的度数;(2)斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位) .四、反思小结1.方位角: 坡度: 坡角: 2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么?答:2五、尝试应用1.如图,海中有一小岛 A,它周围 8 海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上,航行 12 海里到达 D 点,这时
3、测得小岛 A 在北偏东 30方向上 .如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?【思路点拨】过 A 作 AC BD 于点 C,求出 CAD、 CAB 的度数,求出 BAD 和 ABD,根据等角对等边得出 AD=BD=12,根据含 30 度角的直角三角形性质求出 CD,根据勾股定理求出AC 即可 .解:2.如图,利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为 0.6 m 的一块(图中的阴影部分),其横截面是梯形 ABCD,其中, AB=CD,已知渠道内坡度为 1 1.5,渠道地面宽 BC 为 0.5 m.(1)计算横截面 ABCD 的面积;(2)求修一条长为 100 m 的这种渠道要挖去的土方数
4、 .【思路点拨】(1)分别求得梯形的两个底面的长和高,利用梯形的面积计算即可;(2)利用底面积 高 =体积进行计算即可 .解:评价作业(满分 100 分)1.(8 分)如图所示,某商场自动扶梯的长 l 为 10 米,该自动扶梯到达的高度 h 为 6 米,自动扶梯与地面所成的角为 ,则 tan 等于( )A.343B.43C.35D.452.(8 分)如图所示,小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点 A 处)在她家北偏东 60 度方向 500 m 处,那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是( )A.250 mB.250 m3C. m5003 3D.250 m2
5、3.(8 分)一段公路的坡度为 1 3,某人沿这段公路路面前进 100 米,那么他上升的最大高度是( )A.30 米 B.10 米C.30 米 D.10 米10 104.(8 分)一只船向正东方向航行,上午 7 时在灯塔 A 的正北方向的 C 处,上午 9 时到达灯塔 A 的北偏东 60方向的 B 处,已知船的速度为每小时 20 千米,那么 AB 的长是( )A. 千米 B. 千米1033 2033C. 千米 D. 千米4033 80335.(8 分)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i=1 2.4,如果它把物体送到离地面 10米高的地方,那么物体所经过的路程为 米 . 6.(8 分)一只船向
6、正东方向航行,上午 9 点到达一座灯塔的西南方向 68 海里处,上午 11点到达这座灯塔的正南方向,这只船航行的速度是 海里 /时 .(答案可带根号) 7.(8 分)如图所示,一游人由山脚 A 沿坡角为 30的山坡行走 600 m,到达一个景点 B,再由 B 沿山坡 BC 行走 200 m 到 达山顶 C,若在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45,则山高 CD 等于 (结果用根号表示) . 48.(10 分)如图所示,一船在 A 处测得北偏东 45方向有一灯塔 B,船向正东方向以每小时 20 海里的速度航行 1.5 小时到达 C 处时,又观测到灯塔 B 在北偏东 15方向上,求此时船 与
7、灯塔相距多少海里 .9.(10 分)如图所示,沿江堤坝的横断面是梯形 ABCD,坝顶 AD=4 m,坝高 AE=6 m,斜坡 AB的坡比 i=1 2, C=60,求斜坡 AB,CD 的长 .10.(12 分)如图所示,某渔船在小岛 O 南偏东 75方向的 B 处遇险,在小岛 O 南偏西45方向 A 处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛 O相距 8 海里,渔船在中国渔政船的正东方向上 .(1)求 BAO 与 ABO 的度数(直接写出答案);(2)若中国渔政船以每小时 28 海里的速度沿 AB 方向赶往 B 处救援,能否在 1 小时内赶到?请说明理由 .(参考数据:
8、tan 753 .73,tan 150 .27, 1 .41, 2 .45)2 611.(12 分)李明同学积极响应学校号召,利用假期参加了班级组织的“研学旅行”活动,在参观某红色景区时,李明站在台阶 DF 上发现了对面山坡 BC 上有一块竖立的标语牌 AB,他在台阶顶端 F 处测得标语牌顶点 A 的仰角为 45,标语牌底端 B 的仰角为 32,如图,已知台阶高 EF 为 3 米,山坡坡面 BC 的长为 25 米,山坡 BC 的坡度为 1 0.75,求标语牌 AB 的高度 .(结果精确到 0.1 米,参考数据 sin 320 .53,cos 320 .85,tan 320 .62)5参考答案学
9、习过程一、复习旧知1.答:解直角三角形常用的关系有 3 个:(1)三边之间关系: a2+b2=c2(勾股定理);(2)两锐角之间关系: A+ B=90;(3)边角之间关系:sin A= ,cos A= ,tan A= .ac bc ab2.答:以正北、正南方向为基准,描述物体位置的角 .二、 探究应用解直角三角形解决方位角问题解:在 Rt APC 中,PC=PAcos(90-65)=80cos 2572 .505.在 Rt BPC 中, B=34, sin B= ,PCPBPB= 130(n mile) .PCsinB 72.505sin34 72.5050.559因此,当海轮到达位于灯塔 P
10、 的南偏东 34方向上的 B 处时,它距离灯塔 P 大约 130 n mile.三、探究应用解直角三角形解决坡度、坡角问题解:(1)由已知得 tan = , 33 .69,tan = , 18 .43.11.5=23 13(2)在 Rt ABF 中, sin = ,AB= 10 .9(m).6AB 6sin 60.55四、反思小结1.以正北、正南方向为基准,描述物体位置的角 .斜坡的铅直高度与水平宽度的比 .斜坡的坡面与水平面的夹角 .2.答:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;(3)得到数学问题
11、的答案;(4)得到实际问题的答案 .五、尝试应用1.解:只要求出 A 到 BD 的最短距离是否在以 A 为圆心,以 8 海里的圆内或圆上即可,如图,过 A 作 AC BD 于点 C,则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离,6 CAD=30, CAB=60, BAD=60-30=30, ABD=90-60=30, ABD= BAD,BD=AD= 12 海里, CAD=30, ACD=90,CD= AD=6 海里,12由勾股定理得: AC= =6 10 .3928,122-62 3即渔船继续向正东方向行驶,没有触礁的危险 .2.解:(1) 渠道内坡度为 1 1.5,BEAE= 1 1.5,BE
12、= 0.6 米,AE= 0.9 米,AD=AE+EF +FD=2AE+BC=20.9+0.5=2.3(米), 截面 ABCD 的面积为 (AD+BC)BE= (2.3+0.5)0.6=0.84(平方米);12 12(2)修一条长为 100 m 的这种渠道要挖去的土方数为 1000.84=84(立方米) .评价作业1.A 2.A 3.D 4.D5.26 6.17 7.(100 +300) m2 28.解:如图所示,过 C 作 CD AB,垂足为 D,过 C 作 CE AC,交 AB 于 E.在 Rt ACD 中, DAC=45,AC=201.5=30,CD=AC sin 45=30 =15 ,在
13、 Rt BCD 中,22 2 BCD= BCE+ ECD=45+15=60,BC= =30 (海里) .答:此时船与灯塔相距 30CDcos60 2海里 .29.解: 斜坡 AB 的坡比 i=1 2,AEBE= 1 2.又 AE=6 m,BE= 12 m,AB=6 (m),作 DF BC 于 F(如图所示),则得矩形 AEFD,有 DF=AE=6 m, C=60,62+122 5CD= =4 (m).答:斜坡 AB,CD 的长分别是 6 m,4 m.DFsin60 3 5 3710.解:(1) BAO=45, ABO=15. (2)能 .过点 O 作 OC AB 于点 C,如图所示,则 AOC
14、 与 BOC 都是直角三角形,由(1)得 BAO=45, ABO=15, AOC 是等腰直角三角形, AC=OC. 在 Rt AOC 中, AC=OAcos 45=8 =4 5 .64,OC=AC 5 .64,在 Rt BOC 中,22 2BC= 20 .89.AB=AC+BC 5 .64+20.89=26.53(海里) . 中国渔政船的速度OCtan ABO 5.64tan15是每小时 28 海里, 中国渔政船能在 1 小时内赶到 .11.解:延长 AB 交 ED 的延长线于点 G,过点 F 作 FH 垂直于 AB 的延长线于点 H,即 AHF=90, AGE=90, 山坡坡面 BC 的长为 25 米,山坡 BC 的坡度为 1 0.75, ,BG2+CG2=BC2.BGCG= 10.75BG= 20.EF=HG= 3,BH=BG-HG= 17. AFH=45, BFH=32,tan 320 .62,AH=FH , 0 .62.BHFHAH=FH 27 .42,BH0.62AB=AH-BH 27 .42-1710 .4(米) .答:标语牌 AB 的高度为 10.4 米 .8
