1、1第 2 节 排列与组合考试要求 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.知 识 梳 理1.排列与组合的概念名称 定义排列 按照一定的顺序排成一列组合从 n 个不同元素中取出m(m n)个不同元素 合成一组2.排列数与组合数(1)从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数.(2)从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A n(n1)( n2)( n m1) .mnn！（ n m
2、） ！(2)C mnn（ n 1） （ n 2） （ n m 1）m！ (n， mN *，且 m n).特别地 C 1n！m！ （ n m） ！ 0n性质(1)0！1；A n！. n(2)C C ；C C Cmn n mn mn 1 mn m 1n微点提醒1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)2(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素
3、的先后顺序.( )(3)若组合式 C C ，则 x m 成立.( )xn mn(4)(n1)！ n！ nn！.( )(5)kC nC .( )kn k 1n解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若 C C ，则 x m 或 n m，故(3)错.xn mn答案 (1) (2) (3) (4) (5)2.(选修 23P18 例 3 改编)从 4 本不同的课外读物中，买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，则不同的送法种数是( )A.12 B.24 C.64 D.81解析 4 本不同的课外读物选
4、 3 本分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A 24.34答案 B3.(选修 23P26 知识改编)计算 C C C C 的值为_(用数字作答).37 47 58 69解析 原式C C C C C C C 210.48 58 69 59 69 610 410答案 2104.(2019济宁质检)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144 B.120 C.72 D.24解析 “插空法” ，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A 43224.34答案 D5.(一题多解)(2018全国卷)从 2 位女生
5、、4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字作答).解析 法一 可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 C C 12 种；1224第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C C 4 种.根据分类加法计数原理知，至少214有 1 位女生入选的不同的选法有 12416 种.法二 从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C 20 种，从 6 人中任选 3 人都是男生，不同的363选法有 C 4 种，所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20416 种.34答案 166.(2018浙江卷)从 1，3，5，7，9 中任取 2
6、个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答).解析 若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C C A ；若取的 4 个数字25234包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C C C A .综上，一共可以组成的没有重复数字的四2513133位数的个数为 C C A C C C A 7205401 260.25234 2513133答案 1 260考点一 排列问题【例 1】 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体
7、排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解 (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A 765432 520(种).57(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A 种方法，余下 4 人站后排，有 A 种方法，共有 A37 4A 5 040(种).37 4(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A 种方法，再将女生全排列，4有 A 种方法，共有 A A 576(种).4 4 4(4)(插空法)先排女生，有 A 种方法，再在女
8、生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排4男生，有 A 种方法，共有 A A 1 440(种).35 4 35(5)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A 种排列方法，共有 5A63 600(种).6法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另 6 人中的两人，有 A 种排法，其他有 A26种排法，共有 A A 3 600(种).5 265(6)法一 (特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有 A 种方法；甲不在最右边64时，可从余下的 5 个位置任选一个，有 A 种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的 5 个15中任选一个有 A 种，其余人全排列，只有
9、 A 种不同排法，共有 A A A A 3 720.15 5 6 15155法二 (间接法)7 名学生全排列，只有 A 种方法，其中甲在最左边时，有 A 种方法，乙7 6在最右边时，有 A 种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 A 种方法，6 5故共有 A 2A A 3 720(种).7 6 5规律方法 排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩
10、法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练 1】 (2019天津和平区二模)7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )A.120 B.240 C.360 D.480解析 第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有 3 种，第二步，前排 3 人形成了 4个空，任选一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 人形成了 5 个空，任选一个空加一人有 5 种，此时形成 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种，根据分步乘法计数原理有3456360 种方法.答案 C考点二 组合问题【例 2】
11、某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C 561(种)，某一种假货必须在内的不同234取法有 561 种.5(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 种或者 C C C 5 984(种).34 35 234 34某一种假货不能在
12、内的不同取法有 5 984 种.(3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C C 2 100(种).120215恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种.(4)选取 2 种假货有 C C 种，选取 3 种假货有 C 种，共有选取方式 C C C 2 120 215 315 120215 3151004552 555(种).至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种.(5)选取 3 种的总数为 C ，选取 3 种假货有 C 种，因此共有选取方式35 315C C 6 5454556 090(种).35 315至多有 2 种假货在内的不同的取法有
13、6 090 种.规律方法 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练 2】 (1)(一题多解)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为( )A.14 B.24 C.28 D.4
14、8(2)(2019杭州二模)若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种解析 (1)法一 4 人中至少有 1 名女生包括 1 女 3 男及 2 女 2 男两种情况，故不同的选派方案种数为C C C C 241614.12 34 2 24法二 从 4 男 2 女中选 4 人共有 C 种选法，4 名都是男生的选法有 C 种，故至少有 1 名46 4女生的选派方案种数为 C C 15114.46 4(2)共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，
15、或 2 个奇数和 2 个偶数，故不同的取法有 C C C C 66(种).45 4 2524答案 (1)A (2)D6考点三 分组、分配问题【例 3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法.(2)(2019西安月考)某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A.80 种 B.90 种 C.120 种 D.150 种(3)A， B， C， D， E， F 六人围坐在一张圆
16、桌上开会， A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， B， C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )A.24 种 B.30 种 C.48 种 D.60 种解析 (1)先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有 种方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学校，有 A 6 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有 A 90 种分派方法.3 3(2)分两类：一类，第一步将 5 名老师按 2，2，1 分成 3 组，其分法有 种，第二步将分好的 3 组分派到 3 个学校，则有 A 90 种分派方法；3另一类，第一步将 5 名老师按 3，1，1 分成 3 组，其分
17、法有 种，第二步将分好的 3 组分派到 3 个学校，则有 A 60 种分派方法.3所以不同的分派方法的种数为 9060150(种).(3)B， C 二人必须坐相邻的两把椅子，有 4 种情况， B， C 可以交换位置，有 A 2 种情况；2其余三人坐剩余的三把椅子，有 A 6 种情况，故共有 42648 种情况.3答案 (1)90 (2)D (3)C规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 A (n 为均分的组数)，避免重复计n数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组
18、元素个数相等，则分组时应除以 m！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.7【训练 3】 (1)(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种(2)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).解析 (1)先把 4 项工作分为 2，1，1 共
19、 3 组，有 6 种分法，再将 3 组对应 3 个志愿者，有 A 6 种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式有 6636 种.3(2)分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张、1 张分给 4 个人中的 2 个人，种数为C C A 36；另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种数为 A 24，则获奖情23124 34况总共有 362460(种).答案 (1)D (2)60思维升华1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，
20、计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.易错防范1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.2.解组合应用题时，应注意“至少” 、 “至多” 、 “恰好”等词的含义.基础巩固题组(建议用时：35 分钟)一、选择题
21、81.用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8 B.24 C.48 D.120解析 末位数字排法有 A 种，其他位置排法有 A 种，共有 A A 48(种).12 34 1234答案 C2.不等式 A 6A 的解集为( )x8 x 28A.2，8 B.2，6 C.7，12 D.8解析 6 ，8！（ 8 x） ！ 8！（ 10 x） ！ x219 x840，解得 7x12.又 x8， x20，7 x8， xN *，即 x8.答案 D3.从 6 本不同的书中选出 4 本，分别发给 4 个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有( )A.180 种 B.
22、220 种 C.240 种 D.260 种解析 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的 4 本中分一本，然后再选 3本分给 3 个同学，故有 A A 240 种.14 35答案 C4.(一题多解)从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )A.18 B.24 C.30 D.36解析 法一 选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C C 18 种，选出的 3 人中2413有 1 名男同学 2 名女同学的方法有 C C 12 种，故 3 名学生中男女生都有的选法有1423C C C C 30 种.2413 1423法二 从 7
23、 名同学中任选 3 名的方法数，再除去所选 3 名同学全是男生或全是女生的方法数，即 C C C 30.37 34 3答案 C5.从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a， b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是( )A.9 B.10 C.18 D.209解析 由于 lg alg blg (a0， b0)，ablg 有多少个不同的值，只需看 不同值的个数.ab ab从 1，3，5，7，9 中任取两个作为 有 A 种，又 与 相同， 与 相同，lg alg b 的不ab 25 13 39 31 93同值的个数有 A 218.25答案 C6.10 名同学合影，
24、站成了前排 3 人，后排 7 人，现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( )A.C A B.C A C.C A D.C A275 272 2725 2735解析 首先从后排的 7 人中抽 2 人，有 C 种方法；再把 2 个人在 5 个位置中选 2 个位置进27行排列有 A 种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是 C A .25 2725答案 C7.(2019济南模拟)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种解析 特殊元素优先安排，先让甲从
25、头、尾中选取一个位置，有 C 种选法，乙、丙相邻，12有 4 种情况，乙、丙可以交换位置，有 A 种情况，其余 3 人站剩余的 3 个位置，有 A 种2 3情况，由分步乘法计数原理知共有 4C A A 96 种.1223答案 C8.福州西湖公园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )A.90 种 B.180 种 C.270 种 D.360 种解析 根据题意，分 3 步进行分析：在 6 位志愿者中任选 1 个，安排到甲展区，有C 6 种情况；在剩下的 5 个志愿者中任选 1 个，安排到乙展区，有 C 5
26、 种情况；16 15将剩下的 4 个志愿者平均分成 2 组，然后安排到剩下的 2 个展区，有 A 6 种情况，2则一共有 656180 种不同的安排方案.答案 B二、填空题9.从 6 名同学中选派 4 人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙10两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有_种(用数字作答).解析 特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外 4 个人中选择一人参加，有 C 种方案；然后从剩下的 5 个人中选择 3 个人参加剩下 3 科，有 A 种方案.故共14 35有 C A 460240 种方案.1435答案 24010.已知 ，则 m_.解析 由
27、组合数公式化简整理得 m223 m420 解得 m2 或 m21(舍去).答案 211.在一展览会上，要展出 5 件艺术作品，其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2 件绘画作品不能相邻，则该次展出这 5 件作品不同的摆放方案共有_种(用数字作答).解析 将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建筑设计展品全排列，再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故共有 A A A 24 种不同的展出方案.2223答案 2412.(2019烟台模拟)某班主任准备请 2019 届毕业生做报告，要从甲、
28、乙等 8 人中选 4 人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有_种(用数字作答).解析 若甲、乙同时参加，有 C C C A A 120 种，若甲、乙有一人参与，有2261222C C A 960 种，从而总共的发言顺序有 1 080 种.12364答案 1 080能力提升题组(建议用时：15 分钟)13.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A， B， C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去 A 社区， 乙不去 B 社区，则不同的安排方法种数为( )A.8 B.7 C.6 D.5解析 根据
29、题意，分 2 种情况：乙和甲一起去 A 社区，此时将丙丁二人安排到 B， C 社区即可，有 A 2 种情况，乙不去 A 社区，则乙必须去 C 社区，若丙丁都去 B 社区，有 12种情况，若丙丁中有 1 人去 B 社区，则先在丙丁中选出 1 人，安排到 B 社区，剩下 1 人安11排到 A 或 C 社区，有 224 种情况，则不同的安排方法种数有 2147.答案 B14.(2019天津和平区一模)把 8 个相同的小球全部放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则不同的放法种数为( )A.35 B.70 C.165 D.1 860解析 根据题意，分 4 种情况讨论：没有空盒，将 8 个相同的小球排
30、成一列， 排好后，各球之间共有 7 个空位，在 7 个空位中任选 3 个，插入隔板，将小球分成 4 组，顺次对应 4 个盒子，有 C 35 种放法；37有 1 个空盒，在 4 个盒中任选 3 个，放入小球，有 C 4 种选法，将 8 个相同的小球排34成一列，排好后，各球之间共有 7 个空位，在 7 个空位中任选 2 个，插入隔板，将小球分成 3 组，顺次对应 3 个盒子，有 C 21 种分组方法，则有 42184 种放法；27有 2 个空盒，在 4 个盒中任选 2 个，放入小球，有 C 6 种选法，将 8 个相同的小球排24成一列，排好后，各球之间共有 7 个空位，在 7 个空位中任选 1
31、个，插入隔板，将小球分成 2 组，顺次对应 2 个盒子，有 C 7 种分组方法，则有 6742 种方法；17有 3 个空盒，即将 8 个小球全部放进 1 个盒子，有 4 种放法.故一共有 3584424165 种放法.答案 C15.(2019江西八所重点中学模拟)摄像师要对已坐定一排照像的 5 位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有 2 人座位不调整，则不同的调整方案的种数为_(用数字作答).解析 从 5 人中任选 3 人有 C 种，将 3 人位置全部进行调整，有 C C C 种.35 12 1 1故有 NC C C C 20 种调整方案.35 12 1 1答案 2016.设集合 A( x1
32、， x2， x3， x4， x5)|xi1，0，1， i1，2，3，4，5，那么集合 A中满足条件“1| x1| x2| x3| x4| x5|3”的元素有_个(用数字作答).解析 因为 xi1，0，1， i1，2，3，4，5，且1| x1| x2| x3| x4| x5|3，所以 xi中至少两个为 0，至多四个为 0. xi(i1，2，3，4，5)中 4 个 0，1 个为1 或 1， A 有 2C 10 个元素；15 xi中 3 个 0，2 个为1 或 1， A 有 C 2240 个元素；25 xi中 2 个 0，3 个为1 或 1， A 有 C 22280 个元素；3512从而，集合 A
33、中共有 104080130 个元素.答案 130新高考创新预测17.(多填题)将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人.(1)有_种不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有_种不同的保送方法.解析 (1)5 名学生可分成 2，2，1 和 3，1，1 两种形式，当 5 名学生分成 2，2，1 时，共有 C C A 90 种方法；当 5 名学生分成 3，1，1 时，共有 C A 60 种方法.根据分类加1225233 353法计数原理知共有 9060150 种保送方法.(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有 2，2，1 或 3，1，1，所以有 25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有 4 种方法，所以不同的保送方案共有254100(种).答案 (1)150 (2)100
