1、 共5页 第1页 电子科技大学 2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 692数学物理基础 注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。 一 选择题（10小题，每题3分，共30分, 注:每题只有一个正确答案） 1. 判断级数11 nnin= 的敛散性 ( ) (A) 发散 (B) 收敛 (C) 条件收敛 (D) 绝对收敛 2. 已知01a，那么幂级数0 1nnnna za= + 的收敛半径为 ( ) (A) 1a (B) a (C) 1 (D) 2a 3. 设正项级数=1nna 收敛，正项级数=1nnb 发散，则( ) (A) nnnba=1必收敛 (B) nnnba
2、=1必发散 (C) =12nna 必收敛 (D) =12nnb 必发散 共5页 第2页 4. 设A，B为同阶可逆矩阵，则( ) (A) BAAB = (B) 存在可逆矩阵C，使得 BACCT = (C) 存在可逆矩阵P，使得 BAPP =1 (D) 存在可逆矩阵P和Q，使得 BPAQ = 5. k为整数，则 ii = ( ) (A) (2)2 ikep p+(B) ()2 kep p+(C) ()2 ikep p+(D) (2)2 kep p+注：. 质量为m的非相对论性粒子在平面中运动，它的运动由极坐标r，q 以及对时间的导数r&，q&共同描述。其势能为 2krU = ，其中k为常数。请解答
3、6,7题 6. 下列选项中为描述此粒子拉格朗日量的是？( ) (A) ( ) 222221 krrrmL += q& (B) ( ) 22221 krrmL += q& (C) ( ) 2222221 krrrmL += qq & (D) ( ) 222221 krrrrrmL += qq & 7. 下列的选项中哪一项一直为常数？( ) (A) ( )222 q& rrm + (B) 22q&mr (C) q&mr (D) q&2mr 共5页 第3页 注：自由空间中火箭的运动方程可写为 0=+ dtdmudtdvm 其中m为火箭的质量，v为其速度，t为时间，u是一个常数。请解答8,9题 8 其
4、中常数u代表了( ) (A) 火箭在 0=t 时的速度 (B) 火箭在其静止参考系中的瞬时速度 (C) 火箭排出燃料相对于火箭的速度 (D) 火箭排出燃料在静止参考系的速度 9. 当速度v为m的函数时，此运动方程可以求解。假设火箭在出发时 0=v ， 0mm = ，则方程的解v为( ) (A) ( )mmu /exp 0 (B) ( )mmu /sin 0 (C) ()tmmu 0ln (D) 以上答案都不是正确的解 10. 设 Cz 且 1z ，a为复数，则函数 |)( azzf n += 的最大值为( ) (A) |1 a+ (B) 1 (C) 2 (D) |1| a+ 二填空题（10个空
5、，每空3分，共30分） 11. 计算积分Czdz = ( ),其中C为从原点到点34i+ 的直线段。 12. 计算积分 2211z dzz= = ( )，（注：其中积分路径是绕原点为圆心，2为半径的圆逆时针方向）。 共5页 第4页 13. 在下列场中运动时动量P和角动量M 的哪些分量守恒? (a) 无限大均匀平面场(无限大平面为xy平面) ( ) (b) 无限长均匀圆柱场(圆柱轴为z轴) ( ) (c) 无限长均匀棱柱场(棱边平行于z轴) ( ) (d) 两个点场(两个点位于z轴上) （ ） (e) 无限大均匀半平面场(无限大半平面是xy平面上以y轴为界的) ( ) (f) 均匀圆锥场(圆锥轴
6、为z轴) ( ) (g) 均匀圆环场(圆环轴为z轴) ( ) (h) 无限长均匀圆柱形螺旋场(绕螺旋轴z轴旋转, h为螺距) ( ) 三简答题（2小题，每小题15分，共30分） 14. 有一个孤立的容器，被分成左右两半。起初左半部装有温度为 0T 的理想气体，右半部是空的。如果在隔板上开一个小孔，求达到平衡时的温度。并说明原因。 15. 一理想气体起初被限制在体积为 21 VV + 的绝热容器 1V 部分，容器的剩余部分是空的。当隔板抽调后，气体膨胀而充满真个容器。如果气体的初始温度为T ，求它的最终温度。并说明原因。 1V 2V 绝热 共5页 第5页 四计算题（4小题，每小题15分，共60分
7、） 16.用复数理论证明： 1coscos()22sinsin2sin3 sin2sin 2nnq qqqqq q+= 。 17. 黑体辐射。(a) 推导麦克斯韦关系 VT TpVS = ， (b) 麦克斯韦从他的电磁场理论发现，各向同性的辐射场的压强p等于能量密度 ( )Tu 的31，即： () ( )VTUTup 3131 = （V为空腔体积）， 用热力学第一定律及第二定律及(a)中结果证明： udTduTu 3131 = (c) 解此方程得到u对T的斯特番(Stefan)定律。 18. 将函数 () 1zfz z= + ，在 12z内展开成幂级数,其中z为复数。 19. 考虑下面的厄米矩阵 =21212iiiiT (a) 计算 ( ) ( )TTrT ,det 。 (b) 根据 ( ) ( ) nn TTrT llllll += LL 2121 ,det ，求T的本征值；验证它们的和与积同(a)中结果相同。写出T的对角形式。 (c) 求T的本征矢，并在简并区，构造两个线性无关的本征矢。使它们正交，并验证它们都和第三个本征矢正交。（三个本征矢都需要归一化） (d) 构造幺正矩阵S ,使T对角化，证明相似变换S使T变换成适当的对角形式。
