1、2017年四川省乐山市中考真题数学 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 . 1.-2的倒数是 ( ) A. 12B.12C.2 D.-2 解析：根据乘积是 1的两个数叫做互为倒数解答 . (-2) ( 12)=1， -2的倒数是 12. 答案： A. 2.随着经济发展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长， 2016 年国民出境旅游超过120 000 000人次，将 120 000 000用科学记数法表示为 ( ) A.1.2 109 B.12 107 C.0.12 109 D.1.2 108 解析：用科学记数法
2、表示较大的数时，一般形式为 a 10n，其中 1 |a| 10， n为整数，据此判断即可 . 120 000 000=1.2 108. 答案： D. 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 . A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确 . 答案： D. 4.含 30角的直角三角板与直线 l1、 l2的位置关系如图所示，
3、已知 l1 l2， ACD= A，则 1=( ) A.70 B.60 C.40 D.30 解析：先根据三角形外角性质得到 CDB 的度数，再根据平行线的性质，即可得到 1 的度数 . ACD= A=30， CDB= A+ ACD=60， l1 l2， 1= CDB=60 . 答案： B. 5.下列说法正确的是 ( ) A.打开电视，它正在播广告是必然事件 B.要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查 C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确 D.甲、乙两人射中环数的方差分别为 S 甲 2=2， S 乙 2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定 解析：根据随机事件的概念、全
4、面调查和抽样调查的关系、方差的性质判断即可 . A、打开电视，它正在播广告是随机事件， A错误； B、要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查， B错误； C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确， C正确； D、甲、乙两人射中环数的方差分别为 S 甲 2=2， S 乙 2=4，说明甲的射击成绩比乙稳定， D错误 . 答案： C. 6.若 a2-ab=0(b 0)，则 aab=( ) A.0 B.12C.0或 12D.1或 2 解析： a2-ab=0(b 0)， a=0或 a=b， 当 a=0时， 0aab. 当 a=b时， 12aab. 答案： C. 7.如图是
5、“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的， AB=CD=0.25米， BD=1.5米，且 AB、 CD与水平地面都是垂直的 .根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( ) A.2米 B.2.5米 C.2.4米 D.2.1米 解析：连接 OF，交 AC 于点 E， BD是 O的切线， OF BD， 四边形 ABDC是矩形， AD BD， OE AC， EF=AB， 设圆 O的半径为 R，在 Rt AOE中， 0 .7 522A C B DAE 米， OE=R-AB=R-0.25， AE2+OE2=O
6、A2， 0.752+(R-0.25)2=R2， 解得 R=1.25. 1.25 2=2.5(米 ). 答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 2.5米 . 答案： B. 8.已知 1 3xx，则下列三个等式： 221 7x x， 1 5xx ， 2x2-6x=-2 中，正确的个数有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析： 1 3xx， 21 9xx，整理得： 221 7x x，故正确 . 21145xxxx ，故错误 . 方程 2x2-6x=-2两边同时除以 2x 得： 13xx ，整理得： 1 3xx，故正确 . 答案： C. 9.已知二次函数 y=x2-2mx(m为常数 )
7、，当 -1 x 2 时，函数值 y的最小值为 -2，则 m的值是( ) A.32B. 2 C.32或 2 D. 32或 2 解析：将二次函数配方成顶点式，分 m -1、 m 2 和 -1 m 2 三种情况，根据 y 的最小值为 -2，结合二次函数的性质求解可得 . y=x2-2mx=(x-m)2-m2， 若 m -1，当 x=-1时， y=1+2m=-2， 解得： m= 32； 若 m 2，当 x=2时， y=4-4m=-2， 解得： m=32 2(舍 )； 若 -1 m 2，当 x=m 时， y=-m2=-2， 解得： m= 2 或 m= 2 -1(舍 )， m的值为 32或 2 . 答案：
8、 D. 10.如图，平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的边 OA、 OC分别落在 x、 y轴上，点 B坐标为(6， 4)，反比例函数 6yx的图象与 AB 边交于点 D，与 BC 边交于点 E，连结 DE，将 BDE沿 DE翻折至 BDE处，点 B恰好落在正比例函数 y=kx图象上，则 k的值是 ( ) A. 25B. 121C. 15D. 124解析：矩形 OABC， CB x轴， AB y轴， 点 B坐标为 (6， 4)， D的横坐标为 6， E的纵坐标为 4， D， E在反比例函数 6yx的图象上， D(6， 1)， E(32， 4)， 32 96 2BE ， BD=4-1=3，
9、22 32 13E D B E B D ， 连接 BB，交 ED 于 F，过 B作 B G BC于 G， B， B关于 ED 对称， BF=B F， BB ED， BF ED=BE BD， 即 92 1 3 33 2BF ， 913BF， 1813BB， 设 EG=x，则 92BG x， BB 2-BG2=B G2=EB 2-GE2， 2 22 21 8 9 92213 xx ， x=4526， EG=4526， CG=4213， B G=5413， B (4213， 213)， k= 121. 答案： B. 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 3分，共 18 分 . 11. 3-2= .
10、解析：根据幂的负整数指数运算法则计算 . 原式21139. 答案： 19. 12.二元一次方程组 2 223x y x y x 的解是 . 解析 ：原方程可化为：222 23xy xxy x ， 化简为 46xyxy ， 解得： 51xy. 答案 ： 51xy. 13.如图，直线 a、 b垂直相交于点 O，曲线 C关于点 O成中心对称，点 A的对称点是点 A，AB a于点 B， AD b 于点 D.若 OB=3， OD=2，则阴影部分的面积之和为 . 解析：根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答 . 直线 a、 b 垂直相交于点 O，曲线 C 关于点 O 成中心对称，点 A 的对
11、称点是点 A， AB a于点 B， AD b于点 D， OB=3， OD=2， AB=2， 阴影部分的面积之和为 3 2=6. 答案： 6. 14.点 A、 B、 C在格点图中的位置如图 5所示，格点小正方形的边长为 1，则点 C到线段 AB所在直线的距离是 . 解析：连接 AC， BC， 设点 C到线段 AB 所在直线的距离是 h， 11122 933 3 2 1 2 1 3 3 1 9 1 1 1222ABCS V， 221 2 5AB ， 13322h， 535h. 答案： 355. 15.庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭” .这句话 (文字语言 )表达了古人将事物无限分割的思想，
12、用图形语言表示为图 1，按此图分割的方法，可得到一个等式 (符号语言 )：231 1 11 221 22n . 图 2也是一种无限分割：在 ABC中， C=90， B=30，过点 C作 CC1 AB 于点 C1，再过点 C1作 C1C2 BC 于点 C2，又过点 C2作 C2C3 AB 于点 C3，如此无限继续下去，则可将利ABC 分割成 ACC1、 CC1C2、 C1C2C3、 C2C3C4、 Cn-2Cn-1Cn、 .假设 AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 . 解析：如图 2， AC=2， B=30， CC1 AB， Rt ACC1中， ACC1=30，且 BC=2 3 ，
13、AC1=12AC=1，1133C C A C， 1 111 11332 2 2A C CS A C C C V gg； C1C2 BC， CC1C2= ACC1=30， 211322C C C C，1 2 2 33 2C C C C， 12 2 1 21 1 3 3 3 32 2 2 2 2 4C C CS C C C C V gg， 同理可得， 1 2 323324C C CSV， 2 3 433324C C CSV， 2113324n n nnC C CS V， 又 S ABC=12AC BC=12 2 23=23， 2 3 13 3 3 3 3 3 3 3 32 32 2 4 2 4 2
14、 4 2 4n 313 3 3 3 3 332 4 421 4 4 4nn . 答案 ： 313 3 3 3 3 332 4 421 4 4 4nn . 16.对于函数 y=xn+xm，我们定义 y=nxn-1+mxm-1(m、 n为常数 ). 例如 y=x4+x2，则 y=4x3+2x. 已知： y=13x3+(m-1)x2+m2x. (1)若方程 y =0 有两个相等实数根，则 m的值为 . (2)若方程 y =m-14有两个正数根，则 m的取值范围为 . 解析：根据题意得 y =x2+2(m-1)x+m2， (1)方程 x2-2(m-1)x+m2=0 有两个相等实数根， =-2(m-1)
15、2-4m2=0， 解得： m=12. (2)y =m-14，即 x2+2(m-1)x+m2=m-14， 化简得： x2+2(m-1)x+m2-m+14=0， 方程有两个正数根， 22 22 1 00214141 4 0mmmm m m ， 解得： m 34且 m 12. 答案 ： (1)12； (2)m 34且 m 12. 三、本大题共 3小题，每小题 9分，共 27 分 . 17.计算： 032 s i n 6 0 1 2 0 1 7 2 7 . 解析：首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 . 答案： 02 s i n 6 0 1 2 0 1 7 2 7 2
16、 1 1 333 3 3 32 . 18.求不等式组 2 1 312052xxxx . 解析：先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可 . 答案： 2 1 312052xxxx 解不等式得： x 1， 解不等式得： x 4， 所以，不等式组的解集为 1 x 4， 故不等式组的整数解为 2， 3， 4. 19.如图，延长 Y ABCD 的边 AD 到 F，使 DF=DC，延长 CB 到点 E，使 BE=BA，分别连结点 A、E和 C、 F.求证： AE=CF. 解析：根据平行四边形的性质可得 AD=BC， AD BC，再证出 BE=DF，得出 AF=EC，进而可得四边形 AECF是平行四
17、边形，从而可得 AE=CF. 答案：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC， AD BC， AF EC， DF=DC， BE=BA， BE=DF， AF=EC， 四边形 AECF是平行四边形， AE=CF. 四、本大题共 3小题，每小题 10 分，共 30分 . 20.化简： 222 2 21 2 1 1a a a a aa a a a. 解析：根据分式的减法和除法可以解答本题 . 答案： 222 2 21 2 1 1a a a a aa a a a 22 1 1 21 1 11221 1 121111122a a a a aa a aaa a aa a aaaaaaaaa g21.为了
18、了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示 .请根据图表信息解答下列问题： (1)在表中： m= ， n= . 解析： (1)先根据 A组频数及其频率求得总人数，再根据频率 =频数总人数可得 m、 n的值 . 答案： (1)本次调查的总人数为 30 0.1=300(人 )， m=300 0.4=120， n=90 300=0.3. 故答案为： 120， 0.3. (2)补全频数分布直方图 . 解析： (2)根据 (1)中所求结果即可补全频数分布直方图 . 答案： (2)补全频数分布直方图如下： (3)小明的成绩是所有被
19、抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组 . 解析： (3)根据中位数的定义即可求解 . 答案： (3)由于共有 300个数据，则其中位数为第 150、 151个数据的平均数， 而第 150、 151个数据的平均数均落在 C组， 据此推断他的成绩在 C组 . 故答案为： C. (4)4个小组每组推荐 1人，然后从 4人中随机抽取 2人参加颁奖典礼，恰好抽中 A、 C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明 . 解析： (4)画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中 A、 C的结果，根据概率公式求解可得 . 答案： (4)画树状图如下： 由树状图可知，共有 12种等可能结果，其中抽中 A C
20、两组同学的有 2种结果， 抽中 A C两组同学的概率为 16212P . 22.如图，在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE，在地面观测点 A处测得屋顶 C与树梢 D的仰角分别是 45与 60， CAD=60，在屋顶 C处测得 DCA=90 .若房屋的高 BC=6米，求树高 DE的长度 . 解析： 首先解直角三角形求得表示出 AC， AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案 . 答案 ：如图 3，在 Rt ABC中， CAB=45， BC=6m， 6s i n 2BCAC C A B(m)； 在 Rt ACD中， CAD=60， 12c o s 2ACAD C A D(m)； 在 Rt
21、DEA中， EAD=60， s i n 6 0 632212 6D E A D g(m)， 答：树 DE的高为 66 米 . 五、本大题共 2小题，每小题 10 分，共 20分 . 23.某公司从 2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： (1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式 . 解析： (1)根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可 . 答案： (1)设其为一次函数，解析式为 y=kx+b， 当 x=2.5时， y=7.2；当 x=
22、3时， y=6， 2.5 7.236kbkb， 解得 k=-2.4， b=13.2 一次函数解析式为 y=-2.4x+13.2 把 x=4时， y=4.5代入此函数解析式， 左边右边 . 其不是一次函数 . 同理 .其也不是二次函数 . 设其为反比例函数 .解析式为 kyx. 当 x=2.5时， y=7.2，可得： 7.22.5k， 解得 k=18 反比例函数是 18yx. 验证：当 x=3时， 18 63y ，符合反比例函数 . 同理可验证 x=4时， y=4.5， x=4.5时， y=4成立 . 可用反比例函数 18yx表示其变化规律 . (2)按照这种变化规律，若 2017年已投入资金
23、5万元 . 预计生产成本每件比 2016年降低多少万元？ 若打算在 2017年把每件产品成本降低到 3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？ (结果精确到 0.01万元 ). 解析： (2)直接把 x=5万元代入函数解析式即可求解 . 直接把 y=3.2万元代入函数解析式即可求解 . 答案： (2)当 x=5万元时， y=3.6. 4-3.6=0.4(万元 )， 生产成本每件比 2016年降低 0.4万元 . 当 y=3.2万元时， 183.2x， x=5.625， 5.625-4.5=1.125 1.13(万元 ) 还约需投入 1.13万元 . 24.如图，以 AB边为直径的 O经过点 P
24、， C是 O上一点，连结 PC交 AB于点 E，且 ACP=60，PA=PD. (1)试判断 PD与 O的位置关系，并说明理由 . 解析： (1)连结 OP，根据圆周角定理可得 AOP=2 ACP=120，然后计算出 PAD 和 D 的度数，进而可得 OPD=90，从而证明 PD 是 O的切线 . 答案： (1)如图， PD是 O的切线 . 证明如下： 连结 OP， ACP=60， AOP=120， OA=OP， OAP= OPA=30， PA=PD， PAO= D=30， OPD=90， PD是 O的切线 . (2)若点 C是弧 AB的中点，已知 AB=4，求 CE CP的值 . 解析： (
25、2)连结 BC，首先求出 CAB= ABC= APC=45，然后可得 AC长，再证明 CAECPA，进而可得 CA CECP CA，然后可得 CE CP的值 . 答案： (2)连结 BC， AB是 O的直径， ACB=90， 又 C为弧 AB的中点， CAB= ABC= APC=45， AB=4， AC=ABsin45 =2 2 . C= C， CAB= APC， CAE CPA， CA CECP CA， CP CE=CA2=(2 2 )2=8. 六、本大题共 2小题，第 25题 12 分，第 26题 13分，共 25分 . 25.在四边形 ABCD中， B+ D=180，对角线 AC平分 B
26、AD. (1)如图 1，若 DAB=120，且 B=90，试探究边 AD、 AB 与对角线 AC的数量关系并说明理由 . 解析： (1)结论： AC=AD+AB，只要证明 AD=12AC， AB=12AC即可解决问题 . 答案： (1)AC=AD+AB. 理由如下：如图 1中， 在四边形 ABCD中， D+ B=180， B=90， D=90， DAB=120， AC平分 DAB， DAC= BAC=60， B=90， AB=12AC，同理 AD=12AC. AC=AD+AB. (2)如图 2，若将 (1)中的条件“ B=90”去掉， (1)中的结论是否成立？请说明理由 . 解析： (2)(1
27、)中的结论成立 .以 C 为顶点， AC 为一边作 ACE=60， ACE 的另一边交 AB延长线于点 E，只要证明 DAC BEC即可解决问题 . 答案： (2)(1)中的结论成立，理由如下：以 C为顶点， AC为一边作 ACE=60， ACE的另一边交 AB延长线于点 E， BAC=60， AEC为等边三角形， AC=AE=CE， D+ B=180， DAB=120， DCB=60， DCA= BCE， D+ ABC=180， ABC+ EBC=180， D= CBE， CA=CB， DAC BEC， AD=BE， AC=AD+AB. (3)如图 3，若 DAB=90，探究边 AD、 AB
28、 与对角线 AC的数量关系并说明理由 . 解析： (3)结论： AD+AB= 2 AC.过点 C 作 CE AC 交 AB 的延长线于点 E，只要证明 ACE 是等腰直角三角形， DAC BEC即可解决问题； 答案： (3)结论： AD+AB= 2 AC.理由如下： 过点 C作 CE AC 交 AB 的延长线于点 E， D+ B=180， DAB=90， DCB=90， ACE=90， DCA= BCE， 又 AC 平分 DAB， CAB=45， E=45 . AC=CE. 又 D+ B=180， D= CBE， CDA CBE， AD=BE， AD+AB=AE. 在 Rt ACE中， CAB
29、=45， c o s 4 5 2ACA E A C， AD+AB= 2 AC. 26.如图 1，抛物线 C1： y=x2+ax 与 C2： y=-x2+bx 相交于点 O、 C， C1与 C2分别交 x 轴于点 B、A，且 B为线段 AO的中点 . (1)求 ab的值 . 解析： (1)由两抛物线解析式可分别用 a和 b表示出 A、 B两点的坐标，利用 B为 OA的中点可得到 a和 b之间的关系式 . 答案： (1)在 y=x2+ax中，当 y=0时， x2+ax=0， x1=0， x2=-a， B(-a， 0)， 在 y=-x2+bx中，当 y=0时， -x2+bx=0， x1=0， x2=
30、b， A(0， b)， B为 OA的中点， b=-2a， 12ab. (2)若 OC AC，求 OAC的面积 . 解析： (2)由抛物线解析式可先求得 C点坐标，过 C作 CD x轴于点 D，可证得 OCD CAD，由相似三角形的性质可得到关于 a的方程，可求得 OA和 CD 的长，可求得 OAC 的面积 . 答案： (2)联立两抛物线解析式可得 22 2y x axy x ax ， 消去 y整理可得 2x2+3ax=0，解得 x1=0， x2= 32a， 当 32xa时， 234ya， C( 32a， 234a)， 过 C作 CD x轴于点 D，如图 1， D( 32a， 0)， OCA=9
31、0， OCD CAD， CD ODAD CD， CD2=AD OD，即 223 1 34 2 2a a a g， a1=0(舍去 )， a2=2 33(舍去 )， a3= 2 33， 42 33O A a ， 234 1CD a， 12 323O A CS O A C DV g. (3)抛物线 C2的对称轴为 l，顶点为 M，在 (2)的条件下： 点 P为抛物线 C2对称轴 l上一动点，当 PAC的周长最小时，求点 P的坐标 . 如图 2，点 E 在抛物线 C2上点 O 与点 M 之间运动，四边形 OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 E的坐标；若不存在，请说明理由 .
32、 解析： (3)连接 OC 与 l 的交点即为满足条件的点 P，可求得 OC 的解析式，则可求得 P 点坐标 . 设出 E点坐标，则可表示出 EOB的面积，过点 E作 x轴的平行线交直线 BC 于点 N，可先求得 BC 的解析式，则可表示出 EN 的长，进一步可表示出 EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及 E点的坐标 . 答案： (3)抛物线 C2： 2 343y x x ， 其对称轴 l2： 323x， 点 A关于 l2的对称点为 O(0， 0)， C( 3 ， 1)， 则 P为直线 OC与 l2的交点， 设 OC的解析式为 y=kx， 1 3k
33、 ，得 33k， OC的解析式为 33y x， 当 233y时， 23y， P(233， 23)； 设 E(m， 2 343m)， (0 m 2 33)， 则 222 4 43 3 31 3 3 323O B ES m m m V g， 而 B(2 33， 0)， C( 3 ， 1)， 设直线 BC的解析式为 y=kx+b， 由 331203kbkb ，解得 k= 3 ， b=-2， 直线 BC的解析式为 3 2yx， 过点 E作 x轴的平行线交直线 BC 于点 N，如图 2， 则 2 4 23 3 3m m x ，即 2 4233 3 33x m m ， 224 2 2333 3 3 1 333 33E N m m m m m ， 221 3 1 2 3 1 3233361 6 33EBCS m m m m V， 224333 1 336 6 3O B E E B CO B C ES S S m m m m VV四 边 形223 3 3 3 32 2 31 7 342 22m m m ， 0 m 233， 当 m= 32时， S 最大 =17 324， 当 m= 32时， 23 3 3 52243 4yg， E( 32， 54)， S 最大 =17 324.
