1、2017年四川省省级联考高考模拟数学文 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=-2， -1， 0， 1， 2，集合 B=x|x2 1， A B=( ) A.-2， -1， 0， 1 B.-1， 1 C.-1， 0 D.-1， 0， 1 解析：集合 A=-2， -1， 0， 1， 2， 集合 B=x|x2 1=x|-1 x 1， A B=-1， 0， 1. 答案： D. 2.已知 i是虚数单位，复数 (2+i)2的共轭复数为 ( ) A.3-4i B.3+4i C.5-4i D.5+4i 解析：复
2、数 (2+i)2=3+4i共轭复数为 3-4i. 答案： A. 3.设向量 m =(2x-1， 3)，向量 n =(1， -1)，若 m n ，则实数 x的值为 ( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析：利用向量垂直的性质求解 . 答案： C. 4.执行如图所示的程序框图，输出 S的值为 ( ) A.45 B.55 C.66 D.110 解析：模拟程序的运行，可得： s=0， i=1， i 10， s=1， i=2， i 10， s=3， i=3， i 10， s=6， i=4 10， s=10， i=5 10， s=15， i=6 10， s=21， i=7 10， s=28， i=8
3、 10， s=36， i=9 10， s=45， i=10 10， s=55， i=11 10， 输出 s=5， 5. 答案： B. 5.已知圆的方程为 x2+y2-6x=0，过点 (1， 2)的该圆的所有弦中，最短弦的长为 ( ) A.12B.1 C.2 D.4 解析：化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案 . 答案： C. 6.已知双曲线 E： x2- 23y=1的左焦点为 F，直线 x=2 与双曲线 E相交于 A， B两点，则 ABF的面积为 ( ) A.12 B.24 C.4 3 D.8 3 解析：求出双曲线的左焦点，求出 AB 坐标，然后求解三角形的面
4、积 . 答案： A. 7.函数 f(x)=Asin( x+ )(A 0， 0， | |2)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为 ( ) A.f(x)=2sin(x-6) B.f(x)=2sin(2x-3) C.f(x)=2sin(x+12) D.f(x)=2sin(2x-6) 解析：由题意求出 A， T，利用周期公式求出，利用当 x=512时取得最大值 2，求出，即可得到函数的解析式 . 答案： B. 8.实数 x， y满足不等式组00102 1 0xyxyxy ，则 2x-y的最大值为 ( ) A.-12B.0 C.2 D.4 解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 k的几
5、何意义，进行平移，结合图象得到 k=2x-y的最大值 . 答案： D. 9.利用计算机产生 120 个随机正整数，其最高位数字 (如： 34 的最高位数字为 3， 567 的最高位数字为 5)的频数分布图如图所示，若从这 120 个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为 d(d=1， 2， 9)的概率为 P，下列选项中，最能反映 P与 d的关系的是 ( ) A.P=lg(1+1d) B.P= 12dC.P= 25120d D.P=3152d解析：利用排除法，即可判断 . 答案： A. 10.设 a， b是不相等的两个正数，且 blna-alnb=a-b，给出下列结论： a+b-ab 1； a+
6、b 2； 11ab 2.其中所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D. 解析：由 blna-alnb=a-b 得 1 ln 1 lnab ，构造函数 f(x)=1 lnxx， x 0，判断 a，b的取值范围即可 . 由对数平均不等式进行证明， 构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可 . 答案： D. 二、填空题 (每题 5分，满分 25分，将答案填在答题纸上 ) 11.某单位有 500位职工，其中 35 岁以下的有 125人， 35 49岁的有 280人， 50岁以上的有 95 人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本，需抽取 35 岁以下职工人
7、数为 _. 解析：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论 . 答案： 25. 12.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为 _. 解析：该几何体是一个半圆柱，即可求出其体积 . 答案： . 13.已知 tan =3，则 sin sin(32- )的值是 _. 解析：利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出 . 答案： -310. 14.已知函数 f(x)=2x-2-x，若不等式 f(x2-ax+a)+f(3) 0对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是 _. 解析：由函数解析式可得函数 f(x)为定义域上的增函数且为奇函数，把不等式f(x2-ax+a)+
8、f(3) 0 对任意实数 x 恒成立转化为 x2-ax+a+3 0 恒成立，由判别式小于 0 求得实数 a的取值范围 . 答案： (-2， 6). 15.如图， A1， A2为椭圆 2295xy=1的长轴的左、右端点， O为坐标原点， S， Q， T为椭圆上不同于 A1， A2 的三点，直线 QA1， QA2， OS， OT围成一个平行四边形 OPQR，则 |OS|2+|OT|2=_. 解析：当 Q 选在短轴的端点上，取 Q(0， 5 )，由于 A1(-3， 0)， A2(3， 0)根据直线的斜率公式代入椭圆方程，即可求得 T点坐标，则 |OS|2+|OT|2=7+7=14. 答案： 14.
9、三、解答题 (本大题共 6小题，共 75分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 16.一种饮料每箱装有 6听，经检测，某箱中每听的容量 (单位： ml)如以下茎叶图所示 . ( )求这箱饮料的平均容量和容量的中位数； ( )如果从这箱饮料中随机取出 2听饮用，求取到的 2听饮料中至少有 1听的容量为 250ml的概率 . 解析： ( )由茎叶图，能示出这箱饮料的平均容量的容量的中位数 . ( )把每听饮料标上号码，其中容量为 248ml， 249ml 的 4听分别记作 1， 2， 3， 4，容量炎250ml 的 2 听分别记作： a， b.抽取 2 听饮料，得到的两个标记分别记为
10、x 和 y，则 x， y表示一次抽取的结果，由此利用列举法能求出从这箱饮料中随机取出 2 听饮用，取到的 2听饮料中至少有 1听的容量为 250ml的概率 . 答案： ( )由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为 249+ 1 1 0 0 1 16 =249， 容量的中位数为 249 2492=249. ( )把每听饮料标上号码，其中容量为 248ml， 249ml 的 4听分别记作 1， 2， 3， 4， 容量炎 250ml的 2听分别记作： a， b.抽取 2听饮料， 得到的两个标记分别记为 x和 y，则 x， y表示一次抽取的结果， 即基本事件，从这 6听饮料中随机抽取 2听的所有可能结果有：
11、 1， 2， 1， 3， 1， 4， 1， a， 1， b 2， 3， 2， 4， 2， a， 2， b 3， 4， 3， a， 3， b 4， a， 4， b a， b 共计 15 种，即事件总数为 15. 其中含有 a或 b的抽取结果恰有 9种，即“随机取出 2听饮用， 取到的 2听饮料中至少有 1听的容量为 250ml”的基本事件个数为 9. 所以从这箱饮料中随机取出 2听饮用，取 到的 2听饮料中至少有 1听的容量为 250ml的概率为 915=0.6. 17.在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且满足 acosB=bcosA. ( )判断 ABC的形状；
12、( )求 sinB+cos(A+6)的取值范围 . 解析： ( )由正弦定理以及两角差的正弦函数公式化简已知可得 sin(A-B)=0，结合 A， B的范围，可求 A=B，可得 ABC是等腰三角形 . ( )由 ( )及三角函数恒等变换的应用可得： sinB+cos(A+6)=sin(A+3)，由 0 A2，可求范围3 A+3 56，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围 . 答案： ( )由 acosB=bcosA， 根据正弦定理，得 sinAcosB=sinBcosA，即 sin(A-B)=0， 在 ABC中，有 - A-B， 所以 A-B=0，即 A=B， 所以 ABC是等腰三角形 .
13、( )由 ( )， A=B，则 sinB+cos(A+6)=sinA+( 32cosA-12sinA)=12sinA+ 32cosA=sin(A+3). 因为 A=B，所以 0 A2，则3 A+3 56， 所以 -12 sin(A+3) 1， 于是 sinB+cos(A+6)的取值范围是 (12， 1. 18.设数列 an各项为正数，且 a2=4a1， an+1=an2+2an(n N*). ( )证明：数列 log3(1+an)为等比数列； ( )设数列 log3(an+1)的前 n项和为 Tn，求使 Tn 520成立时 n的最小值 . 解析： ( )求出首项，化简已知条件，利用等比数列的定
14、义证明：数列 log3(1+an)为等比数列； ( )求出首项的通项公式，然后求和，列出不等式求解即可 . 答案： ( )证明：由已知， a2=a12+2a1=4a1，则 a1(a1-2)=0， 因为数列 an各项为正数，所以 a1=2， 由已知， an+1+1=(an+1)2 0， 得 log3(an+1+1)=2log3(an+1). 又 log3(a1+1)=log33=1， 所以，数列 log3(1+an)是首项为 1，公比为 2的等比数列 . ( )由 ( )可知， log3(1+an)=2n-1， 所以 Tn=1+2+22+ +2n-1=2n-1. 由 Tn 520，得 2n 52
15、1(n N*)， 所以 n 10. 于是 Tn 520成立时 n 的最小值为 10. 19.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， BC 的中点，将 AED， DCF分别沿 DE， DF折起，使 A， C两点重合于 P. ( )求证：平面 PBD平面 BFDE； ( )求四棱锥 P-BFDE 的体积 . 解析： ( )连接 EF交 BD于 O，连接 OP，在正方形 ABCD中，点 E是 AB中点，点 F是 BC 中点，可得 EF OP，又 EF 平面 BFDE，即可证得平面 PBD平面 BFDE； ( )由 ( )的证明可知平面 POD平面 DEF，进一步得到
16、 OPD=90，作 PH OD 于 H，则 PH平面 DEF，求出 PH 的值，则答案可求 . 答案： ( )证明：连接 EF交 BD于 O，连接 OP. 在正方形 ABCD中，点 E是 AB中点，点 F是 BC中点， BE=BF， DE=DF， DEB DFB， 在等腰 DEF中， O 是 EF 的中点，且 EF OD， 因此在等腰 PEF中， EF OP， 从而 EF平面 OPD， 又 EF 平面 BFDE， 平面 BFDE平面 OPD， 即平面 PBD平面 BFDE； ( )解：由 ( )的证明可知平面 POD平面 DEF， 可得， OP=OE=OF= 22， OD=322， PD=2，
17、 由于 OP2+PD2=OD2=184， OPD=90， 作 PH OD于 H，则 PH平面 DEF， 在 Rt POD中，由 OD PH=OP PD，得 PH=23. 又四边形 BFDE的面积 S=12EF BD=12 2 2 2 =2， 四棱锥 P-BFDE的体积 V=13S PH=49. 20.过点 C(2， 2)作一直线与抛物线 y2=4x交于 A， B两点，点 P是抛物线 y2=4x 上到直线 l：y=x+2的距离最小的点，直线 AP 与直线 l交于点 Q. ( )求点 P的坐标； ( )求证：直线 BQ平行于抛物线的对称轴 . 解析： ( )设点 P的坐标为 (x0， y0)，利用
18、点到直线的距离公式通过最小值，求出 P点坐标 . ( )设点 A 的坐标为 ( 214y， y1)，显然 y1 2.当 y1=-2 时，求出直线 AP 的方程；当 y1 -2时，求出直线 AP的方程与直线 l 的方程 y=x+2联立，可得点 Q的纵坐标，求出 B点的纵坐标，推出 BQ x 轴，求出直线 AC 的方程与抛物线方程 y2=4x 联立，求得点 B 的纵坐标，然后推出结果 BQ x轴 . 答案： ( )设点 P的坐标为 (x0， y0)，则 20y=4x0， 所以，点 P到直线 l的距离 d= 20 20 0002 242 4 222 2 4 2y yyxy . 当且仅当 y0=2时等
19、号成立，此时 P点坐标为 (1， 2). ( )设点 A的坐标为 ( 214y， y1)，显然 y1 2. 当 y1=-2时， A点坐标为 (1， -2)，直线 AP的方程为 x=1； 当 y1 -2时，直线 AP 的方程为 y-2=121214yy(x-1)， 化简得 4x-(y1+2)y+2y1=0； 综上，直线 AP的方程为 4x-(y1+2)y+2y1=0. 与直线 l的方程 y=x+2 联立，可得点 Q的纵坐标为 yQ=11282yy . 当 21y=8时，直线 AC 的方程为 x=2，可得 B点的纵坐标为 yB=-y1. 此时 yQ= 11 121 1 14228 4222 2 4
20、yy yy y y ， 即知 BQ x轴， 当 21y 8时，直线 AC的方程为 y-2=121214yy(x-2)， 化简得 (4y1-8)x-( 21y-8)y+(2 21y-8y1)=0， 与抛物线方程 y2=4x联立，消去 x， 可得 (y1-2)y2-( 21y-8)y+(2 21y-8y1)=0， 所以点 B的纵坐标为 yB= 21118 2 822yyy. 从而可得 BQ x轴， 所以， BQ x轴 . 21.设 a， b R，函数 f(x)=13x3+ax2+bx+1， g(x)=ex(e 为自然对数的底数 )，且函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在 x=0处有公共的切
21、线 . ( )求 b的值； ( )讨论函数 f(x)的单调性； ( )证明：当 a 12时， g(x) f(x)在区间 (-， 0)内恒成立 . 解析： ( )求出两个函数的导函数，利用函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在 x=0处有公共的切线，列出方程，即可求出 b. ( )求出导函数 f (x)，通过 -1 a 1 时，判断函数的单调性，当 a2 1 时，判断导函数的符号，判断函数的单调性 . ( )令 h(x)=g (x)-f (x)=ex-x2-2ax-1，求出导函数 h (x)=ex-2x-2a，令 u(x)=h(x)=ex-2x-2a，求出 u (x)=ex-2.通过当 a
22、 12时，利用函数的单调性与最值求解即可 . 答案： ( )f (x)=x2+2ax+b， g (x)=ex， 由 f (0)=b=g (0)=1，得 b=1. ( )f (x)=x2+2ax+1=(x+a)2+1-a2， 当 a2 1时，即 -1 a 1时， f (x) 0，从而函数 f(x)在定义域内单调递增， 当 a2 1时， f (x)=(x+a+ 2 1a )(x+a- 2 1a )，此时 若 x (-， -a- 2 1a )， f (x) 0，则函数 f(x)单调递增； 若 x (-a- 2 1a ， -a+ 2 1a )， f (x) 0，则函数 f(x)单调递减； 若 x (-
23、a+ 2 1a ， + )时， f (x) 0，则函数 f(x)单调递增 . ( )令 h(x)=g (x)-f (x)=ex-x2-2ax-1， 则 h(0)=e0-1=0.h (x)=ex-2x-2a，令 u(x)=h (x)=ex-2x-2a，则 u (x)=ex-2. 当 a 12时， u(0)=h (0)=1-2a 0， 又当 x 0时， u (x) 0，从而 u(x)单调递减； 所以 u(x) 0. 故当 x (-， 0)时， h(x)单调递增； 又因为 h(0)=0，故当 x 0时， h(x) 0， 从而函数 g(x)-f(x)在区间 (-， 0)单调递减； 又因为 g(0)-f(0)=0 所以 g(x) f(x)在区间 (-， 0)恒成立 .
